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Escrito por Redacción Matematicalia   
miércoles, 29 de agosto de 2007
Uso de CAS en la enseñanza de los conceptos básicos de variable compleja

Recibido: martes, 16 enero 2007




Uso de CAS en la enseñanza de los conceptos básicos de variable compleja

 

José Luis Galán

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página web: http://www.satd.uma.es/matap/jlgalan

 

María Ángeles Galán

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Yolanda Padilla

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página web: http://www.satd.uma.es/matap/yolanda

 

Pedro Rodríguez

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página web: http://www.satd.uma.es/matap/pedro

 

Departamento de Matemática Aplicada

E. T. S. I. Telecomunicación

Universidad de Málaga

 

 

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Introducción

 

El uso de CAS (Computer Algebra Systems) en la enseñanza de las asignaturas de Matemáticas en Ingeniería se ha convertido en un aspecto habitual de su desarrollo. Sin embargo, cualquier usuario de software matemático que haya intentado trabajar en el campo de la Variable Compleja sabrá que éstos están aún muy limitados, puesto que se producen ciertos “errores” inesperados cuando intervienen números y funciones de variable compleja. En otros casos, el resultado obtenido es incompleto. Por ejemplo, al calcular el logaritmo neperiano de un número complejo se obtiene un único valor, en lugar de los infinitos valores que se deberían obtener. Otro ejemplo sencillo en el que se producen resultados “no deseados” o incompletos es a la hora de calcular la raíz n-ésima de un número complejo, puesto que se obtiene un único valor, en lugar de los n valores que se deberían obtener.

 

¿Cómo solucionar este problema? La respuesta a esta pregunta, bajo nuestra experiencia, pasa por “obligar” al software a hacer lo que nosotros queremos que haga mediante el uso de la programación. Así, la combinación de la potencia de un CAS con la flexibilidad de un lenguaje de programación permite el desarrollo de ficheros de utilidades para tratar una materia específica. En nuestro caso el software elegido es DERIVE, principalmente por su sencillez de manejo y su flexibilidad a la hora de editar las expresiones matemáticas.

 

 

Fichero de utilidades Complejos_conceptos_basicos.mth

 

Presentamos en esta sección el contenido del fichero Complejos_conceptos_basicos.mth, así como un fichero de ejemplos. Este fichero de utilidades es fruto de las experiencias desarrolladas en los últimos años en la docencia de la asignatura Ampliación de Matemáticas de las titulaciones de Ingeniería Técnica de Telecomunicación (Sistemas Electrónicos, Sistemas de Telecomunicación y Sonido e Imagen) de la Universidad de Málaga y es un extracto del CD que acompaña al libro de texto de dicha asignatura (J.L. Galán y otros, 2006). El núcleo principal del libro es el estudio de la variable compleja.

 

El fichero consta de una serie de programas desarrollados con el fin de mejorar las prestaciones que presenta el programa DERIVE relativo a las operaciones básicas con números complejos. Además, está enfocado a la resolución de diversos problemas clásicos de Ingeniería. Por otro lado, y con el fin de hacer el fichero de utilidades lo más didáctico posible, algunos de los programas desarrollados no sólo proporcionan el resultado final sino que muestran, paso por paso, las explicaciones y los resultados intermedios necesarios para conseguir el resultado requerido. En este sentido, se intenta utilizar así DERIVE como un PeCAS (Pedagogical Computer Algebra System), siendo especialmente apropiado su uso en la clases ordinarias de pizarra, en las clases de laboratorio y en el estudio personal del alumno, puesto que se muestran en cada ejercicio todos los pasos intermedios antes de alcanzar la solución final.

