Ciencia
Escrito por Rodolfo H. Torres   
martes, 14 de junio de 2005
Análisis espectral de nanoestructuras en tejidos biológicos

Recibido: miércoles, 11 mayo 2005




Análisis espectral de nanoestructuras en tejidos biológicos

 

Rodolfo H. Torres

Department of Mathematics

University of Kansas (USA)

e-mail: torres @ math.ku.edu

página web: http://www.math.ku.edu/~torres

 

Richard O. Prum

Ecology and Evolutionary Biology

Peabody Museum of Natural History

Yale University (USA)

e-mail: Esta dirección de correo electrónico está protegida contra los robots de spam, necesita tener Javascript activado para poder verla

página web: http://www.eeb.yale.edu/prum

 

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1. Introducción

 

El estudio de la coloración de los materiales que encontramos en la naturaleza es una ciencia muy compleja que incluye investigaciones en física, química y biología y también, como mostraremos, matemáticas. Describiremos cuestiones de carácter matemático que aparecen en el estudio que hemos realizado de los colores estructurales en las plumas y piel de aves como así también en tejidos de mamíferos y otros especímenes del reino animal. Nuestra intención en esta nota es la de poner en evidencia cómo técnicas matemáticas, en nuestro caso el  análisis de Fourier, juegan un papel fundamental en la modelación e interpretación de fenómenos que ocurren en la naturaleza.

 

Nuestra presentación será expositiva y no profundizaremos en detalles técnicos, pero trataremos de presentar los elementos más importantes. Para mayores detalles incluimos en la bibliografía las referencias de varios artículos introductorios como así también publicaciones científicas. Los resultados de investigaciones en biología presentados son de los trabajos de Prum et al. [11-20].

 

Para poder describir nuestro trabajo primero recordaremos algunas nociones básicas sobre: los colores y la coloración, el comportamiento ondulatorio de la luz, el análisis de Fourier y el procesamiento de imágenes. Combinaremos, finalmente, conceptos de todas estas áreas para explicar e interpretar la coloración de ciertos tejidos biológicos basándonos en un modelo físico de interferencia constructiva de ondas.

 

Ilustraremos principalmente la aplicación de una poderosa herramienta matemática en un área de la biología donde no había sido implementada hasta hace poco. Al mismo tiempo, queremos notar que los resultados que presentaremos son de relevancia propia dentro de la biología. Los colores en los animales juegan un papel fundamental en su comunicación y comportamiento. Poder entender en detalle cómo se producen estos colores ayuda a que comprendamos mejor las especies a través de la función y evolución de los tipos de coloración.

 

 

2. Coloración y la medición de colores

 

Las formas de coloración son sumamente diversas. Por ejemplo, en su libro clásico [10], Nassau describe al menos quince formas distintas de coloración. Seguiremos su enfoque en la forma de introducir algunos de los conceptos más básicos sobre el color. Otra excelente referencia introductoria para el estudio del color y su ciencia es el número especial de Investigación y Ciencia [21].

 

En general, la coloración de un material es consecuencia de procesos químicos y físicos que ocurren cuando el material es iluminado y la luz incidente interactúa con las componentes del mismo a distintas escalas físicas.

 

La luz no tiene color, sino que comúnmente asignamos nombres de colores a la sensación que producen en nuestro sistema visual las ondas electromagnéticas de distintas frecuencias que forman la luz visible. Identificamos físicamente estos colores en términos de sus longitudes de onda.

 

El famoso experimento de Newton observado cuando la luz solar atraviesa un objeto refractante como un prisma, muestra un espectro de colores que son ondas de distintas longitudes de onda (distancia entre dos picos de una onda). Estas ondas pueden recombinarse usando lentes y filtros para formar otros colores. La combinación de luces correspondientes a distintos colores sobre una pantalla produce la llamada mezcla aditiva de colores. Por ejemplo, la superposición de luces roja y azul produce el llamado color magenta, mientras que si añadimos a éstos el verde (color complementario del magenta) recuperamos luz blanca.

