Cultura
Escrito por José Ignacio Royo Prieto   
martes, 14 de junio de 2005
Matemáticas y papiroflexia II

Recibido: miércoles, 22 diciembre 2004




Matemáticas y papiroflexia (*)

II. Papiroflexia modular: construcción de poliedros

 

José Ignacio Royo Prieto

Departamento de Xeometría e Topoloxía

Universidade de Santiago de Compostela

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página web: http://xtsunxet.usc.es/royoprieto

 

 

 

1. Dos cositas sobre poliedros

 

Un poliedro se puede definir como un conjunto conexo de R3 formado por un número finito de polígonos planos que se juntan de una manera razonable. Aquí “razonable” quiere decir que cada lado de un polígono pertenece exactamente a otro polígono del poliedro, y de manera que los polígonos que concurran en cada vértice formen un circuito simple (para evitar anomalías tales como el caso de dos pirámides unidas por el vértice). Los polígonos son llamados caras, y sus lados, aristas. Un poliedro es, por lo tanto, una superficie cerrada (no diferenciable, pues tiene aristas y vértices), y divide al espacio en dos partes: una no acotada y otra acotada a la que llamaremos interior. El caso más importante es el de los poliedros convexos, en el cual el interior es un conjunto convexo (es decir, tal que el plano que contiene a una cara no penetra en el poliedro), de modo que podemos definirlo en coordenadas cartesianas mediante un sistema de desigualdades:

 

ai x + bi y + ci z  di     ( i = 1, 2, ..., C )

 

siendo C el número de caras. Ejemplos de poliedros son una caja de zapatos, una pirámide, un cubo, un tetraedro...

 

 

Figura 1. Dodecaedro y dodecaedro estrellado (Tomoko Fuse).

 

Los poliedros más famosos son, sin duda, los llamados sólidos platónicos. Se dice que un poliedro convexo es regular si sus caras son polígonos regulares idénticos y si en cada vértice concurre el mismo número de aristas. Sorprendentemente, tan sólo existen cinco: el tetraedro, el cubo, el octaedro, el icosaedro y el dodecaedro. Este resultado se atribuye a Teeteto (425-379 a.C.), de la escuela de Platón. Existen pruebas elementales de este resultado, pero la forma elegante de hacerlo es utilizar la famosa fórmula de Euler, de la que más adelante hablaremos. Platón en su libro Timeo (ap. 55-56) atribuye a cada uno de estos sólidos uno de los cuatro elementos en el pasaje en el que describe la creación del universo. Así, el tetraedro es el fuego, el octaedro, el aire, el cubo es la tierra y el icosaedro, las moléculas de agua.

 

Finalmente, relata cómo el Creador utilizó el dodecaedro para formar el universo. Esta es la razón por la cual se les conoce como sólidos platónicos.

 

Los poliedros son entes matemáticos que brotan de la forma más insospechada en distintos ámbitos de  nuestra vida: desde las pirámides de Egipto hasta los cubos en los que cristaliza la pirita, pasando por los balones de fútbol. Han fascinado a los matemáticos y las matemáticas, que se han dedicado a su estudio desde la antigua Grecia, y constituyen hoy en día motivo de investigación activa. Entre los muchos que se han ocupado de su estudio cabría citar a Arquímedes, Kepler, Descartes, Euler, Cauchy, Steinitz, Alexandrov, Weil, Coxeter, Schläffi y Banchoff, dejándonos a muchos por el camino. Una referencia obligada sobre poliedros es [Cox].

 

 

2. Papiroflexia modular

 

Como hemos comentado antes, la papiroflexia modular consiste en hacer figuras utilizando varios papeles que darán lugar a piezas individuales que llamaremos módulos. Cada uno de estos módulos posee solapas y bolsillos, que se usan para ensamblarlos entre sí. Es usual representar de esta manera figuras geométricas, y que el plegado de cada módulo sea sencillo. Los poliedros son la principal fuente de inspiración de esta modalidad, aunque no la única.

 

Aparte del valor artístico y estético de la papiroflexia modular, su interés para con las matemáticas es doble:

Figura 2. Sólidos platónicos.

