Cultura
Escrito por Abraham Arcavi   
lunes, 13 de agosto de 2007
Paisajes matemáticos del Japón

Recibido: viernes, 14 julio 2006; revisado: lunes, 13 agosto 2007




Paisajes matemáticos del Japón

 

Abraham Arcavi
Department of Science Teaching
Weizmann Institute of Science (Rehovot, Israel)
e-mail: abraham.arcavi @ weizmann.ac.il
página web: http://stwww.weizmann.ac.il/g-math/mi-anahnu/abraham_harcavi.html

 

 

Durante mi estancia de cuatro meses en el Japón (donde me dediqué a estudiar a fondo los métodos interesantes de educación matemática) tuve la oportunidad de observar con fruición los hermosos paisajes geográficos, humanos y artísticos que ese país ofrece. Con la cámara fotográfica en mano, los ojos se abren ante tanto estímulo visual. En particular, me vino a la memoria el exquisito librito Fotografía y Matemáticas de Aurora Bell-Lloch, Montserrat Diestro, Evaristo González, Agustín Martínez y Elsa Santaolalla, publicado con ocasión de las VII Jornadas para el Aprendizaje y la Enseñanza de las Matemáticas (JAEM) en Madrid en 1995. Allí, en su introducción, se dice que: “...la fotografía puede ser un instrumento valioso para el aprendizaje de las matemáticas:

 

  • Fomenta la capacidad de observación, pues obliga a mirar con ojo crítico el entorno en el que nos movemos y hace reflexionar sobre aspectos matemáticos de los objetos.
  • Estimula la creatividad, muchas veces sofocada por técnicas de trabajo rutinarias y aburridas.
  • Desarrolla la intuición, al introducir escalones intermedios en el proceso de pasar de la realidad a representaciones abstractas de la misma.
  • Descubre la conexión de las matemáticas con la realidad, poniendo de relieve aspectos geométricos, gráficos y funcionales que la imagen hace presentes con mucha mayor facilidad que otras técnicas.
  • Desarrolla la sensibilidad ante los aspectos estéticos de muchas manifestaciones matemáticas.
  • Favorece la comunicación de experiencias y la utilización de otro tipo de lenguajes...” 

 

Por lo tanto, entre las decenas (¿o serán centenas?) de fotografías tomadas, puse especial esmero en aquellas que estimularan mis ojos matemáticos. La pequeña colección que aquí se ofrece fue dedicada con toda gratitud a mis anfitriones y en especial al profesor Masami Isoda de la Universidad de Tsukuba, con quien trabajé. Cada una de las fotos presenta una idea matemática; unas simples y banales, otras algo más complicadas. Algunas de ellas son sólo para deleitar el ojo, otras pueden inspirar una buena parte de una clase de aula, donde no vendría mal interrumpir la rutina y dedicar algunos momentos a actividades inspiradas en la riqueza visual que nos rodea. Los comentarios breves que acompañan cada foto, además de localizarla en su lugar de origen, comparten ideas, invitan a “hacer” un poco de matemáticas, y hasta nos remontan asociativamente a su historia. Obsérvese que lo visual no está solamente relacionado con la geometría.

 

Es mi anhelo que disfruten estas fotos, que las integren en sus aulas, o mejor, que salgan a “cazar” sus propias imágenes, y las compartan con aquellos que esperan de nosotros que les hagamos gustar de las matemáticas.

 

El impacto de la imagen en nuestra cultura es cada día más notable... La televisión, el cine, la publicidad en todas sus formas... nos someten diariamente a un continuo bombardeo de imágenes. Sin embargo la imagen, fija o en movimiento, salvo las gráficas dibujadas en la pizarra, no es un recurso frecuente en las clases de matemáticas...

 

 

Galería fotográfica (*)

 

 

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Foto 1. Cuadrados.

 

Si pensamos en la geometría, Japón (así como otros lugares) ofrece muchas formas y figuras -regulares, irregulares y sorprendentes-. Comenzamos con la forma más simple y más abundante: los rectángulos (algunos de los cuales son, en realidad, cuadrados). Vista de la fachada de la Estación Central de Ferrocarriles de Kyoto.

 

Foto 2. Paralelepípedos.

 

Una ampliación de la misma fachada, con muchas formas geométricas más. ¿Puedes identificar alguna?

 

 

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Foto 3. Teselación cuadrada.

 

En un restaurante en Roppongi, unos cuadrados sirven como “escaparate” no sólo de contenedores para almacenaje de granos y especias, sino que también ofrecen una gama de colores estéticamente dispuestos.

 

Foto 4. Tatami en el templo Shoren-in, Kyoto.

 

Tatamis -las alfombras típicas japonesas- rectangulares conforman un hermoso mosaico sobre el suelo y al mismo tiempo sirven como unidad de medida de área. La mayor parte de los tatamis son de 1x2 metros. ¿Cuál es el área de esta habitación?

 

 

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Foto 5. Cuadrados encajados.

