Pasatiempos
Escrito por Redacción Matematicalia   
jueves, 10 de enero de 2008
Pasatiempos junio 2007

Recibido: martes, 06 noviembre 2007




¿Qué pasaría si... (*)

 

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...nos preguntáramos si habrá un número menor que  que también sea estrictamente mayor que todos los números  en nuestra “torre exponencial” de abril? ¿Existirá tal número?

 

[La solución, en el próximo número]

 

 

Solución al problema anterior

 

...construyéramos una “torre exponencial”

 

 

 

de la siguiente manera? El primer número es   ; el segundo número es   ; el tercer número es  ; en general,

 

 

¿Cuán grandes se hacen estos números a medida que  crece?

 

Respuesta:  Para todo ,  es estrictamente menor que .

 

Para entender esta respuesta, es bueno que comencemos por ver qué valores toman estos números . Una calculadora nos lo puede decir aproximadamente:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

 

 

De acuerdo con esta lista, los números  parecen crecer más y más lentamente, empezando con el valor , y parecen aproximarse a . La calculadora ha sido muy útil al darnos esta información. Pero ¿cómo podemos estar seguros de que los  nunca llegan a  o lo sobrepasan? Ni la calculadora ni el ordenador más poderoso nos van a dar la respuesta, pues sin importar la cantidad de valores que comprobemos, siempre nos quedará un número infinito de casos. Es necesario entonces que probemos matemáticamente que    para todo   Para ello usaremos un método de prueba que se llama Principio de Inducción, y que dice lo siguiente:

 

Supongamos tener un enunciado que depende de un parámetro  que toma todos los valores  . En nuestro caso, el enunciado es “  para todo  ”. Llamemos   a este enunciado. Si podemos probar la veracidad de las siguientes dos afirmaciones:

 

1)         se cumple;

2)       si  se cumple, también  se cumple para cualquier  ,

 

entonces el enunciado  se cumple para todo  .

 

Veamos que en nuestro caso estas dos afirmaciones son ciertas.

 

La afirmación  dice que  . Esto es claramente cierto porque  .

 

Supongamos ahora que para un  fijo indeterminado, . Tenemos que probar que también   .

Recordemos que, por definición,  . Usando nuestra suposición sobre  , podemos decir que  . O sea,  .

 

Como hemos comprobado que las dos afirmaciones son ciertas, el Principio de Inducción nos permite concluir que   para todo  .

 

Una pregunta muy natural es ¿por qué el Principio de Inducción es verdad? No me voy a meter en camisa de demasiadas varas intentando dar una respuesta rigurosa. La puedes ver, con ejemplos y comentarios, en el artículo http://mate.dm.uba.ar/~spuddu/inducc.pdf.

 

Una explicación intuitiva de por qué este principio funciona es la siguiente: ¿cómo podrías convencerte de que eres capaz de subir las escaleras de un edificio de muchísimos pisos? Pues podrías decirte que puedes subir al primer piso, y que desde cada uno de los pisos puedes subir al siguiente.

 

Por cierto, esta analogía se puede aplicar a nuestra “torre exponencial”, que podemos pensar como un edificio infinitamente alto, donde cada nueva potencia es otro piso.

 

Podríamos terminar aquí con la torre, pero como dicen que los matemáticos no sabemos parar, aquí os dejo con el próximo ¿Qué pasaría si ...? que habéis visto al tope de esta página: ¿habrá un número menor que  que también sea estrictamente mayor que todos los números  ... Ya veremos qué pasa...

 

 

Sobre la autora

Josefina (Lolina) Álvarez es Professor of Mathematics en New Mexico State University (USA). Especialista en análisis armónico y funcional, se doctoró en Matemáticas por la Universidad de Buenos Aires (Argentina), bajo la dirección de A.P. Calderón. Ha ocupado diversos puestos y cargos académicos en la Universidad de Buenos Aires y en las estadounidenses de Princeton, Chicago, Florida Atlantic University y New Mexico. Ha sido investigadora del CONICET (Argentina). Miembro de la Unión Matemática Argentina, Mathematical Association of America y American Mathematical Society, formó parte del Committee on Committees de esta última entre 1999 y 2002. Ha dictado numerosas conferencias en congresos y sesiones especiales e impartido seminarios en Alemania, Argentina, Bélgica, Brasil, Canadá, Colombia, España, Estados Unidos, México, Perú, Polonia, Suecia y Venezuela. Ha pertenecido y en varias ocasiones presidido los comités organizadores de distintos congresos y minisimposia. Ha ejercido como evaluadora para prestigiosas revistas especializadas. Desde 2002 hasta 2007 ha sido Editora Asociada del Rocky Mountain Journal of Mathematics. Autora o coautora de numerosos artículos científicos y varias monografías en análisis armónico y funcional y directora de cinco tesis doctorales, ha desarrollado asimismo una intensa actividad en el campo de la educación matemática, habiendo recibido diversos galardones a la excelencia docente.

 



(*) Sección a cargo de Josefina Álvarez.