 

Por otro lado, cuando los colores se deben a la mezcla de pigmentos, la coloración observada es llamada mezcla sustractiva de colores. Los colores más comunes observados en plantas y animales se deben a la presencia de pigmentos cuyas moléculas absorben y emiten distintas longitudes de onda de la luz visible. La luz incidente sobre un material induce en las moléculas de los pigmentos presentes vibraciones de cierta frecuencia que es determinada por la estructura de estas moléculas y produce la absorción selectiva de longitudes de onda específicas. La distribución de la luz emitida es observada como un color. El color observado en un pigmento es el resultado de los que no son absorbidos. Por ejemplo, si añadimos a un pigmento magenta un pigmento de su color complementario, verde, prácticamente todo el espectro de luz será absorbido y el objeto se verá negro (ver las figuras en [21, pp. 5-7]).

 

Los rojos, naranjas y amarillos observados en la naturaleza son comúnmente debidos a la presencia de pigmentos. Por el contrario, los verdes y azules se deben en su mayoría a otros fenómenos físicos que explicaremos. Si bien existen pigmentos azules en plantas y algunos insectos, no se les encuentra, en general, en vertebrados. En particular, no se conocen pigmentos de esos colores que estén presentes en aves y mamíferos. En los tejidos de estos animales los colores azules y verdes son producidos por la interacción de la luz incidente con las estructuras en los tejidos a escalas comparables con las longitudes de onda de la luz visible. La iridiscencia de las plumas de cola de un pavo real, las plateadas escamas de un pez, y el brillo nocturno de los ojos de un felino son ejemplos de los llamados colores estructurales.

 

En lo que sigue, es importante distinguir entre la noción del contenido y distribución de longitudes de onda en la luz y nuestra percepción de su combinación como un color. Cuando nos refiramos al color que deseamos analizar nos referiremos al espectro de reflectancia de un material. Éste es medido con un espectrofotómetro y reportado como un porcentaje de reflectancia con respecto a la luz incidente sobre un espécimen relativo a un estándar blanco. Algunas características del espectro de reflectancia son la ubicación del pico (o máximo) de la distribución, el croma (o ancho del pico de reflectancia) y el brillo dado por la magnitud del espectro. Espectros muy distintos pueden producir en nosotros la misma sensación de color. En lo que estamos interesados es en cuantificar matemáticamente este espectro, explicar su forma con un modelo físico y predecirlo con nuestras mediciones.

 

 

3. Las ondas de luz y el color estructural

 

Ciertos comportamientos de la luz al interactuar con estructuras físicas y obstáculos pueden ser explicados por su modelización como una onda de determinada velocidad, amplitud y frecuencia. Podemos decir en términos simples que las ondas de luz al propagarse por un medio chocan contra estructuras, se difractan en los bordes de obstáculos, se dispersan por la presencia de partículas e interfieren consigo mismas superponiéndose o cancelándose. Estos tipos de comportamiento son similares a los comúnmente observados en otros procesos ondulatorios a mucha mayor escala, como son las olas del mar u otras ondas producidas en la superficie de un líquido. Al igual que ocurre con las ondas en un líquido, en los fenómenos que gobiernan el comportamiento de las ondas de luz las dimensiones físicas de los obstáculos juegan un papel fundamental.

 

El espectro visible está compuesto de ondas que varían aproximadamente entre los 400nm de longitud de onda del violeta a los 700 nm del rojo, con el verde y el azul entre los 450 y 550nm de longitud de onda. Las estructuras o variaciones presentes en ciertos tejidos cuyas dimensiones están en este orden de magnitud son las que, sostenemos, son responsables de algunos colores estructurales observados. Éstos son debidos a una difusión coherente e interferencia constructiva. No obstante, previamente estos colores fueron erróneamente explicados (durante más de un siglo) por la difusión incoherente de ondas.

 

Una forma muy simplificada de explicar la difusión de ondas está esquematizada en la Figura 1. En ella vemos cómo una grieta en el piso (representando una pequeña variación en el índice de refracción en un medio) no altera el paso de una pelota de baloncesto (representando una onda de luz roja), pero sí altera sustancialmente el recorrido de una canica (representando una onda azul).

 

 

Figura 1.

 

En forma similar, uno de los fenómenos de coloración azul más comunes es el producido por la famosa difusión de Rayleigh. Este modelo establece que la eficacia con la que la luz es dispersada por una partícula o una molécula depende de la longitud de onda y varía como la inversa de la potencia cuarta de la longitud de onda. De acuerdo con esta ley, los colores del espectro visible con menor longitud de onda, el azul y el violeta, se difunden mucho más que los colores con mayor longitud de onda, como el rojo. La difusión de Rayleigh es un modelo de difusión incoherente, es decir, las relaciones entre las fases de las ondas de luz dispersadas por distintas moléculas son ignoradas [24]. Esta difusión incoherente se produce cuando los objetos dispersantes están espacialmente distribuidos en forma aleatoria. Este es el modelo empleado usualmente para explicar algunas coloraciones azules como, por ejemplo, la del radiante cielo azul de las Islas Canarias.