 

La puerta del ascensor del Museo de Fotografía de Tokio en Ebisu (un museo muy agradable) merece el título “Cuadrados encajados” o, si lo prefieres, “La raíz cuadrada de 2 en abundancia” (¿adivinas por qué?).

 

Foto 6.  Líneas paralelas.

 

La naturaleza también ofrece algún placer geométrico visual. Yo llamaría a esta vista “Paralelismo bambuístico”. O también, “El bosque del quinto...” (me refiero al postulado).

 

 

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Foto 7. Polígonos en la calle en la ciudad de Joetsu.

 

El diseñador de esta calle de la atractiva ciudad de Joetsu decidió enmarcar la luz con polígonos -o bien, su objetivo era “iluminar a los habitantes por medio de la geometría”-.

 

Foto 8. Un círculo.

 

¡Qué círculo tan de pescado, y “oishi” también! (Oishi es la palabra japonesa para “delicioso”). ¿Por qué te parece que los pescaditos fueron acomodados en un círculo?

 

 

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Foto 9. Heptágono.

 

Un dispositivo de lotería para clientes del Centro de Artesanía de Kyoto. ¡La primera vez en mi vida que vi un heptágono fuera de un libro de geometría, y resulta que hasta es útil! (Luego descubrí que hay varias monedas heptagonales). Si quieres ver cosas interesantes sobre la matemática del heptágono visita la página web de Mathworld.

 

Foto 10. Abanico.

 

Los abanicos japoneses son pintorescos y atractivos, y ¡tan útiles en julio y agosto...! En una fábrica de abanicos en Kyoto puedes ver cómo se hacen con cuidado, paciencia y devoción. ¿Geometría? ¿Cómo calcularías el área del papel de este abanico?

 

 

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Foto 11. Agarraderos.

 

Viajar en el metro en Tokio nunca es aburrido, solamente usando los ojos y la imaginación (y tu cámara) tu alrededor te garantiza una vista interesante. Fíjate en la alineación de los agarraderos. Dos asociaciones matemáticas: fractales y triángulos de Reuleaux.

 

 

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Foto 12. Caras de un cubo.

 

Hasta el momento las imágenes han sido sobre todo bidimensionales; veamos ahora algo de geometría espacial en paisajes japoneses. Cubos en Odaiba. ¿Puedes imaginar cómo se vería un corte transversal que separase los cubos en trozos de colores diferentes?

 

Foto 13. Más cubos.

 

Si aún estás pensando en la pregunta anterior, aquí tienes otra perspectiva, a modo de sugerencia visual.

 

 

 

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Foto 14. Parque de la Paz.

 

Me sorprendió la cantidad de formas cónicas que hay en Japón. Esta tan colorida está en el Parque Memorial de Hiroshima, una visita obligada para los que quieren aprender de la Historia (¡y también para quienes se niegan a hacerlo...!)

 

Foto 15. Escultura cónica.

 

El jardín del Museo de Arte Moderno en Kamakura ofrece esculturas fascinantes, entre ellas este “Divertimento cónico” (mi título). En mi imaginación, veo al artista vengarse de Euclides.

 

 

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Foto 16. Cono truncado.

 

En el Templo Ginkaku-ji de Kyoto (Pabellón de Plata) hay maravillosas esculturas de arena, entre ellas esta KOGETSUDAI, para ver la luna. Perfectamente trabajada. ¿Te gustaría estimar su volumen? ¿Y/o su peso?

 

Foto 17. Sección cónica.

 

¡Un cono cortado, y la sección cónica resultante hecha en cristal delante de tus propios ojos! Y al fondo, otro agradable sólido. Estación Central de Ferrocarriles de Sapporo.

 

 

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Foto 18. Tejado.

 

Un tejado muy interesante en el edificio de Asahi, próximo a la Llama de Oro, en Asakusa, Tokio.

 

 

Foto 19. Pirámides en Odaiba.

 

Egipto es famoso por sus pirámides, y Odaiba (Tokio) podría ser igualmente famoso por invertirlas. Arquitectura moderna en todo su esplendor y creatividad.

 

 

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Foto 20. Escultura en Hakone.

 

Agradable composición de sólidos en una escultura del Museo de Arte al Aire Libre en Hakone. Una soleada simbiosis entre geometría y naturaleza.

 

 

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Foto 21. Espejo.

 

Lidia y Abraham Arcavi fotografiando...

 

 

 

Foto 22. Espejo esférico.

 

...una perfecta esfera pulida, que puede ser un espejo esférico. Una escultura colgada muy alto entre los árboles, en el Museo de Arte al Aire Libre de Hakone.

 

 

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Foto 23. Esferas decorativas.

 

Esferas de todos los colores en una maravillosa tienda (no esférica) de regalos, en el Sendero del Filósofo de Kyoto.

 

Foto 24. Tsutsumu.

 

La fábrica Tsutsumu en Shibuya (Tokio) es el epítome del arte y la artesanía de envolver, tan difundida en Japón. No sólo son interesantes las formas de las cajas y la vistosidad de los papeles, sino el modo de envolver (en diagonal), típicamente japonés. Una nueva excusa para hacer algo de geometría.

