Internacional
Escrito por Helge Holden   
martes, 14 de junio de 2005
Peter D. Lax



Peter D. Lax:

Elementos de sus contribuciones a la matemática (*)

 

Helge Holden

Department of Mathematical Sciences
Norwegian University of Science and Technology

e-mail: holden @ math.ntnu.no

página web: http://www.math.ntnu.no/~holden

 

 

1. Introducción

 

Peter D. Lax ha legado contribuciones seminales a varias ramas de la matemática. Sus aportaciones entroncan con una larga tradición cuyo epicentro es la interacción entre la matemática y la física. La física plantea desafíos cuya resolución precisa de intuición. La matemática puede desvelar propiedades  profundas y estructuras internas, mientras que las demostraciones rigurosas establecen cimientos sólidos para el conocimiento. John von Neumann, quien ejerció una influencia considerable en Lax, concluyó en 1945 que las herramientas eficientes de cálculo a alta velocidad pueden ofrecernos, tanto en el campo de las ecuaciones en derivadas parciales no lineales como en muchas otras áreas que son ahora  difíciles o cuyo acceso nos está completamente prohibido, las pistas heurísticas necesarias para un progreso genuino en todos los campos de las matemáticas[1]. Lax afirmó en 1986 que los matemáticos puros y aplicados están hoy más unidos de lo que lo hayan estado nunca en los últimos 70 años[2]. Este es el espíritu en el que Lax ha trabajado.

 

En esta breve nota de divulgación nos centraremos en dos áreas, ambas dentro de la teoría de ecuaciones diferenciales. Presentaremos aquí contribuciones de Lax en las que los aspectos aplicados son dominantes y tienen consecuencias de gran alcance para la sociedad moderna. Por tanto, y desafortunadamente, no discutiremos sus aportaciones fundamentales al análisis clásico y a la teoría de scattering, en particular el desarrollo de la bella teoría de scattering de Lax-Phillips.

 

Figura 1. Peter D. Lax.

 

El primer tema es la teoría de ondas de choque[3]. Las ondas de choque se presentan en muchos fenómenos de la vida diaria. Las que mejor se describen son las ondas de choque que provienen de aviones volando a velocidades supersónicas, o de explosiones, pero tales ondas también aparecen en fenómenos que involucran velocidades más pequeñas. Particular interés reviste  el flujo de hidrocarburos a través de un medio poroso, o para ser más concretos, el flujo de petróleo en el seno de un yacimiento. Se sabe que el petróleo y el agua no se mezclan, y la interfaz entre las regiones con petróleo y con agua constituye lo que se define matemáticamente como un shock. La dinámica de shocks es vital en la explotación de hidrocarburos en  yacimientos petrolíferos. Incluso en fenómenos cotidianos como los atascos de tráfico en carreteras fuertemente congestionadas experimentamos las ondas de choque cuando hay acumulación de vehículos. Los shocks no se originan en las colisiones de los coches, sino en las variaciones abruptas de la densidad de distribución de los mismos.

 

El segundo tema procede de la teoría de solitones. La teoría de solitones tiene una historia larga y complicada. No obstante, ahora pertenece al corazón de la matemática pura y aplicada, y tiene considerables consecuencias en varias áreas de la tecnología. La teoría se originó en una parte oscura de la dinámica de fluidos. Sin embargo, con el descubrimiento, entre otras cosas, de la formulación de estos problemas por medio de los pares de Lax[4], se hallaron nuevas y sorprendentes relaciones entre distintas áreas de la matemática. Asimismo, la teoría de solitones presenta diversas aplicaciones en múltiples áreas de la física, por ejemplo en teoría cuántica de campos y física del estado sólido, y en la modelización[5] de sistemas biológicos. Por último, se están aplicando los solitones  a la comunicación en fibra óptica.

 

Se puede consultar en [CH] una descripción más extensa sobre las diversas facetas de las contribuciones de Peter Lax a la matemática. En [AAR] aparece una entrevista concedida por él, y el grueso de sus contribuciones puede estudiarse en sus obras completas, de reciente publicación [MS].

 

Antes de retomar la discusión en detalle de los temas citados habremos de explicar qué es una ecuación diferencial.

 

 

2. ¿Qué es una ecuación diferencial?