 

En contraste, en los fenómenos de interferencia constructiva el orden geométrico entre los lugares donde se produce la variación de índice de refracción es aleatorio y permite que las ondas de luz interactúen entre sí. Dos ondas en fase se superponen, mientras que dos fuera de fase se cancelan. Esto es observado, por ejemplo, en los colores producidos en una lámina o película delgada de aceite. Dos rayos de luz reflejados por dos superficies paralelas viajan distintas distancias arribando al observador en fase o fuera de fase en función de las magnitudes físicas involucradas. Dependiendo del ángulo de incidencia y el espesor de la lámina, distintas longitudes de onda se cancelan o superponen produciendo los colores observados. En este fenómeno aparece iridiscencia, es decir, variación del color con el ángulo de observación. Este modelo ha sido utilizado para explicar la coloración de tejidos de organismos que tienen una estructura laminar. Los colores iridiscentes observados en los picaflores se deben a este fenómeno. Ver como referencias [6, 7, 8].

 

En la ausencia de pigmentación e iridiscencia, la coloración azul de otros tejidos ha sido erróneamente atribuida a la dispersión incoherente de Rayleigh. Un análisis detallado de la estructura de los tejidos en los que nos interesamos muestra que existe la posibilidad de color estructural con muy poca iridiscencia. Además, la forma del espectro en mediciones de espectrofotómetro indica que el modelo de Rayleigh no es aplicable, ya que los colores tienen un pico notable a una determinada frecuencia y la distribución de intensidad no aumenta hacia el extremo ultravioleta del espectro, como la ley de Rayleigh indicaría.

 

En los tejidos biológicos que estudiamos, las variaciones en el índice de refracción presentan una estructura muy regular y casi periódica. La distribución espacial uniforme de los distintos materiales dispersantes en los tejidos permite que aquellas ondas con apropiada longitud de onda, comparable a las distancias entre los distintos materiales, se superpongan en forma predominante, produciendo interferencia constructiva en todas direcciones. Lo interesante es que varios de estos tejidos no son perfectamente periódicos como un cristal, sino que tienen un cuasi-orden. Para poder medir este cuasi-orden y establecer un modelo físico de coloración debido a la geometría de los materiales recurrimos a una de las más poderosas herramientas matemáticas en la medición de periodicidad, simetrías y orden espacial: el análisis de Fourier.

 

 

4. La transformada de Fourier y el análisis de señales e imágenes

 

El análisis de Fourier juega un papel crucial en muchos aspectos de las matemáticas. Su relevancia en las aplicaciones es igualmente importante. La transformada de Fourier y sus refinamientos técnicos como la teoría de ondículas y otras descomposiciones de tiempo-frecuencia relacionadas, constituyen contribuciones a la ciencia y la ingeniería extremadamente útiles. Sus aplicaciones abarcan áreas como la sismología, la química, la medicina, la astronomía y muchas otras disciplinas.

 

La idea básica es la de descomponer una función (una señal o imagen, en las aplicaciones) como la superposición de ondas sinusoidales cuyas amplitudes lleven información acerca del contenido frecuencial (o periodicidad) de la señal analizada. Por hacer un paralelismo, la transformada actúa como un prisma y descifra una señal como un espectro de información de distintas frecuencias o longitudes de onda.

 

 

Figura 2.

 

Una función f puede ser representada como superposición de funciones sinusoidales. En la Figura 2 vemos cómo sumando ondas de frecuencia y amplitud apropiadas podemos escribir la función  en el intervalo (0,1) en la forma

 

f(x) = b1sen (πx) + b2sen (2πx) + b3sen (3πx) +...

 

La Figura 3 muestra cómo las amplitudes de las distintas ondas, los coeficientes | bk |, contribuyen en la construcción de la función analizada.

 

 

 

Figura 3.

