Revolucionando la teoría de nudos
Escrito por Redacción Matematicalia   
domingo, 27 de noviembre de 2011
Image EN EL SIGLO XIX, LORD KELVIN CONJETURÓ QUE LOS ELEMENTOS SON NUDOS EN EL “ÉTER”: EL HIDRÓGENO SERÍA UN TIPO DE NUDO, EL OXÍGENO OTRO... Y ASÍ CON TODA LA TABLA PERIÓDICA DE ELEMENTOS. Esta idea llevó a Peter Guthrie Tait a preparar meticulosas y bellas tablas de nudos en un esfuerzo por esclarecer cuando dos nudos eran realmente diferentes. Desde el punto de vista de la física, Kelvin y Tait iban tras la pista errónea: el punto de vista atómico pronto desmontó la teoría del éter. Pero desde el punto de vista matemático se ha descubierto una mina de oro.

EXTRAÍDO DE EUREKALERT

Sam Nelson describe en su artículo The Combinatorial Revolution in Knot Theory (Notices AMS), un novedoso enfoque para la teoría de nudos que ha ganado tanto adeptos en el pasado como misteriosos objetos descubiertos durante el proceso. Los matemáticos estudian los patrones, simetrías y asimetrías de los nudos y desarrollan métodos para distinguir cuándo dos nudos son realmente diferentes.

Matemáticamente, uno puede pensar que cuando el nudo se despliega crea un objeto unidimensional, y el propio nudo vive en un espacio tridimensional. Los dibujos de los nudos, como los realizados por Tait son proyecciones del nudo en un plano bidimensional. En dichos dibujos, es la costumbre pintar cruces por encima y por debajo de la cuerda como líneas continuas y discontinuas. Si tres o más filamentos del nudo están en la cima de cada uno en un preciso momento, podemos mover los filamentos levemente sin cambiar el nudo de modo que cada punto del plano se sitúa debajo de un máximo de dos hebras del nudo. Un diagrama de un nudo es un dibujo del mismo, perfilado en un plano bidimensional, en el que cualquier punto del diagrama representa más de dos puntos en el nudo. Los diagramas de nudos se han usado en matemáticas como forma de representar el estudio de los mismos.

Como Nelson informa en su artículo, los matemáticos han ideado varios métodos para representar la información contenida en los diagramas de nudos. Un ejemplo es el código de Gauss, que es una secuencia de letras y números en donde cada cruce en el nudo se asigna a un número y las letras O o U, dependiendo si el cruce va por encima o por debajo. El código de Gauss para un nudo simple sería: O1U2O3U1O2U3.

En la década de 1990, los matemáticos descubrieron algo extraño. Hay códigos Gauss para aquél al que es imposible perfilar en un diagrama de nudo pero que en determinadas maneras se comportan como nudos. En particular, estos códigos, que Nelson denomina “códigos de Gauss sin plano”, funcionan perfectamente para determinadas fórmulas que se usan para investigar las propiedades de los nudos. Nelson escribe: “Un código de Gauss en plano siempre describe un nudo en tres espacios; ¿qué tipo de objeto se puede describir gracias al código de Gauss sin plano? Mientras se vacía, hay nudos virtuales que tienen códigos de Gauss legitimados pero que no corresponden con los nudos en un espacio tridimensional. Estos nudos virtuales se pueden investigar aplicando técnicas combinatorias para los diagramas de nudos.

Nuevos horizontes se abrieron cuando la gente se atrevió a considerar que podría pasar si -1 tenía una raíz cuadrada- y así descubrieron los números complejos, que desde entonces han explorado a fondo por matemáticos y se han convertido en omnipresentes en física e ingeniería- Los matemáticos han encontrado que las ecuaciones que ellos han usado para investigar nudos regulares que dan lugar a un único universo de “nudos generales” que tienes sus propias cualidades. Aunque parezca esotérico al principio, estos nudos generales se desmoldan para tener interpretaciones como objetos familiares en matemáticas. “Además –explica Nelson- la teoría clásica de nudos emerge como un caso especial de la nueva teoría general de nudos”.

Más información:

  • A revolution in knot theory, EurekAlert [10 de noviembre de 2011]
  • Sam Nelson, The Combinatorial Revolution in Knot Theory, Notices of the AMS vol. 58, no. 11, 2011 [pdf]