 

Pasamos a continuación a describir los programas desarrollados en este fichero de aplicaciones:

 

 

Función y argumentos

Descripción

Modulo(z)

Módulo de un n°. complejo dado en forma binómica

ParteReal(z)

Parte real de un n°. complejo dado en forma binómica

ParteImaginaria(z)

Parte imaginaria de un n°. complejo dado en forma binómica

Conjugado(z)

Conjugado de un n°. complejo dado en forma binómica

Argumento(z)

Argumento de un n°. complejo dado en forma binómica

PolarCartesiana(r, θ)

Pasar de forma polar a cartesiana

PolarBinomica(r, θ)

Pasar de forma polar a binómica

CartesianaBinomica(a, b)

Pasar de forma cartesiana a binómica

CartesianaPolar(a, b)

Pasar de forma cartesiana a polar

BinomicaCartesiana(z)

Pasar de forma binómica a cartesiana

BinomicaPolar(z)

Pasar de forma binómica a polar

Cartesiana(a, b)

Pasar de forma cartesiana a binómica y polar

Binomica(z)

Pasar de forma binómica a cartesiana y polar

Polar(r, θ)

Pasar de forma polar a binómica y cartesiana

RaizPolar(r, θ, n)

Dado un n°. complejo en forma polar, calcular la raíz n-ésima en forma polar

RaizBinomicaPolar(z, n)

Dado un n°. complejo en forma binómica, calcular la raíz n-ésima en forma polar

RaizCartesianaPolar(a, b, n)

Dado un n°. complejo en forma cartesiana, calcular la raíz n-ésima en forma polar

RaizPolarBinomica(r, θ, n)

Dado un n°. complejo en forma polar, calcular la raíz n-ésima en forma binómica

RaizBinomica(z, n)

Dado un n°. complejo en forma binómica, calcular la raíz n-ésima en forma binómica

RaizCartesianaBinomica(a, b, n)

Dado un n°. complejo en forma cartesiana, calcular la raíz n-ésima en forma binómica

RaizPolarCartesiana(r, θ, n)

Dado un n°. complejo en forma polar, calcular la raíz n-ésima en forma cartesiana

RaizBinomicaCartesiana(z, n)

Dado un n°. complejo en forma binómica, calcular la raíz n-ésima en forma cartesiana

RaizCartesiana(a, b, n)

Dado un n°. complejo en forma cartesiana, calcular la raíz n-ésima en forma cartesiana

Region(izq, ope, der)

Representación de regiones en el plano complejo

  

 

¿Cómo utilizar el fichero Complejos_conceptos_basicos.mth?

 

Ya se ha comentado anteriormente que, debido al carácter didáctico considerado a la hora de elaborar el fichero de utilidades, su uso puede ser adecuado en algunos momentos puntuales del desarrollo de las clases de pizarra. Pero donde realmente se demuestra su utilidad es cuando se usa en las clases de laboratorio, ya que se centra el trabajo en la utilización de un CAS como DERIVE para la resolución de los problemas típicos de la asignatura.

 

Aunque el carácter didáctico comentado del fichero de utilidades es ya en sí mismo de gran interés, en las clases de laboratorio no sólo se utiliza la ejecución de los programas que forman parte del fichero sino que, como aspecto fundamental, son los propios alumnos los que se encargan de desarrollar gran parte de dichos programas. La experiencia nos ha demostrado que cuando el alumno realiza un programa para resolver cierto tipo de ejercicio, comprende mucho mejor cuál es la forma de abordar posteriormente un ejercicio de esas características “a mano”. Esto se produce porque cuando el alumno programa debe tener en cuenta distintas estrategias para la resolución del problema, contemplar diversas alternativas y profundizar en todos los aspectos relacionados con el tipo de ejercicio en cuestión.

 

Así, por ejemplo, cuando un alumno desarrolla un programa para obtener el resultado de una integral de línea compleja a lo largo de un camino dado, deberá considerar, dependiendo de la función a integrar y del propio camino de integración, distintas alternativas como la posibilidad de utilizar los resultados de los teoremas explicados en clase (teorema integral de Cauchy o algunas de sus consecuencias, fórmulas integrales de Cauchy, teorema de los residuos) o si por el contrario tiene que recurrir a la definición de integral de línea teniendo en cuenta la parametrización del camino de integración.