1)       Nos permite la representación física de entes abstractos. En este sentido, tiene el mismo interés que puede tener un programa de ordenador que dibuje poliedros, si bien es mucho más revelador tener en la mano un icosaedro, palparlo y girarlo, que verlo en una pantalla donde simulamos su giro.

Para este fin, hay también recortables y figuras de plástico, aunque a decir verdad, las posibilidades prácticas de representar poliedros con origami son mucho mayores que con recortables.

2)       Tanto en el diseño como en el plegado y ensamblaje de los módulos, se experimentan de una forma muy sencilla las propiedades de los poliedros tales como grado de un vértice, regularidad y simetría, ya que en su diseño intervienen de forma decisiva los conceptos de arista, índice, cara, vértice, y otros más sofisticados como dualidad, colorabilidad, característica de Euler-Poincaré e incluso curvatura (en el sentido que veremos más adelante).

 

Figura 3. Octaedro con el módulo giroscopio.

En este apartado vamos a ver diversos tipos de módulos y de poliedros, y analizaremos la enjundia matemática que acompaña a su diseño y su hechura. A medida que vayamos viendo modelos, nos irán surgiendo cuestiones matemáticas que nos harán acercamos a diversos resultados matemáticos sobre poliedros.

 

 

3. Familias de módulos

 

Se puede hacer una clasificación de los modulares, fijándonos en la estructura del poliedro que forman, o mejor dicho, dependiendo de en qué se fije uno para describir un poliedro: los vértices, las aristas o las caras. ¿Qué es, al fin y al cabo, un tetraedro? Podemos definirlo como cuatro vértices equidistantes, o como seis segmentos dispuestos de una determinada manera, o como cuatro caras triangulares. En una vuelta de tuerca sorprendente, un cubo puede definirse como un tetraedro estrellado. Todo esto es fácil de experimentar con la papiroflexia. Según esto, distinguimos tres tipos de módulos:

 

1)       Módulos basados en las aristas. Suelen ser los de ensamblaje más sólido. Cada módulo corresponde a una arista, lo cual hay que tener en cuenta a la hora de diseñarlos. Por lo general, suelen presentar caras perforadas, que nos permiten ver el interior.

 

2)       Módulos basados en las caras. Parece lo más natural, pero no siempre es lo más fácil de diseñar en papiroflexia. Los empalmes suelen ser más débiles, lo cual se debe a que las caras se juntan entre sí de dos en dos, mientras que las aristas se juntan de más en más en cada vértice.

 

3)       Módulos basados en los vértices. Los más importantes son de tipo giroscopio (ver [SAG]). Muy versátiles y resultones. Dentro de este tipo, se pueden clasificar por el grado: los que agrupan aristas de 3 en 3, de 4 en 4...

 

 

4. Módulos de tipo Sonobè: poliedros estrellados

 

Son probablemente los módulos más populares y se deben al japonés Mitsunobu Sonobè. Estos módulos se juntan de 3 en 3 para formar una pirámide con base un triángulo equilátero y con ángulos rectos en el vértice. Son, por lo tanto, muy adecuados para construir poliedros estrellados cuyas caras son triángulos (icosaedro estrellado, octaedro estrellado...).

 

Podemos considerar que estos módulos pertenecen a la familia de las caras, pero no sólo los podemos usar con caras triangulares: podemos juntarlos de 4 en 4, obteniendo como base un cuadrado y sobre él, lo que podríamos denominar una estrellación de segunda especie (cuatro pirámides cuyas bases no caen en un plano). De la misma manera, juntándolos de diversas maneras podemos obtener polígonos con estrellaciones muy barrocas, donde las caras aparecen de una manera más especial, pero con su sentido artístico y estructural (ver [Kasa]).

 

 

Figura 4. Icosaedro estrellado con módulos Sonobè.

 

 

5. Coloración

 

Un reto interesante sobre el módulo Sonobè consiste en colorear sus caras de una forma coherente. Para abordar esto, nos será útil el concepto de grafo de un poliedro.