 

En términos más precisos, sabemos que una función periódica de período 2r puede ser representada como una serie de Fourier de senos y cosenos. Por conveniencia, escribimos éstos como exponenciales complejas: eix = cos x + i sen x. Entonces, para funciones f apropiadas podemos escribir

 

 

 

donde los coeficientes de Fourier están dados por

                                                 

 

                           (1)

 

 

 

Figura 4.

 

 

Una imagen bidimensional puede ser contemplada como una función de dos variables. Es decir, podemos digitalizar la imagen en una computadora asignando un valor a cada píxel de un color o tono de gris en la imagen. De esta forma podemos pensar que la imagen que vemos en la pantalla no es sino las curvas o conjuntos de nivel de una función de dos variables. En forma similar a lo hecho con funciones de una variable, podemos ahora intentar reconstruir una imagen como superposición de ondas bidimensionales de la forma cos(nπx+mπy) ó sen(nπx+mπy); ver Figura 4.

 

Es decir (y aunque resulte curioso), podemos componer una imagen “arbitraria” como superposición de imágenes compuestas de bandas como en las dadas por los conjuntos de nivel de las funciones de la Figura 4, los cuales se muestran en la Figura 5. En el caso bidimensional podemos, esencialmente, ver la transformada de Fourier de una imagen como una nueva imagen o función de dos variables, donde cada valor en un punto (x,y) mide cuánto contribuye en la construcción de la imagen original una onda bidimensional cuya frecuencia es la distancia de (x,y) al origen.

 

 

 

Figura 5.

 

 

Este tipo de análisis se extiende a funciones de cualquier número n de variables. Más aún, es posible extender el análisis de Fourier a funciones no necesariamente periódicas y definidas en una dimensión, R, dos dimensiones, R2, o incluso n dimensiones, Rn, por medio de la fórmula

 

 

 

donde ahora la transformada de Fourier está dada por

 

             (2)

                                                            

                                                               

(En Rn usamos la notación x = (x1, x2,...,xn), ξ = ( ξ 1, ξ2,..., ξn), y x·ξ = ( x1·ξ 1 + x2·ξ+xn·ξ n)).

 

 

En todas sus encarnaciones podemos ver a la transformada de Fourier como a un espectro de frecuencias de una función o señal. Las amplitudes  ó  de las ondas complejas en (1) y (2) dan una medida de cuánto cada oscilación de determinada frecuencia contribuye a la forma de la función analizada.

 

Una introducción rigurosa a la transformada de Fourier puede verse en el texto [4]. En esta exposición no daremos más detalles técnicos, pero sí queremos mencionar que, a través de la llamada teoría de distribuciones, la noción de transformada de Fourier puede extenderse a medidas (y otros objetos matemáticos que no son necesariamente funciones). Por ejemplo, una propiedad que usaremos más adelante es que la distribución  (o masa unidad concentrada en un punto xj) tiene por transformada de Fourier la función .

 

Además de la importancia en la formulación teórica de muchos fenómenos físicos y de sus propiedades matemáticas, lo que hace que la transformada de Fourier sea una herramienta muy popular en la ingeniería y las aplicaciones es que puede “calcularse” en forma rápida. No intentaremos cubrir aquí en detalle la llamada transformada de Fourier rápida (FFT por fast Fourier transform), y tan sólo mencionaremos que es una aproximación discreta (y finita) de la transformada de Fourier que puede ser calculada en forma muy eficiente. La transformada de Fourier discreta está definida de la forma siguiente.

 

Sea N un entero positivo y par. Dada una la colección de números f={fn}, −N/2+1nN/2 (pensemos en ellos como los valores o muestras de una función), podemos reconstruirla usando la colección {Fn}, la transformada de Fourier discreta de la colección f, por medio de la fórmula

 

 

 

donde los números Fk están dados ahora por

 

 

 

El algoritmo con que se calcula la transformada de Fourier discreta es en realidad lo que se llama la FFT, y se lo encuentra hoy en día en los programas de computación de análisis de señales más comunes. Este ingenioso, pero simple, algoritmo permite calcular los coeficientes en la transformada de Fourier discreta usando sólo O(N logN) operaciones, en vez de O(N2) como uno pensaría que son necesarias. La transformada de Fourier discreta puede usarse para calcular una aproximación razonable de la transformada de Fourier. Su versión bidimensional es la que utilizamos en nuestro análisis de las imágenes de tejidos biológicos. Referimos a [3] para mayores detalles sobre la FFT.