 

Para discutir las ecuaciones diferenciales, primero tenemos que introducir la derivada. Cuando usted conduce su automóvil, puede medir la distancia desde el punto de partida en el cuentakilómetros; conociéndola, su posición está determinada. La distancia que recorre por unidad de tiempo se llama velocidad y eso, naturalmente, es lo que muestra el velocímetro. Matemáticamente, la velocidad no es otra cosa que la derivada de la posición. Para expresarlo en términos matemáticos, denotamos por x la posición del coche medida a lo largo de la carretera desde cierto punto de partida. Depende del tiempo, t, por tanto escribimos x = x(t). La velocidad, que denotamos v y que depende del tiempo, v = v(t), es el cambio de la posición durante  un pequeño intervalo de tiempo, y matemáticamente a esto lo llamamos la derivada[6] de x, representándola x'(t). Es decir, v(t) = x'(t).

 

Si un pasajero del coche va anotando la velocidad en cada instante de tiempo, debería ser posible calcular la posición del coche en cada momento si sabemos la hora y lugar en que comenzó el viaje. Con más precisión, si conocemos el punto de partida x0 y sincronizamos los relojes para empezar en t = 0, de modo que x(0) = x0 , y conocemos v(t) para todos los t, deberíamos ser capaces de calcular la posición x como función del tiempo t, es decir, determinar x(t). Para elucidar esta cuestión hemos de resolver una ecuación diferencial, a saber, x'(t) = v(t).

 

Las ecuaciones diferenciales no son otra cosa que ecuaciones que involucran derivadas. Podría pensarse que estamos haciendo un mundo de un pequeño problema. Resulta, sin embargo, que todas las leyes fundamentales de la naturaleza se pueden expresar como ecuaciones diferenciales, como muestra la lista siguiente:

 

  • Gravitación (ley de Newton),
  • Mecánica cuántica (ecuación de Schrödinger),
  • Electromagnetismo (ecuaciones de Maxwell),
  • Relatividad (ecuaciones de Einstein),
  • Movimiento de gases y fluidos (ecuaciones de Navier-Stokes).

 

El movimiento de los planetas, los ordenadores, la luz eléctrica, el funcionamiento del GPS (Global Positioning System) y el cambio del clima pueden todos describirse mediante ecuaciones diferenciales.

 

Continuemos con un ejemplo más complicado que el de la posición y velocidad de los coches. Considere el calor de la habitación donde se halla sentado. Designemos por T = T(x,y,z,t) la temperatura en cada punto (x,y,z) del espacio e instante de tiempo t. Suponiendo que el calor fluye de las áreas calientes a las frías de forma proporcional a la diferencia de temperaturas, que no se disipa (lo cual significa que la habitación está aislada del exterior), y que no hay fuentes de calor, se puede entonces concluir que la distribución de temperatura está determinada por la que se  denomina  ecuación del calor, que toma la forma:

 

Tt = Txx + Tyy + Tzz .

 

Aquí, Tt significa la derivada de T con respecto a la variable t mientras Txx representa la derivada de la derivada, ambas con respecto a la variable x, y así con el resto de los términos. ¡Incluso los  problemas sencillos dan lugar a ecuaciones diferenciales difíciles! Suponiendo que la distribución inicial de temperaturas es un dato, es decir, que conocemos T(x,y,z,t) para t = 0, nos dicta la intuición que deberíamos poder determinar la temperatura en instantes posteriores. Esto se conoce como un problema de valor inicial. Probar esta afirmación y describir un método para calcular la temperatura de manera efectiva constituye el desafío matemático. Este es, en términos generales, el problema. Sin embargo, las ecuaciones que conforman el núcleo de las contribuciones de Lax a las ecuaciones diferenciales son considerablemente más difíciles que la ecuación del calor.

 

En condiciones ideales, lo que se quiere al enfrentarse a una ecuación diferencial es que el problema esté bien propuesto, en el sentido de que:

 

  • el problema debería poseer por lo menos una solución (existencia de soluciones),
  • el problema no debería exhibir más de una solución (unicidad de soluciones),
  • la solución debería ser estable frente a perturbaciones (estabilidad).