 

En los últimos años hemos comprobado en diferentes estudios (realizados rigurosamente, como parte de distintas investigaciones que han supuesto la lectura de las tesis doctorales: Y. Padilla, 2003; J.L. Galán, 2003 y P. Rodríguez, 2004) que el hecho de que el alumno programe con DERIVE conlleva, entre otros aspectos positivos, grandes ventajas para él en su proceso de enseñanza-aprendizaje (mayor conocimiento de la asignatura, incremento en la motivación, participación activa, obtención de mejores calificaciones en los exámenes tradicionales, etc.). Además, hemos constatado mediante diversos estudios empíricos que utilizando la programación se consigue aumentar la creatividad matemática del alumno.

 

Por tanto, el uso que nosotros hacemos de los ficheros de utilidades en general, y del fichero Complejos_conceptos_basicos.mth en particular, consiste no sólo en la ejecución de los programas de los que consta sino que, en la medida de lo posible, son los alumnos los que desarrollan gran parte del contenido de dichos ficheros. El fin fundamental que se persigue es enseñarles a crear sus propios ficheros de utilidades para los diferentes ejercicios que les surjan en las asignaturas de la titulación.

 

Es también interesante comentar que decidimos poner nombres largos a los programas principalmente por dos motivos: en primer lugar porque viendo el nombre del programa el usuario se hace una idea clara de lo que con dicho programa se pretende resolver; en segundo lugar, un nombre largo es más fácil de recordar para su uso posterior, hecho que no ocurre si se utilizan abreviaturas.

 

 

Ejemplo de ejercicios desarrollados en las clases de laboratorio

 

Presentamos en este apartado una serie de ejercicios de la clase de laboratorio referentes a la materia explicada en el primer tema sobre operaciones elementales con números complejos:

 

    1. Dados los números complejos

    y
    , calcular:

a)       b)       c).

    2. Sea

    . Calcular:

a)       b)       c)       d) .

    3. Desarrollar un programa llamado Conjugado para calcular el conjugado de un número complejo. Utilizarlo para calcular el conjugado de

    .

    4. Desarrollar un programa llamado Modulo para calcular el módulo de un número complejo. Utilizarlo para calcular el módulo de

    .

    5. Sean los números complejos

    ,
    y
    . Expresarlos en sus correspondientes formas cartesiana, binómica y polar. Representarlos gráficamente.

    6. Desarrollar un programa llamado PolarBinomica para convertir un número complejo de forma polar a forma binómica. Utilizarlo para expresar

    en su forma binómica.

    7. Utilizar la fórmula de De Moivre para expresar

    en función de las razones trigonométricas del ángulo
    .

    8. Calcular

    .

    9. Desarrollar un programa llamado RaizPolar para calcular la raíz n-ésima de un número complejo dado en forma polar. Utilizarlo para calcular

    .

    10. Representar en el plano los recintos dados por:

a)       b)      c)  

 

 

Solución con DERIVE

 

En primer lugar, en la instrucción #1, se carga el fichero de utilidades que contiene los programas desarrollados para la resolución de los distintos ejercicios.

 

 

 

Figura 1. Tarea 1.

 

Se declaran los valores de y de y se pasa a resolver los distintos apartados de los que consta la tarea 1.

 

 

 

Figura 2. Tarea 2.

 

Se declara el valor de y se calculan su módulo, argumento, parte real y parte imaginaria mediante los correspondientes programas.

 

 

 

Figura 3. Tareas 3 y 4.

 

Tarea 3: Se desarrolla el programa Conjugado(z) y se utiliza para calcular el conjugado de .

 

Tarea 4: Se desarrolla el programa Modulo(z) y se utiliza para calcular el módulo de .

 

 

 

Figura 4. Tarea 5.

 

Se convierten diferentes números complejos en sus distintas formas de expresarse. Posteriormente, se representan gráficamente los puntos considerados.

 

 

 

Figura 5. Tareas 6 y 7.

 

Tarea 6: Se desarrolla el programa PolarBinomica(r,θ) y se utiliza para convertir en su forma binómica.

 

Tarea 7: Teniendo en cuenta la fórmula de De Moivre:

 

 

 

Para , y considerando la parte imaginaria, se obtiene el resultado requerido.

