Cortando naranjas
Escrito por Redacción Matematicalia   
sábado, 08 de septiembre de 2007
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CORTANDO NARANJAS. Tomemos una fresca y jugosa naranja. Con un buen cuchillo, cortémosla en cinco partes. Si las cortamos adecuadamente entonces nos será muy fácil reacomodarlas sin dejar espacios ni sobreponerlas y formar... ¡dos naranjas idénticas a la original! ¿No? Bueno, ¿qué tal si ahora cortamos una naranja en, digamos, cuarenta partes y con ellas armamos una naranja tan grande como el Sol? “Imposible” dirás; pero no, las limitaciones son meramente técnicas y de habilidad para cortar, porque matemáticamente... ¡sí es posible hacerlo! Este es esencialmente el contenido de un teorema de Stefan Banach (1892-1945) y Alfred Tarski (1902-1983), también conocido como la paradoja de Banach-Tarski.

La paradoja de Banach-Tarski es un hecho sorprendente que contradice a todas luces nuestra intuición, específicamente el principio de conservación del volumen: ¿cómo, si no, haríamos un rompecabezas usando una naranja para re-ensamblar estas piezas en una esfera sólida tan grande como el Sol?

La respuesta es que hay conjuntos que no pueden tener volumen. En efecto, cuando pasamos de medir longitudes de caminos, áreas de parcelas o volúmenes de esferas a tratar de asignar longitud, área o volumen a objetos más caprichosos en forma y descripción, surge inmediatamente el problema de definir una noción de medida de longitud, área o volumen para tales objetos que resulte matemáticamente aceptable. Henri Lebesgue (1875-1941) formuló en 1901 una teoría de la medida según la cual es posible definir una medida n-dimensional (la medida de Lebesgue) que asocia a cada intervalo n-dimensional su volumen. De hecho, la familia de conjuntos a los que podemos asignar una medida “los medibles Lebesgue” es muy rica: tiene tantos elementos como subconjuntos de los números reales.

Sin embargo –y esta es la clave de la paradoja–, también hay tantos conjuntos no-medibles Lebesgue como subconjuntos de los reales. Para exhibir un no-medible Lebesgue es obligado usar el axioma de elección, un postulado de la teoría de conjuntos el cual dice que “dada una colección de conjuntos no vacíos es posible elegir simultáneamente un elemento de cada conjunto”. Se ha demostrado que este axioma no es verdadero ni falso, sino independiente de los otros axiomas de la teoría, y por tanto hay dos posibilidades igualmente válidas: aceptarlo o no. Pero si lo aceptamos entonces encontraremos conjuntos que no podemos medir, es decir, a los que no podremos asignar un volumen. Esto significa que para “hacer crecer” nuestra naranja tendremos que dividirla en conjuntos no-medibles adecuados. ¿Qué? ¿Te animas a intentarlo?

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[Imagen cortesía de flickrcc.bluemountains.net]