 

Las dos primeras condiciones indican que el problema debería admitir una única solución; la tercera establece que cambios pequeños en los datos iniciales sólo deberían dar lugar a cambios pequeños en las soluciones. Desafortunadamente, las ecuaciones diferenciales normalmente carecen de soluciones que se puedan expresar mediante fórmulas, por lo que habría que añadir a nuestra “lista de los deseos” el que deberíamos ser capaces de hallar un modo de calcular la solución. Habitualmente los problemas son muy complejos y se requieren ordenadores de alta velocidad para determinar una solución aproximada o numérica. Las soluciones de las ecuaciones diferenciales pueden ser muy complicadas y no existe una teoría matemática unificada que abarque a todas las ecuaciones diferenciales, o al menos a la mayoría. La mayor parte de las ecuaciones diferenciales son no lineales, donde la suma de dos soluciones no es una solución, lo que complica mucho más la situación. Clases distintas de ecuaciones diferenciales precisan métodos bastante diferentes entre sí. No obstante, incluso a este nivel de generalidad, Lax nos ha legado dos resultados considerablemente útiles que figuran en todos los manuales del área. El teorema de Lax-Milgram proporciona una condición que garantiza la existencia de una única solución en todas las ecuaciones diferenciales que puedan describirse mediante un problema variacional abstracto. El principio de equivalencia de Lax establece que para un problema de valor inicial bien propuesto, cualquier método numérico consistente es estable, si y sólo si, es consistente. Sin ir más lejos, el principio de equivalencia se aplica a la ecuación del calor.

 

En este punto es conveniente divagar por un momento sobre la interacción entre la matemática y los ordenadores. Peter Lax siempre ha sido un acérrimo defensor de la importancia de éstos para la matemática y viceversa, sosteniendo que el impacto de los ordenadores con gran velocidad de cálculo, tanto en la matemática pura como en la aplicada, es comparable al papel de los telescopios en astronomía y al de los microscopios en biología[7]. La construcción lógica de los ordenadores y de sus sistemas operativos es de naturaleza matemática. Pero, además, los ordenadores sirven de laboratorios a los matemáticos donde experimentar con sus ideas. Se pueden descubrir nuevas relaciones matemáticas, y las hipótesis y conjeturas pueden ser rechazadas o resultar más verosímiles tras el empleo del ordenador. Lax ha puesto como ejemplo al gran matemático G.D. Birkhoff, quien dedicó toda una vida a tratar de probar la hipótesis ergódica. Si Birkhoff hubiera tenido acceso a un ordenador y hubiera contrastado la hipótesis en él, se habría percatado de que no puede ser cierta en general. En un nivel más técnico, la resolución de problemas de la tecnología moderna asociados a la simulación de sistemas tan complejos como aviones, plataformas petrolíferas o el tiempo atmosférico no sólo precisan poderosos ordenadores, sino también el desarrollo de nuevos y mejores algoritmos matemáticos. Es incuestionable que, en términos generales, el desarrollo de ordenadores de alta velocidad (hardware) y el de nuevas técnicas numéricas (software) han contribuido por igual al rendimiento total que observamos en las simulaciones. El propio Peter Lax ha realizado importantes contribuciones al desarrollo de nuevos métodos matemáticos que nos han capacitado para comprender y simular importantes fenómenos.

 

 

3. Ondas de choque

 

 

En 1859, Bernhard Riemann (1826-66), el gran matemático alemán, se ocupó del siguiente problema: se tienen dos gases a diferentes presiones en un cilindro, separados por una fina membrana. ¿Qué sucede cuando se retira la membrana? Este problema, que ha terminado llamándose el problema de Riemann, ha resultado ser una cuestión muy complicada. El comportamiento de los gases se describe bien mediante las ecuaciones de Euler, que adoptan la forma[8]:

ρt + (ρν)x = 0,

(ρν)t + (ρν2 + P)x = 0,

Et + (v(E+P)) x = 0,

P = P(ρ),

 

Figura 2. Bernhard Riemann.

 

donde ρ, v, P y E representan la densidad, velocidad, presión y energía del gas, respectivamente. Es este un sistema de ecuaciones verdaderamente intrincado, cuyo caso general permanece sin resolver a día de hoy.

 

Las ecuaciones de Euler constituyen un caso especial de la clase de ecuaciones diferenciales denominadas leyes hiperbólicas de conservación. Las soluciones de estas ecuaciones son muy complicadas, como muestran las ilustraciones. Son fundamentales en varias áreas de la ciencia aplicada, ya que expresan la conservación de una cantidad. Los ejemplos abundan, pues se conservan la masa, el momento y la energía en sistemas aislados. Además de la cinética de gases, las aplicaciones comprenden el flujo de petróleo en yacimientos. Un ejemplo menos obvio es el de la dinámica de coches en una carretera fuertemente congestionada, sin accesos ni salidas; la magnitud que se conserva en este caso es el número de automóviles.