 

 

5. Análisis espectral de estructuras geométricas y azules estructurales

 

En nuestro estudio sobre coloración usamos el análisis de Fourier para estudiar la geometría de nanoestructuras en los tejidos a partir de sus imágenes de miscrocopio electrónico. Usando el análisis de frecuencia de estas imágenes predecimos el comportamiento de la interacción de la luz con las nanoestructuras de los tejidos de colores. Comparamos luego estas predicciones con las mediciones obtenidas con un espectrofotómetro para testear nuestras hipótesis de difusión coherente, contradiciendo la noción de coloración debida a la difusión incoherente de Rayleigh.

 

El uso del análisis de Fourier para estudiar materiales estructurados tiene una larga historia. Por ejemplo, la estructura de cristales puede ser estudiada a través de los motivos de difracción obtenidos cuando un cristal es iluminado con rayos X. Matemáticamente, esto se traduce en el análisis de la transformada de Fourier de la distribución de partículas en el cristal. Nos referimos al libro [22] para una presentación muy accesible sobre el tema.

 

Las imágenes cristalográficas pueden ser explicadas por la ley de Bragg [2] (cuyo nombre es el del equipo padre-hijo que obtuviera el premio Nobel de Física por el descubrimiento de dicha ley). A un nivel elemental su explicación es similar a la dada sobre la coloración observada en películas delgadas. En efecto, ondas electromagnéticas paralelas incidentes sobre el cristal se dispersan en los átomos del mismo y arriban al observador luego de recorrer diferentes distancias. En función de estas distancias y del ángulo de incidencia algunas ondas arriban en fase, reforzándose, y otras desfasadas, cancelándose. Para un ángulo de incidencia θ con respecto a planos atómicos paralelos a distancia d, el primer pico en la difracción observada es para ondas de longitud

 

λ=2d senθ.

 

Vemos que para que esto ocurra las longitudes de onda y las distancias físicas en la estructura o variaciones en el índice de difracción deben ser de tamaños comparables. Para ondas de rayos X cuya longitud es del orden de los 1010m este fenómeno tiene lugar a nivel atómico. En los tejidos biológicos analizados el color estructural producido ocurre a una escala mucho mayor que la de la distancia interatómica en cristales y tiene lugar a escalas comparables con las longitudes de onda del espectro visible. La ley de Bragg no puede usarse directamente, ya que los tejidos que nos interesan no son perfectamente ordenados sino que presentan un orden promedio o cuasi-orden. No obstante, así como el análisis de Fourier puede usarse para describir el orden exacto y simetrías en cristales, también puede utilizarse para medir este orden en promedio y predecir el color observado.

 

Pare explicar esto basamos nuestro estudio en los trabajos [1, 23], y las referencias dadas en ellos. Estos trabajos hablan sobre las propiedades ópticas de la córnea humana, un tejido biológico similar a los tejidos de las aves estudiados. En efecto, la córnea esta formada por largas fibras paralelas de colágeno inmersas en una sustancia ambiente. La sección transversal de estas fibras se asemeja a la de algunos de los tejidos analizados pero a una escala menor.

 

La transparencia de la córnea como así también la turbicidad de algunas anormalidades es explicada por Benedek [1]. De acuerdo a su presentación, Maurice [9] fue el primero en notar que para poder explicar la transparencia de la córnea era importante entender el orden presente entre las fibras de colágeno. Maurice especuló que dichas fibras deberían estar perfectamente equidistribuidas con sus ejes longitudinales centrados en los puntos de una retícula. Una serie de experimentos numéricos y formulaciones teóricas culminando en el trabajo de Benedek, explican que tal orden perfecto no es necesario. Simplemente, variaciones en el índice de refracción cuyas fluctuaciones en promedio tienen un número de onda mayor o igual que un medio de la longitud de onda de la luz incidente en el medio son responsables de la mayor parte de la luz dispersada. En el caso de la córnea estas fluctuaciones entre las fibras son muy pequeñas y por lo tanto la mayor energía dispersada es para longitudes de onda en la parte ultravioleta del espectro [23]. Las ondas de menores frecuencias en la parte visible del espectro son trasmitidas y por lo tanto la córnea aparece transparente. En el caso de los tejidos de colores, las fluctuaciones ocurren a longitudes de onda un tanto más largas, y la mayor energía dispersada ocurre a las frecuencias de los colores observados, como lo indican las mediciones espectrofotométricas.