 

 

5.1. Grafo de un poliedro

 

Sin querer ser demasiado preciso, un grafo es un complejo finito de vértices y aristas. Un grafo es plano si se puede dibujar en R2 de modo que las aristas no se corten, tan sólo pueden juntarse en los vértices. En un grafo consideraremos vértices, aristas y caras. Llamaremos grado de un vértice al número de aristas que concurren en él. A todo poliedro podemos asociarle de forma fácil un grafo plano. Basta tomar una cara y realizar una suerte de proyección estereográfica en el plano. Por supuesto, consideramos la componente no acotada como una cara.

 

Una ventaja de los grafos es que nos permiten estudiar los poliedros de una forma más fácil que representándolos en el espacio.

 

 

Figura 5. Grafos de los sólidos platónicos.

 

 

5.2. Coloración de isocaedros

 

Entendemos por una buena coloración la asignación de colores a los vértices, aristas o caras de modo que cumplan alguna regularidad, por lo general, del tipo de que elementos contiguos tengan colores distintos.

Para pensar en una coloración del icosaedro estrellado con módulos Sonobè, habrá que conseguir su grafo a partir del de nuestro icosaedro, sin más que unir en cada uno de sus triángulos el punto medio con sus vértices. El grafo que así obtenemos es el de un triacontraedro. Como éste es dual del icosidodecaedro, nos basta colorear las aristas de éste último. Si nos fijamos en los módulos de Sonobè, además tenemos que por cada módulo, coloreamos dos aristas “contiguas” del icosaedro estrellado. Esto nos sugiere construir seis circuitos de colores de la forma en que vemos en la Figura 6, obteniendo seis “círculos máximos” sobre el icosaedro estrellado. Volviendo al módulo de Sonobè, si quiero hacer una coloración con tres colores, he de elegir los circuitos máximos de dos en dos, y en los puntos de cruce de ambos circuitos, dejar que pase el uno sobre el otro, y el otro sobre el uno. De esta forma, obtenemos un arlequinado del icosaedro estrellado Sonobè tal que en cada vértice se unen los tres colores. Como vemos, para colorear un icosaedro estrellado hay que pensar en un icosidodecaedro.

 

 

Figura 6. Seis ciclos en un

icosidodecaedro.  Grafo del

triacontaedro.

 

 

5.3. Dualidad

 

Otro concepto que se puede representar con la papiroflexia es la dualidad de poliedros. Dado un poliedro, podemos tomar los puntos medios de cada cara, y unir los de caras contiguas. Sorprendentemente, mediante este procedimiento obtenemos un nuevo poliedro. Para comprender mejor la idea, vamos a expresarla con grafos: se construye el dual de un grafo como el grafo que tiene como puntos los puntos medios de cada cara, y que tiene como aristas las aristas que resultan de unir los puntos pertenecientes a caras contiguas, atravesando las aristas originales. Poliedros duales corresponden a grafos duales. La relación “ser duales” es recíproca.

 

De este modo, se puede comprobar que el dual del tetraedro es el mismo tetraedro, el dual del icosaedro es el dodecaedro, y el dual del cubo es el octaedro. En papiroflexia podemos representar esa dualidad valiéndonos de que los módulos de tipo arista del dodecaedro tienen agujeros, además de usar un material transparente como lo es el acetato.

 

 

 

Figura 7. Dualidad icosaedro-dodecaedro.

 

 

Figura 8. Cinco tetraedros intersecados.

 

 

6. Cinco tetraedros intersecados

 

Vamos a construir un objeto muy venerado por matemáticos y papiroflectas. Si tomamos en un dodecaedro cuatro vértices equidistantes, obtendremos un tetraedro. Como tenemos exactamente veinte vértices, podemos insertar cinco tetraedros en el dodecaedro. Este objeto se puede construir en papiroflexia, y constituye un complejo y entretenido rompecabezas (ver [Hull1]).