 

 

 

Figura 6. Tarea 8.

 

Se ejecuta el programa RaizBinomica con los parámetros adecuados para calcular . Puede observarse que se recuerdan los aspectos teóricos necesarios antes de mostrar el resultado final.

 

 

 

Figura 7. Tarea 9.

 

Se desarrolla el programa RaizPolar(r,θ,n) paso a paso introduciendo diferentes comentarios explicativos. Posteriormente se usa dicho programa para calcular .

 

 

 

Figura 8. Tarea 10.

 

Para representar gráficamente los recintos requeridos, se ejecuta el programa Region con los parámetros adecuados para cada uno de los recintos.

 

 

Conclusiones

 

De la experiencia adquirida en la docencia de diferentes asignaturas de Matemáticas en Ingeniería, en cuyo desarrollo se incluyen clases con el ordenador mediante el uso combinado de un CAS (DERIVE) y de la programación, hemos constatado, entre otras, las siguientes consideraciones:

 

  • Las experiencias acumuladas revelan que los CAS son herramientas informáticas de fácil manejo y útiles para su integración en las clases de Matemáticas de Ingeniería.
  • Se deben cambiar los usos tradicionales de los CAS en la enseñanza de las Matemáticas en Ingeniería para maximizar las oportunidades que ofrece esta tecnología. La optimización se debe orientar hacia la mejora de la motivación, la autonomía y el aprendizaje basado en la implicación del alumno en el proceso.
  • Una idea potente es la de combinar los recursos de un CAS con la flexibilidad de un lenguaje de programación.
  • Hay indicios razonables de que la realización de programas con DERIVE facilita el aprendizaje y mejora la motivación del alumno.
  • Aunque sería lo deseable, no es necesario modificar sustancialmente un programa tradicional de una asignatura de Matemáticas en Ingeniería para introducir la elaboración de programas con DERIVE por parte de los alumnos.

 

 

Referencias

 

J.L. Galán (2003): Integrales Múltiples con Derive. Un estudio de innovación curricular en primer curso de Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Tesis Doctoral, Universidad de Málaga. ISBN: 84-688-8421-9.

J.L. Galán, P. Rodríguez, Y. Padilla, M.A. Galán (2006): Ampliación de Matemáticas para la Ingeniería. Teoría, problemas y tratamiento en Derive. Ed. Bellisco, Madrid. ISBN: 84-96486-34-6.

Y. Padilla (2003): Integrales de Línea con Derive. Un estudio de innovación curricular en primer curso de Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Tesis Doctoral, Universidad de Málaga. ISBN: 84-688-8420-0.

P. Rodríguez (2004): Derivación e Integración de funciones de Variable Compleja con Derive. Un estudio de innovación curricular en segundo curso de Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Tesis Doctoral, Universidad de Málaga. ISBN: 84-688-9473-7.

 

 

Sobre los autores

 

José Luis Galán García (i) y Pedro Rodríguez Cielos (d) son doctores por la Universidad de Málaga, licenciados en Ciencias Matemáticas y profesores del Departamento de Matemática Aplicada de la Universidad de Málaga. José Luis Galán es además diplomado en Informática. Ambos desarrollan su investigación principal en el campo del uso de las TICs en la enseñanza de las Matemáticas en Ingenierías. En los últimos años se han especializado en el desarrollo de paquetes de utilidades de diversas materias para el programa Derive tales como el que se presenta en este artículo.

María Ángeles Galán García (i), doctora por la Universidad de Umea (Suecia) y licenciada en Ciencias Matemáticas, es investigadora dentro del programa “Juan de la Cierva” en el Departamento de Matemática Aplicada de la Universidad de Málaga, y desarrolla su investigación principal en el campo de la teoría de categorías. Yolanda Padilla Domínguez (d), doctora por la Universidad de Málaga y licenciada en Ciencias Matemáticas, es profesora del Departamento de Matemática Aplicada de la Universidad de Málaga y profesora de Enseñanza Secundaria, y desarrolla su investigación principal en el campo del uso de las TICs en la enseñanza de las Matemáticas en Educación Secundaria.