 

Explicamos ahora el fenómeno con más rigor. Las fibras en los tejidos pueden ser modeladas como cilindros muy delgados y largos o, más apropiadamente, como agujas. Describiremos la propagación de un campo electromagnético en el plano perpendicular a estas fibras. Otras consideraciones físicas implican que la mayor parte del campo dispersado por las fibras se propaga en esta dirección.

 

Consideremos entonces una distribución de masas puntuales Mj en las posiciones xj en el plano. Escribamos una onda de luz incidente como , donde |k0|=2πη/λ, η es el índice medio de difracción y λ es la longitud de onda incidente. El campo eléctrico incidente induce dipolos oscilantes en el medio que a su vez irradian un nuevo campo eléctrico en todas direcciones. El campo dispersado a determinado lugar en el plano es la superposición de los campos dispersados por cada una de las masas puntuales. Los campos originados en distintas posiciones viajan distintas distancias. Más aún, las oscilaciones inducidas tienen lugar a distintos momentos, produciéndose un retraso en el tiempo que depende de la posición del oscilador.

 

Usando en forma apropiada esta adición en la trayectoria recorrida y el retraso temporal, se obtiene que el campo dispersado por Mj a la posición R en la dirección de un vector l con |l|=|k0| y formando un ángulo θ con la onda incidente, está dado por

 

 

 

El campo total dispersado es luego

 

                              (3)

 

donde k=k0−l es el vector de dispersión y

 

 

 

Usando distribuciones delta y la transformada de Fourier, se puede ver que el último factor en (3) es la función de interferencia

 

 

 

donde f  puede pensarse como una densidad de distribución de masas.

 

De este análisis sigue que la intensidad del campo dispersado será mayor para aquellas frecuencias k tales que  es grande. Por ejemplo, en la dirección del observador (backward scattering), θ=π, la luz incidente con longitud de onda λ=2πη/|k0|, se dispersará con mucha intensidad si  tiene una componente significativa para |k|=2|k0|, es decir, para aquellas λ's tales que

 

                             (4)

               

y k es una frecuencia predominante en la transformada de Fourier.

 

Si la distribución f es muy ordenada, la transformada de Fourier mostrará claros picos a ciertas frecuencias. Esto es lo que sucede en los tejidos estudiados. La función de densidad f puede ser calculada a partir de las propiedades de las sustancias que constituyen el tejido y las imágenes de microscopio electrónico. Las componentes predominantes en la transformada de Fourier de estas imágenes es lo que determina vía (4) el color observado.

 

Hemos aplicado el tipo de análisis descrito en numerosos tejidos de aves, mamíferos e insectos [11-20]. Referimos al lector a estos trabajos para una descripción más detallada desde el punto de vista biológico y de la preparación de los especímenes estudiados. Ilustramos aquí, brevemente, un ejemplo típico.

 

 

Figura 6.

 

La Figura 6 reproduce de [13] imágenes faciales de aves de la familia Malagasy Asities (Eurylaimidae, Aves). La piel de color alrededor de los ojos de estas aves está compuesta de manojos de macrofibras paralelas de colágeno. Estas fibras tienen diámetros similares y están separadas por una matriz mucopolisacárida. El índice de refracción de estos materiales es distinto (1.55 para las fibras y 1.35 para la sustancia adyacente) y produce la dispersión de la luz. Una típica sección transversal de estas fibras se muestra en la Figura 7, al igual que la transformada de Fourier (FFT) de esta imagen de microscopio electrónico.

 

 

Figura 7.

 

Las fibras presentan pequeñas variaciones en el tamaño de sus diámetros y en las distancias entre centros, pero evidentemente no están distribuidas de acuerdo a una retícula periódica. No obstante, el cuasi-orden presente hace que la transformada de Fourier muestre una estructura de anillos concéntricos y un notorio pico de intensidad a ciertas frecuencias específicas. Esta estructura de anillos es indicativa de la homogeneidad en la nanoestructura del tejido, la cual se traduce en la ausencia de iridiscencia en la coloración observada.