 

Para resolverlo, hay que fijarse en las mil y una simetrías de este objeto. La clave para la construcción consiste en que si tomamos cualesquiera dos de estos tetraedros, un vértice de uno de ellos sale exactamente por el medio de una cara del otro, y lo mismo, pero intercambiando los papeles, ocurre en la parte opuesta. Con este objeto se puede visualizar que el grupo de rotaciones del dodecaedro es un grupo alternado de cinco letras. Esto resulta de que al girar el dodecaedro estamos intercambiando los cinco tetraedros entre sí.

 

Hay otras composiciones realizables con papiroflexia, como los cinco octaedros que hay insertados en un icosidodecaedro. En cambio, la composición de cinco cubos que hay en un dodecaedro presenta una dificultad añadida, pues las aristas de esos cubos se intersecan, y no podríamos usar la técnica de los módulos tipo arista que hemos usado para los tetraedros.

 

 

Figura 9. Icosaedros truncados con módulos de vértices y aristas.

 

 

7. Balones de fútbol o fullerenos

 

7.1. El objeto

 

Si miramos con atención un balón de fútbol, veremos que está formado por hexágonos y pentágonos, de modo que en cada vértice se juntan dos hexágonos y un pentágono. Podemos contar con cuidado  y comprobar que tiene 12 pentágonos. Contar los hexágonos del balón parece más complicado, pero podemos valernos de su estructura: si contamos por cada pentágono sus cinco hexágonos adyacentes, obtenemos 60 hexágonos, pero cada uno de estos, al tocar a 3 pentágonos, lo hemos contado 3 veces, de modo que en realidad hay 20 hexágonos. El balón de fútbol es un poliedro semirregular (son como los regulares, pero usando dos tipos de polígonos; hay sólo 13 y se llaman arquimedianos), y su auténtico nombre es icosaedro truncado.

 

7.2. Fullerenos

 

Un fullereno es un poliedro formado por pentágonos y hexágonos, de modo que todos los vértices son de grado 3. Su nombre está puesto en honor al arquitecto Richard Buckminster Fuller (1895-1983), que construyó un pabellón esférico futurista con esa estructura en la Exposición Universal de Montreal de 1967. Más tarde, se ha llamado fullereno a la tercera forma alotrópica del carbono (las otras dos son el diamante y el grafito), y ha resultado ser una forma extraordinariamente estable, descubierta en 1985 y cuyo descubrimiento fue merecedor de un premio Nobel. Las moléculas del fullereno usual tienen 60 átomos de carbono colocados en los vértices de un balón de fútbol, pero hay muchos más fullerenos. Para construir fullerenos de papiroflexia es muy adecuada la pieza en zig-zag de Tom Hull (ver [Hull1]), pues cada módulo representa una arista y las aristas se juntan de tres en tres (Figura 12).

 

7.3. Característica de Euler

 

Una de las propiedades más valiosas de los poliedros es una fórmula atribuida a Euler, aunque anteriormente Descartes había encontrado una fórmula equivalente, que apareció 200 años después de ser escrita, entre los papeles de Leibniz. Es el siguiente y bonito teorema:

 

Teorema (Fórmula de Euler). Sea un poliedro homeomorfo a una esfera con V vértices,  A aristas y C caras. Entonces, se cumple la fórmula:

 

V − A + C = 2.

 

Podemos comprobar esta fórmula con los sólidos platónicos, con el balón de fútbol y con los poliedros estrellados que hemos visto aquí. Esta fórmula también la cumplen los grafos planos. De hecho, la propiedad es topológica: si hacemos cualquier triangulación sobre una esfera o sobre un espacio homeomorfo, se seguirá cumpliendo la fórmula. Se puede asociar a cada espacio topológico “razonable” un número, llamado característica de Euler-Poincaré, que se define como la suma alternada de sus números de Betti. Es un invariante topológico importantísimo, y generaliza la suma alternada que antes hemos expresado como “vértices menos aristas más caras”. En este sentido, la fórmula de Euler dice ni más ni menos que la característica de Euler-Poincaré de la esfera es 2. Con la característica de Euler-Poincaré es fácil probar, por ejemplo, el teorema de Teeteto sobre los cinco sólidos platónicos.