 

 

Figura 3. Flujo de un gas

en torno a tres cilindros.

 

El meollo del problema de las ecuaciones hiperbólicas, no importa si tratan de la circulación de automóviles o del flujo de petróleo en yacimientos, es que la solución desarrolla singularidades, o discontinuidades, denominadas shocks. Los shocks corresponden a transiciones críticas en la presión o la densidad. Los métodos numéricos establecen, con enorme dificultad, aproximaciones de estas soluciones, siendo sus propiedades matemáticas muy complicadas. Los modelos matemáticos admiten más de una solución, y el principio de selección que permite distinguir la solución físicamente relevante, conocido como la condición de entropía, resulta muy complicado. Sin ir más lejos, el propio Riemann se equivocó y eligió la solución incorrecta. La velocidad del shock fue determinada por el ingeniero escocés Rankine y por el matemático francés Hugoniot, mientras que fue Peter Lax quien en 1957 dio con un criterio sencillo, ahora conocido como la condición de entropía de Lax, que selecciona la verdadera solución física en sistemas generales de leyes hiperbólicas de conservación. Los shocks admisibles se denominan shocks de Lax. La solución del problema de Riemann se denomina actualmente el teorema de Lax, que es la piedra angular de la teoría de leyes hiperbólicas de conservación. Su solución ha propiciado una investigación más profunda sobre nuevas condiciones de entropía aplicables a otros sistemas. En particular, el nuevo teorema fundamental de existencia para el problema de valor inicial general, debido a Glimm, tiene en el teorema de Lax uno de sus pilares fundamentales.

 

 

Una vez que se ha escogido la solución en base a un principio de elección, todavía hay que calcularla. A este respecto, Peter Lax ha introducido dos de los esquemas numéricos estándar para la resolución de las leyes hiperbólicas de conservación, a saber, los denominados esquemas de Lax-Friedrichs y de Lax-Wendroff.  Estos esquemas sirven de patrón para contrastar otras técnicas numéricas, y a la vez como punto de partida para el análisis teórico.

 

 

 

Figura 4. Explosión de la presión de un gas en una caja.

 

De hecho, el esquema de Lax-Friedrichs fue empleado por la matemática rusa O. Olenik  en su demostración constructiva de la existencia y unicidad de soluciones para la ecuación de Burgers sin viscosidad. Otro resultado de considerable utilidad es el teorema de Lax-Wendroff, que establece lo siguiente: si un esquema numérico para una ley hiperbólica de conservación no lineal converge a un límite, tenemos entonces la certeza de que dicho límite define una de las soluciones de la ecuación. Lax demostró, en colaboración con Glimm, profundos resultados sobre la disipación en el tiempo de las soluciones de los sistemas hiperbólicos de leyes de conservación.

 

Los resultados de Peter Lax en la teoría de leyes hiperbólicas de conservación son fecundos. Han resuelto antiguos problemas, estimulando una nueva y extensa investigación en este campo, en tanto que todavía se mantienen en el núcleo de la disciplina.

 

 

4. Solitones

 

 

La teoría de solitones se remonta a agosto de 1834, cuando el ingeniero escocés John Scott Russell (1808-82) realizó la siguiente observación: cabalgando a caballo a lo largo de un canal cercano a Edimburgo, contempló una barcaza mientras era remolcada por dos caballos a lo largo del canal. Cuando la embarcación efectuó una parada, una onda solitaria surgió de la proa, y Scott Russell fue capaz de seguirle la pista durante más de un kilómetro. Al contrario de lo que se podría esperar, la onda no se dispersó y su forma subsistió sin alteraciones. Fascinado completamente por el fenómeno, que mucha gente había visto con anterioridad sin apreciar su peculiaridad, Scott Russell estudió las ondas que durante muchos años denominó ondas solitarias.

 

Figura 5. J. Scott Russell.

Sus observaciones resultaron ser controvertidas y varios científicos eminentes, como Airy o Stokes, fueron escépticos con las mismas. Sin embargo, con la deducción de un modelo para ondas de agua[9] por parte de los matemáticos holandeses Korteweg y de Vries en 1895, las cuales, de hecho, eran capaces de reproducir este comportamiento, las ondas solitarias se establecieron como un verdadero fenómeno, aunque bastante especializado, de la naturaleza. El modelo que obtuvieron se conoce en la actualidad como las ecuaciones de Korteweg de Vries, KdV para abreviar. Para simplificar una larga historia, las ecuaciones KdV se desvanecieron en el olvido por largo tiempo, y sólo fue tras el renovado interés de Zabusky y Kruskal en 1965 cuando se reavivó la atención en ellas.