 

Las mediciones del espectro de reflectancia de estos tejidos muestran un claro pico de intensidad en las frecuencias de los colores observados, demostrando que dichos colores no se deben al fenómeno de dispersión de Rayleigh. Por el contrario, estos colores son estructurales y se deben a la interferencia constructiva ya explicada. Para apoyar esta teoría tratamos de comparar el espectro de reflectancia con el espectro que puede ser predicho por la transformada de Fourier. Si bien la intensidad real de la luz dispersada por el tejido no puede ser medida por nuestro análisis, pues esta intensidad involucra muchas capas distintas  de material de la piel de las aves, podemos al menos tratar de comparar algunas de las características del espectro. Para ello (motivados por la estructura de anillos de la transformada de Fourier) realizamos numéricamente un promedio radial de la transformada de Fourier de la imagen y normalizamos su energía total (la integral del cuadrado de la transformada de Fourier) en la parte del espectro visible. Calculamos así la energía presente en pequeñas bandas de longitud de onda como un porcentaje de la energía total. Estos datos son luego representados como función de la longitud de onda (llamamos a esto potencia de Fourier porcentual) y comparados con el espectro de reflectancia porcentual obtenido con el espectrofotómetro. Algunas de estas comparaciones se presentan en la Figura 8. Es sorprendente observar la similitud relativa entre las dos gráficas en términos de la forma, el croma, y la ubicación de los picos, dando mayor sustento al modelo teórico utilizado para explicar la coloración.

 

 

Figura 8.

 

 

Hemos realizado estudios de coloración en la piel y plumas de numerosas especies de aves [11-17], en la piel de mamíferos (en tejidos faciales y del escroto de primates y dos especies de marsupiales) [18], y en las alas de libélulas y mariposas [19, 20], con resultados similares.

 

En resumen, podemos decir que el uso de análisis de Fourier permite establecer que estructuras cuasi-ordenadas pueden producir colores no iridiscentes por la interferencia constructiva de la dispersión coherente de ondas de luz.

 

Como dijéramos al principio de este artículo, explicar los colores observados es muy importante desde el punto de vista biológico y del comportamiento y evolución de las aves y otros animales. Los colores en las plumas y piel de las aves juegan un papel crucial en el cortejo, elección de pareja y comunicación entre las especies. Las estructuras de los tejidos responsables del color observado pueden haber evolucionado a través de selección sexual. La preferencia por las hembras de una especie por un color específico no está basada en la estructura (esencialmente, la imagen en el microscopio electrónico), sino en el espectro observado (esencialmente, la transformada de Fourier de las imágenes). Es, sin duda, fascinante ver como el análisis de Fourier se presenta de esta forma en la naturaleza y permite explicar y sintetizar el orden presente en las nanoestructuras de los tejidos estudiados.

 

La presencia de orden y simetrías causa muchas veces una apreciación estética del fenómeno observado. En las palabras del mismo Fourier en el discurso preliminar de su Teoría analítica del calor, traducida al inglés en [5]:

 

If the order which is established in this phenomena could be grasped by our senses, it would produce in us an impression comparable to the sensation of musical sound.

 

Podemos concluir diciendo que el orden presente en las nanoestructuras de los tejidos es responsable de los atractivos colores observados, los cuales son estéticamente tan bellos para nuestros ojos como lo es el sonido de la música para nuestros oídos.

 

 

6. Reconocimientos

 

Este artículo está motivado por la conferencia impartida en el curso interuniversitario Sociedad, Ciencia, Tecnología y Matemáticas 2005, celebrado en las Universidades de La Laguna y Las Palmas de Gran Canaria durante los meses de marzo y abril de 2005. El primer autor desea expresar su gratitud hacia los organizadores por invitarlo a participar en el mismo.

 

Los resultados de investigación de los autores presentados en este artículo han sido parcialmente subvencionados por la National Science Foundation por medio de los subsidios DEB-9318273, DMS-9696267, DMS-0070514, DBI-0078376, DMS-0112375, DMS-0400423.

 

Las Figuras 6, 7, 8 se reproducen por gentileza del Journal of Experimental Biology [13].

 

 

Referencias

 

[1]        G.B. Benedek: Theory of transparency of the eye. Applied Optics 10 (1971), 459-473.

[2]        W.H. Bragg, W.L. Bragg: X-rays and crystal structure. London, G. Bell, 1915.

[3]        W. Briggs, V.E. Henson: The DFT. SIAM, Philadelphia, PA, 1995.