 

Volviendo a nuestros fullerenos, si llamamos H al número de hexágonos y P al número de pentágonos, podemos calcular cuántos vértices, aristas y caras hay. Explícitamente,

 

 

V =

5P + 6H

;

 

A =

5P + 6H

;

 

C =

P + H .

3

 

2

 

 

 

Si sustituimos ahora en la fórmula de Euler, obtenemos fácilmente

 

 

5P + 6H

5P + 6H

+ (P + H) = 2

3

2

Figura 10.

Construcción de fullerenos.

 

y concluimos P=12, de modo que, sea lo grande que sea el fullereno, las condiciones que le hemos puesto fuerzan a que haya siempre 12 pentágonos, si bien no hemos obtenido ninguna condición sobre los hexágonos. De hecho, podemos interpretar el dodecaedro como un fullereno sin hexágonos. Un método para generar fullerenos es truncar un icosaedro (tiene 12 vértices, de donde obtenemos los 12 pentágonos) y subdividir las caras triangulares en nuevos triangulitos más pequeños. Calculando el dual de este grafo, obtenemos un nuevo poliedro que es un fullereno.

 

Cabe preguntarnos si estas construcciones son meramente topológicas, es decir, si los grafos que construimos tienen una realización en un poliedro convexo real. No tenemos aparentemente ninguna razón para pensar que para todo grafo vaya a suceder eso. Es clara la existencia de un poliedro “esférico” que realice cada grafo, pero otra cosa es que las caras que obtengamos sean planas. Aunque nuestros fullerenos podamos construirlos efectivamente con papiroflexia (ver [Hull1]), a uno le podría quedar la duda de si está construyendo poliedros “de verdad” o si es la flexibilidad del papel la que nos los permite construir, no yaciendo cada cara en un plano. Para responder a esta cuestión, tenemos el siguiente y clásico:

 

Teorema (Steinitz). Un grafo representa a un poliedro convexo de R3 si, y sólo si, es plano y 3-conexo.

 

La propiedad de ser 3-conexo significa que hay que quitar por lo menos tres vértices al grafo plano para dividirlo en dos componentes conexas. Así que como nuestros fullerenos tienen grafos planos y 3-conexos, nos quedamos tranquilos. Otra cuestión es saber cuándo un grafo se puede realizar como un poliedro inscribible en una esfera. Esta cuestión se conoce como Problema de Steinitz, y ha obtenido recientemente respuestas parciales con métodos de geometría computacional.

 

 

8. Toros modulares

 

Un toro es el nombre matemático por el que se conoce a la superficie de un flotador o un donut. Viene del griego τορεω, que significa agujero, perforar.

 

Vamos a ilustrar el interés matemático de la construcción de un toro de papiroflexia con una anécdota personal. La historia empieza al conseguir una foto en Internet de un toro modular, diseñado por el italiano Roberto Gretter con las mismas piezas zig-zag de Hull. Como con los fullerenos, podemos contar cuántos pentágonos y hexágonos iban a ser necesarios. La característica de Euler-Poincaré del toro es 0, con lo cual, aplicando la fórmula de Euler para toros:

 

V − A + C = 0,

 

y sustituyendo con el número H de hexágonos y P de pentágonos, obtenemos:

 

5P + 6H

5P + 6H

+ (P + H) = 0

3

2

 

y de aquí P = 0, con lo que llegamos a que no se puede construir un toro con hexágonos y pentágonos de 3 en 3, esto es una restricción topológica. Sin embargo, al toro de la Figura 11 claramente se le adivinan pentágonos en la parte exterior. El error consistió en no haberse percatado de que, además de pentágonos y hexágonos, el toro por la parte interna tenía heptágonos. Considerando esto, la fórmula de Euler nos proporciona:

 

5P + 6H + 7Hp

5P + 6H + 7Hp

+ ( 5P + 6H + 7Hp ) = 0

3

2

 

con lo que la condición es que P=Hp, esto es, que haya el mismo número de heptágonos que de pentágonos. Con ese dato, y calculando que hubiera 10 pentágonos en la composición, es un entretenido rompecabezas construir un toro modular.