 

 

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Foto 25. Hélice.

 

Un móvil helicoidal en el Museo de Fotografía de Tokio en Ebisu. Moviendo ligeramente la barra inferior de distintas formas, el movimiento inducido en las otras barras las hace trazar hélices diferentes. Jugué durante mucho rato con él, y finalmente decidí comprarlo. Pero el precio me disuadió... La cámara me permitió llevarma a casa, al menos, una imagen.

 

Foto 26. Midiendo galletas.

 

La geometría es lo que más abunda en nuestro entorno, pero probablemente no sean las únicas matemáticas que hay a nuestro alrededor. Este pastelero profesional mide la masa con cuidado para hacer todas las galletas exactamente del mismo tamaño.

 

 

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Foto 27. Ascensor.

 

Por todas partes, los ascensores llevan carteles similares a estos. Lo que mi ojo captó es el peso promedio que se presupone en este país para una persona. Recoge tu propia muestra de carteles de este tipo que aparecen en los ascensores, y calcula el peso promedio asumido.

 

Foto 28. Zapatos.

 

En la entrada del maravilloso Ryokan en Takaragawa Onsen, un patrón que ilustra bien el magnífico cuidado de los japoneses para con el orden, la estética y la limpieza.

 

 

 

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Foto 29. Cenotafio catenario.

 

El Cenotafio (con la cúpula de la bomba atómica al fondo) en Hiroshima. Con un poco de imaginación, hasta podemos ver el cálculo infinitesimal alrededor de nosotros. Los bordes de la sección transversal pueden parecernos parabólicos, pero, de hecho, es probable que se aproximen a una catenaria (la forma de una cadena que cuelga de sus dos extremos) invertida. La catenaria y la parábola se asemejan, pero son descritas por funciones muy diferentes. Infórmate preguntando a tu matemático más cercano (o en la web).

 

Foto 30. Los óvalos de Cassini.

 

El suelo de la estación de metro Nippori muestra esta forma interesante, probablemente trazada con partes de una circunferencia, que recuerda a los óvalos de Cassini (definidos como el lugar geométrico de un punto para el cual el producto de sus distancias a dos focos fijos es constante). La ecuación de estas formas es interesante, y si uno cambia sus parámetros se pueden obtener, como casos particulares, la lemniscata o dos óvalos separados. El nombre “Cassini” honra a un astrónomo italiano.

 

 

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Foto 31. Casilleros.

 

Este sistema de almacenaje en una fábrica de galletas en Kyoto me recordó el Principio del Casillero (o Principio del Palomar)...

 

 

Foto 32. Agnesi.

 

La curva de las bombillas me recuerda a la Bruja de Agnesi; mira, por ejemplo, aquí y aquí. Esta página web suplementaria muestra la imagen de Agnesi y la portada de su libro.

 

 

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Foto 33. ¿Caminar o correr?

 

Cartel encontrado en la Isla Miyajima. Piensa en tu propio andar y en la velocidad a la que corres. ¿Los datos son aplicables a tu paso?

 

Foto 34. Daibutsu.

 

El Daibutsu (Gran Buda) de Kamakura. Considerando la altura de la gente, ¿puedes estimar la altura del Daibutsu? Compara tu estimación con su verdadera altura...

 

 

2005-07-22 09:00:23

 

Foto 35. Funciones.

 

Muchos autobuses en Japón determinan la tarifa a pagar por un trayecto mediante esta tabla electrónica, que muestra el precio en función de la distancia recorrida (el número superior es fijo y aparece en el ticket que recibes cuando montas; el número que cambia es el precio, que varía según la longitud del trayecto). Por ejemplo, en el caso de esta foto, si tienes un ticket con el número 25 y quieres bajarte del autobús en el momento en que fue tomada, tienes que pagar 520 yenes. Si esperas para bajarte, la tabla electrónica cambiará según la distancia recorrida y probablemente pagarás más. Un maravilloso ejemplo para ilustrar de forma dinámica el concepto de función matemática. A medida que el viaje continúa se obtienen nuevas funciones, o sea que de hecho tenemos también un ejemplo de una familia de funciones.

 

 

Sobre el autor

Abraham Arcavi nació en Argentina (1951), donde se graduó como licenciado en Matemática Aplicada. Inmigró a Israel (1978), país en el que completó estudios de maestría (1981) y doctorado (1985) en Educación Matemática en el Instituto Científico Weizmann. Trabajó como post-doctorante (1986-1988) y como investigador visitante (1991-1992) en la Universidad de California, Berkeley. Es miembro del plantel científico del Instituto Weizmann, donde dirigió el Departamento de Enseñanza de las Ciencias (2001-2005). Es miembro del consejo editorial de publicaciones internacionales, ha publicado más de 50 artículos y capítulos de libro y ha escrito numerosos libros de texto. Ha conducido decenas de cursos para docentes y para estudiantes de maestría y doctorado. Está casado y tiene dos hijos.

 

 



(*) Los pies de foto han sido traducidos del inglés por Inés M. Gómez Chacón.