Pasatiempos
Escrito por Redacción Matematicalia   
jueves, 17 de enero de 2008
Pasatiempos octubre-diciembre 2007

Recibido: jueves, 13 diciembre 2007




¿Qué pasaría si... (*)

 

 

Pinche sobre una fórmula para ampliarla. Vuelva a pinchar sobre ella para reducirla, o pinche manteniendo pulsada la tecla [shift] para reducir todas las que permanezcan ampliadas.

 

... cortáramos un cubo con un plano? ¿Podríamos obtener un triángulo semejante a cualquier triángulo dado?

 

 

[La solución, en el próximo número]

 

 

Solución al problema anterior

 

... nos preguntáramos si habrá un número menor que  que también sea estrictamente mayor que todos los números  en nuestra “torre exponencial” de junio? ¿Existirá tal número?

 

Respuesta: No, no hay ningún número menor que  con esa propiedad. Esta es una afirmación bastante profunda, que para ser probada con todo rigor requeriría una buena dosis de matemática. Vamos a intentar dar una idea lo más intuitiva posible, saltándonos algo del rigor.

 

Comencemos por recordar que habíamos formado la torre exponencial empezando con  y definiendo  . Usando el Principio de Inducción, probamos que todos los números así formados son . Por otra parte, los valores aproximados que obtuvimos para  ,...,  parecen indicar que los números  crecen con . En efecto, podríamos volver a usar el Principio de Inducción para demostrar que    para todo   .

 

Tenemos entonces una familia infinita de números  que crecen con  pero se mantienen por debajo de un número fijo, en este caso .  Si imaginamos a los números  desplegados a lo largo de una recta, parece bastante intuitivo el pensar que tiene que haber un número no superior a   y mayor que todos los  , hacia donde estos números convergen. Esta idea se basa en el llamado Axioma de Completitud de los números reales, que en términos informales dice que no hay “agujeros” en la recta, en el sentido de que cada punto corresponde a un número real. Puedes leer una presentación cuidadosa de estas ideas en http://ific.uv.es/mathepth/es/apuntes/metodosII.pdf.

 

En términos matemáticos, no sólo tiene que haber un número, llamémoslo  , tal que    para todo  , sino que, además, para cada número    debe de haber un valor    del subíndice    tal que    para  . Aparece aquí la idea de límite de los números  , cuando    va a infinito.

 

Entonces, volviendo a leer la pregunta que hemos contestado negativamente, veremos que nuestra respuesta quedará justificada si mostramos que    es en nuestro caso  .

 

Es posible demostrar que tomando el límite cuando    va a infinito en la relación  ,   el   número      cuya existencia hemos establecido debe verificar la relación  .

 

El gráfico de la función :

 

 

parece indicar que    cuando  .  En efecto,  ,  y también  . El valor que estamos buscando no puede ser    porque sabemos que    para todo   .   Entonces    tiene que ser  , como queríamos.

 

Quizá te estés preguntando si todo este argumento es realmente necesario para justificar nuestra respuesta. Parecería que la pregunta, tan simple en apariencia, debería tener una respuesta igualmente sencilla.

 

Por ejemplo, ¿no podríamos mostrar directamente que para cada número    hay un número    que es mayor que  ?   Esto nos daría una respuesta bien directa. El problema con este enfoque es la definición de los números  .  No tenemos una fórmula que nos dé el valor de    para cada . Lo único que sabemos es que empezando con , los números  se calculan uno después del otro por medio de la fórmula, llamada de recurrencia, .

 

Sobre la autora

Josefina (Lolina) Álvarez es Professor of Mathematics en New Mexico State University (USA). Especialista en análisis armónico y funcional, se doctoró en Matemáticas por la Universidad de Buenos Aires (Argentina), bajo la dirección de A.P. Calderón. Ha ocupado diversos puestos y cargos académicos en la Universidad de Buenos Aires y en las estadounidenses de Princeton, Chicago, Florida Atlantic University y New Mexico. Ha sido investigadora del CONICET (Argentina). Miembro de la Unión Matemática Argentina, Mathematical Association of America y American Mathematical Society, formó parte del Committee on Committees de esta última entre 1999 y 2002. Ha dictado numerosas conferencias en congresos y sesiones especiales e impartido seminarios en Alemania, Argentina, Bélgica, Brasil, Canadá, Colombia, España, Estados Unidos, México, Perú, Polonia, Suecia y Venezuela. Ha pertenecido y en varias ocasiones presidido los comités organizadores de distintos congresos y minisimposia. Ha ejercido como evaluadora para prestigiosas revistas especializadas. Desde 2002 hasta 2007 ha sido Editora Asociada del Rocky Mountain Journal of Mathematics. Autora o coautora de numerosos artículos científicos y varias monografías en análisis armónico y funcional y directora de cinco tesis doctorales, ha desarrollado asimismo una intensa actividad en el campo de la educación matemática, habiendo recibido diversos galardones a la excelencia docente.

 



(*) Sección a cargo de Josefina Álvarez.