[4]        G. Folland: Fourier analysis and its applications. Brooks/Cole, California, 1992.

[5]        J. Fourier: Analytic theory of heat, 1822. Traducción de A. Freeman en Great Books of the Western World, Encyclopaedia Britannica, 1990.

[6]        C.H. Greenwalt, W. Brandt, D.D. Friel: The iridescent color of hummingbird feathers. Proceedings of the American Philosophical Society 104 (1960), 249-253.

[7]        M.F. Land: The physics and biology of animal reflectors. Progress in Biophysics and Molecular Biology 24 (1972), 77-106.

[8]        H. Macleod: Thin-film optical filters. Adam Hilger Ltd., Bristol, 1986.

[9]        D.M. Maurice: The structure and transparency of the cornea. Journal of Physiology of London 136 (1957), 263-286.

[10]       K. Nassau: The physics and chemistry of color. John Wiley and Sons, New York, 1983.

[11]       R. Prum, R. Torres, S. Willamson, J. Dyck: Coherent light scattering by blue feather barbs. Nature 396 (1998), 28-29.

[12]       R. Prum, R. Torres, S. Willamson, J. Dyck: Two-dimensional Fourier analysis of the spongy medullary keratin of structurally coloured feather barbs. Proceedings of the Royal Society of London, Series B, 266 (1999), 13-22.

[13]       R. Prum, R. Torres, C. Kovach, S. Willamson, S. Goodman: Coherent light scattering by nanostructures collagen arrays in the cranucles of the Malagasy Asities (Aves). Journal of Experimental Biology 202 (1999), 3507-3522.

[14]       R. Prum, R. Torres: Azul de ave: un color estructural. Investigación y Ciencia 299 (2001), 36-37.

[15]       R. Prum, S. Andersson, R. Torres: Coherent scattering of ultraviolet light by avian feather barbs.  Auk 120 (2003), 163-170.

[16]       R. Prum, R. Torres: Structural colouration of avian skin: convergent evolution of coherently scattering dermal collagen arrays. Journal of Experimental Biology 206 (2003), 2409-2429.

[17]       R. Prum, R. Torres: A Fourier tool for the analysis of coherent light scattering by bio-optical nanostructures. Integrative and Comparative Biology 43 (2003), 591-610.

[18]       R. Prum, R. Torres: Structural colouration of mammalian skin: convergent evolution of coherently scattering dermal collagen arrays. Journal of Experimental Biology 207 (2004), 2157-2172.

[19]       R. Prum, J. Cole, R. Torres: Blue integumentary structural colours in dragonflies (Odonata) are not produced by incoherent Tyndall scattering. Journal of Experimental Biology 207 (2004), 3999-4009.

[20]       R. Prum, R. Torres: Anatomically diverse butterfly scales produce structural colors by coherent scattering, in review.

[21]       G. Roque: Color y luz. En Investigación y Ciencia, Temas 27, El color (2002), 4-7.

[22]       M. Senechal: Quasicrystals and geometry. Cambridge University Press, Cambridge, 1996.

[23]       S. Vaezy, J.I. Clark: Quantitative analysis of the microstructure of the human cornea and sclera using 2-D Fourier methods. Journal of Microscopy 175 (1993), 93-99.

[24]       H.C. Van de Hulst: Light scattering by small particles. Dover, New York, 1981.

 

 

 

Sobre los autores

 

Rodolfo H. Torres es Professor of Mathematics. Investiga en análisis armónico y sus aplicaciones. Sus áreas de interés son: integrales singulares y operadores de Calderón-Zygmund, espacios de funciones, teoría de Littlewood-Paley, descomposiciones discretas y wavelets. Las aplicaciones incluyen ecuaciones en derivadas parciales y análisis de señales. Desarrolla asimismo una investigación interdisciplinar en el análisis espectral de nanoestructuras en tejidos biológicos.

 

 

Richard O. Prum, Ph.D.

Richard O. Prum es un ornitólogo evolutivo con amplios intereses en diversos temas que incluyen filogenética, comportamiento, plumaje, color estructural, evolución y desarrollo, selección sexual y biogeografía histórica. Su investigación más reciente se ha centrado en estudios teóricos y moleculares sobre el desarrollo y evolución del plumaje, construyendo y aplicando nuevas herramientas para el estudio de la física y evolución de la coloración estructural, así como en la etología filogenética de las aves polígamas.