 

A través de su análisis por medio de simulaciones numéricas, descubrieron que las KdV admiten soluciones que interactúan como partículas pueden colisionar e interactuar sin cambiar de forma. Zabusky y Kruskal bautizaron a estas soluciones como “solitones”, pues exhibían propiedades de tipo-partícula como electrones, protones, etc. (Figura 7). Ahora se hacía patente que la ecuación poseía una profunda estructura y acreditaba potencial para aplicaciones en áreas diversas. En un artículo de 1967 que hizo época,  Gardner, Greene, Kruskal y Miura[10] descubrieron un método ingenioso, llamado la transformada de scattering inverso, para resolver la ecuación de KdV.

 

Figura 6. Reescenificación  moderna de la onda solitaria.



Figura 7. Dos solitones, dibujados en tres momentos diferentes.

El grande sobrepasa al pequeño. Sus formas se preservan.

 

Aunque resultaba claro que el método constituía un tour-de-force, estaba altamente sintonizado con las peculiaridades de la ecuación. Diversos “milagros” contribuyeron a que el método funcionara. Como parte del mismo, estudiaron una ecuación lineal asociada en la que varias cantidades importantes permanecían sin alteración, o invariantes, con respecto a  la evolución del tiempo. Peter Lax entra en escena. Se centró en las propiedades de invarianza de los problemas lineales y describió un par de operadores lineales, conocidos ahora como pares de Lax[11], que desvelaron el mecanismo interno de la transformada de scattering inverso. Cuando el  par de Lax satisface la relación de Lax resulta ser equivalente a la ecuación de Kdv. Para precisar mejor la relación, escribamos en primer lugar la ecuación de KdV, que adopta la forma[12]:

 

ut6 u ux + uxxx = 0.

 

El par de Lax, L, P, viene dado por los operadores[13]:

 

L = −x2 + u,       P = −4 x 3 + 3 u x + 3 ux ,

 

bajo la condición de que se satisfaga la relación de Lax[14]:

 

Lt(PL − LP) = ut6 u ux + uxxx = 0.

 

El par de Lax se construye para que el a priori complejo operador diferencial del primer miembro de la igualdad, se reduzca a la ecuación KdV. Ecuaciones del tipo de la de KdV se denominan completamente integrables.

 

A la vista de esta profunda y sorprendente revelación, resultaba claro que la transformación de scattering inverso no se limitaba a la ecuación KdV, y que entonces habría que examinar  los pares de Lax de otras ecuaciones diferenciales de la física matemática. Además de la formulación curvatura cero de Zakharov y Shabat, otras de las ecuaciones importantes de la física matemática resultaron ser completamente integrables: por ejemplo, la ecuación “sine-Gordon”, la ecuación de Schrödinger no lineal, el sistema masivo de Thirring, la ecuación de Boussinesq, la ecuación de Kadomtsev-Petviashvili y la red de Toda, por citar unas pocas.

 

Las propiedades peculiares de estas ecuaciones han tenido inmensas consecuencias en varias áreas de la matemática y la física, así como en diversos campos de la tecnología. Un ejemplo debe ser mencionado en este punto. Se ha experimentado con el uso de solitones para la comunicación de alta velocidad en fibra óptica. La señal digital se codifica usando “ceros” y  “unos”, y los “unos” se pueden representar mediante solitones. Una propiedad clave de los solitones es que son excepcionalmente estables a grandes distancias. Esto suministra una capacidad de comunicación por fibra óptica considerablemente más elevada. Además, la teoría de solitones ha desvelado nuevas relaciones, hasta ahora desconocidas, entre varias ramas de las matemáticas.

 

 

Epílogo

 

Lax se considera a sí mismo un matemático tanto puro como aplicado. Su consejo a los matemáticos jóvenes se recoge en: recomiendo decididamente que todos los matemáticos noveles prueben fuerzas en alguna rama de la matemática aplicada. Es una mina de oro de problemas profundos que aguardan avances tanto conceptuales como técnicos. Despliega una enorme variedad, a la medida de cada estilo, y ofrece la posibilidad de formar parte de una gran empresa tanto tecnológica como científica. ¡Buena cacería! [15].