 

Como vemos, la discusión matemática previa al diseño es exclusivamente topológica (hemos utilizado el género de la superficie que queremos conseguir). No hemos obtenido un poliedro, pues salta a la vista que las caras que tenemos no son planas. No obstante, la enjundia de este modelo no es sólo topológica, sino también geométrica.

 

Podemos fijarnos en que el toro tiene los 10 pentágonos por fuera y los heptágonos por dentro. Sabemos que el toro usual con la métrica usual tiene curvatura positiva por fuera (se asemeja a un balón), negativa por dentro (se asemeja a una silla de montar) y como la curvatura es una aplicación continua, se tiene que anular entre medio.

 

 

Figura 11. Toro modular.

 

De hecho, por fuera, los pentágonos están rodeados de hexágonos, lo cual nos puede recordar al balón de fútbol. Ciertamente, la coloración del toro está en función de la curvatura: roja allá donde es positiva, morado donde es negativa, y amarillo cuando más se acerca a cero.

 

La razón por la cual nuestro toro modular adquiere esta curvatura no es topológica, sino geométrica, y de hecho se debe a la forma que tienen los módulos que estamos empalmando. Al formar un heptágono con los módulos zig-zag, vemos que adquiere por sí solo curvatura negativa; al plegar un hexágono, se puede posar tranquilamente sobre una mesa (curvatura cero); y al plegar un pentágono, las aristas adquieren curvatura positiva. Al analizar los empalmes de los módulos, vemos que forman pirámides que tienen como base un triángulo equilátero, y se unen desde la mitad del lado, como se ve en la Figura 12. Si ponemos seis triángulos de esa manera, montan perfectamente. Si ponemos sólo cinco, nos falta un poco de ángulo para completar 2π radianes. Eso que falta se puede interpretar como el exceso de ángulo en un punto interior del pentágono, y es lo que proporciona la curvatura positiva. Cuando ponemos siete triángulos, en vez de faltar, sobra ángulo, y eso es porque en el interior hay curvatura negativa.

 

 

Figura 12. Pentágono y hexágono con

módulos zig-zag de Hull.

 

Figura 13. Dominio fundamental para un toro

de 105 piezas (Sarah Belcastro).

 

Un interesante reto consiste en diseñar toros con este mismo módulo usando la menor cantidad de piezas posible. El toro de Gretter tiene 555 piezas. Tom Hull y sus alumnos han diseñado diferentes modelos de 240, 105 y 81 piezas, llegando al límite de lo físicamente constructible. En vez de heptágonos, se usan octógonos y decágonos para dar curvatura negativa (cuanto menos piezas, menor tendrá que ser la curvatura, intuitivamente). La fórmula de Euler nos dice que tiene que tener el doble de pentágonos que de octógonos, y si usámos decágonos, hay que usar 4 veces más pentágonos que decágonos.

 

 

Referencias

[Cox]         H.S.M. Coxeter: Regular polytopes. Dover, 1973.

[Hull1]       T. Hull: Origami mathematics, http://kahuna.merrimack.edu/~thull/origamimath.html.

[Kasa]       K. Kasahara, T. Takahama: Origami para expertos.  Edaf, 2000.

[SAG]        L. Simon, B. Arnstein, R. Gurkewitz: Modular origami polyhedra. Dover,  1999.

 

Sobre el autor

José I. Royo Prieto es Doctor en Matemáticas por la Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea. En la actualidad disfruta de una Beca Postdoctoral de Formación de Investigadores del Gobierno Vasco/Eusko Jaurlaritza en el Departamento de Xeometría e Topoloxía de la Facultade de Matemáticas de la Universidade de Santiago de Compostela. Ha dictado varias conferencias y escrito diversos artículos sobre matemáticas y papiroflexia, y coordina una sección sobre este tema en DivulgaMAT, portal de divulgación de las matemáticas de la Real Sociedad Matemática Española.

 




(*) Este artículo ha aparecido en el no. 21 de la revista Sigma, editada por el Servicio Central de Publicaciones del Gobierno Vasco/Eusko Jaurlaritza. Se publica, fraccionado en tres partes, en los números de abril, junio y octubre de 2005 de Matematicalia.