 

 

Reconocimientos

 

Los retratos de Riemann y Scott Russell proceden del MacTutor History of Mathematics Archive. La figura del solitón está tomada de la Solitons Home Page. Las simulaciones fueron facilitadas por K.-A. Lie (SINTEF) y X. Raynaud (NTNU).

 

 

Referencias

 

[CH]     The Wolf  Prize to P.D. Lax. En: The Wolf Prize in mathematics, Vol. 2 (S.S. Chern, F. Hirzebruch, eds.). World Scientific, Singapore (2001), pp. 219-262.

[AAR]   P.D. Lax. En: More mathematical people (D.J. Albers, G.L. Alexanderson and C. Reid, eds.). Hartcourt Brace Jovanovich Publishers, Boston (1990), pp. 139-158.

[MS]     P.D. Lax: Selected papers, Vols. I, II (A.J. Majda and P. Sarnak, eds.). Springer, New York, 2005.



[1] En Collected Works of John v. Neumann, Vol. V (1963), pp. 1-32.

[2] Mathematics and its applications, The Mathematical Intelligencer 8 (1986), 14-17.

[3] “Shock waves” en inglés. Usaremos indistintamente el término “shock” (N. del T.).

[4] “Lax pairs” (N. del T.).

[5] Término ya aceptado por la Real Academia (N. del T.).

[6] Para ser más preciso, si usted avanza de la posición x(t) en el instante t a la posición x(t+s) durante el periodo de tiempo s, la velocidad en el instante t es aproximadamente (x(t+s)-x(t))/s, y la aproximación mejora cuanto menor sea  el intervalo de tiempo s que emplee. Matemáticamente, la velocidad tiene como valor el límite de (x(t+s)-x(t))/s cuando s tiende a cero.

[7] The flowering of applied mathematics in America, SIAM Review 31 (1989), 533-541.

[8] Riemann estudió el problema más simple en el que se ignora la tercera ecuación, la de la energía. Los subíndices indican derivadas con respecto a las variables dadas.

[9] Water waves” en inglés (N. del T.).

[10] C. Gardner, J. Greene, M. Kruskal, R. Miura: Method for solving the Korteweg-deVries equation. Physical Review Letters 19 (1967), 1095-1097 (N. del T.).

[11]“Lax pairs” en inglés (N. del T.).

[12] En el trabajo original de Scott Russell, la variable u corresponde a la distancia de la superficie del agua hasta el fondo.

[13] L y P son operadores, es decir, funciones cuyos argumentos son a su vez funciones. El operador xn efectúa la derivada n-ésima de la función con respecto a la variable x.

[14] La deducción original viene a ser la siguiente: la invarianza en el tiempo asegura la existencia de un operador unitario U = U(t) tal que U-1LU es independiente del tiempo, es decir, su derivada con respecto a t se anula. Bajo el supuesto de que U satisface la ecuación diferencial de primer orden Ut =PU para algún operador P, un simple cálculo muestra que ha de cumplirse la relación de Lax.

[15] The flowering of applied mathematics in America. SIAM Review 31 (1989), 533-541.



Sobre el autor

Helge Holden (1956) obtuvo el doctorado en 1985 en la Universidad de Oslo. Tras un periodo postdoctoral en la Universidad de Nueva York, se incorpora en 1986 a la Universidad Noruega de Ciencia y Tecnología (Trondheim, Noruega), donde es Professor desde 1991. Su investigación se ha centrado en diferentes aspectos de las ecuaciones diferenciales, habiendo escrito monografías sobre leyes de conservación hiperbólicas, soluciones algebraico-geométricas de ecuaciones de solitones y ecuaciones en derivadas parciales estocásticas. Actualmente preside el Consocio Europeo para las Matemáticas en la Industria (ECMI) y es Secretario de la Sociedad Matemática Europea (EMS).

 

Sobre el traductor

José C. Sabina de Lis ha sido profesor de las Universidades Complutense y Politécnica de Madrid. Actualmente es Catedrático de Matemática Aplicada en el Departamento de de Análisis Matemático de la Universidad de La Laguna. Sus temas de interés son las ecuaciones diferenciales y el análisis no lineal, campos en los que ha publicado numerosos trabajos de investigación.

 




(*) Nota divulgativa presentada ante la Academia Noruega de Ciencias y Letras con motivo de la concesión a P.D. Lax del Premio Abel 2005. El documento original está disponible en

Matematicalia agradece al profesor Holden la autorización para publicar su traducción al castellano.