Educación
Escrito por Michèle Artigue   
jueves, 15 de marzo de 2007
La inteligencia del cálculo

Recibido: martes, 12 diciembre 2006




La inteligencia del cálculo (*)

 

Michèle Artigue

IREM - Universidad de París 7

e-mail: artigue @ math.jussieu.fr

 

 

1.       Introducción

 

Asociar inteligencia y cálculo puede parecer a primera vista algo extraño. El término “cálculo” se asocia normalmente a una actividad mecánica, automatizada, además cada vez más vinculada a máquinas. A mí me parece que eso es tener una visión muy restrictiva de lo que constituye realmente la actividad del cálculo en matemáticas, de la diversidad de sus facetas, de las formas de inteligencia que necesita. Se trata de escoger las representaciones de los objetos más adaptados a los cálculos que queremos llevar a cabo, de organizar y gestionar ese cálculo desde el momento en que no supone una simple rutina, de anticipar, interpretar o controlar los resultados. También resulta difícil comprender el papel que desempeña el cálculo al conceptualizar los objetos matemáticos que contiene, la aprehensión de su potencial epistémico, más allá de su potencial pragmático de producción de resultados. En consecuencia, se hace también difícil una reflexión pertinente sobre cómo la enseñanza de matemáticas puede posicionarse hoy en día con respecto a esta cuestión tan polémica del cálculo, cómo podemos hacer que nuestros alumnos desarrollen competencias para el cálculo y poner ese desarrollo al servicio del aprendizaje de matemáticas (Artigue, 2004).

 

Por esa razón me pareció que asociar inteligencia y cálculo era un buen comienzo para la conferencia de inauguración que tuvo lugar en la universidad de verano “El cálculo bajo todas sus formas”, de la que este texto es un extracto. En las páginas que siguen me gustaría, por un lado, mostrarles la inteligencia que a menudo está presente en las actividades relacionadas con el cálculo a pesar de que pase desapercibida entre otras más evidentes y, por otro lado, plantear la pregunta sobre las formas de dicha inteligencia y las condiciones de su desarrollo en el seno de una institución escolar. Para ello he seleccionado un ejemplo.

 

 

2.      Definición de cálculo y características del proceso del “cálculo”

 

El lector podría esperarse que este texto comenzara con una definición de cálculo. Eso fue lo primero que pretendíamos hacer cuando en la CREM[1] decidimos abordar la cuestión sobre la enseñanza del cálculo. El lector que se decante por el informe resultante de esos trabajos (en Kahane, 2002), que yo misma tuve la responsabilidad de coordinar, comprobará que nosotros lo habíamos rechazado, ya que lo que había surgido en un primer momento de nuestras discusiones era la omnipresencia del cálculo en las prácticas matemáticas y la diversidad de sus facetas. Si el término “cálculo” proviene del latín “calculus” que designaba las piedras de las cuales se servían los romanos para contar, y en la cultura casi siempre se asocian los cálculos numéricos elementales a los aprendizajes básicos concernientes a la trilogía “leer, escribir, contar”, la perspectiva matemática del cálculo es, ciertamente, mucho más compleja:

 

“Se refiere a algo que va más allá de meros números, a los objetos matemáticos más diversos, como demuestran los adjetivos capaces de calificarlo, remitiendo a objetos geométricos o mecánicos (cálculo baricéntrico, cálculo vectorial, cálculo tensorial...), a objetos funcionales y probabilísticos (cálculo diferencial e integral, cálculo de variaciones, cálculo estocástico...), incluso a enunciados lógicos (cálculo proposicional, cálculo de predicados...). Cada uno de los tipos de cálculo se acompaña de modos de pensamiento y de unas técnicas específicas, haciendo del cálculo un objeto multiforme” (ibid., p. 175).

 

¿Existe una unidad que trascienda esta diversidad y transmita la esencia del cálculo? Si es que existe dicha unidad, a nosotros nos parece que se sitúa más bien al nivel del proceso. Una parte esencial del trabajo de los matemáticos para conseguir resolver los problemas que se plantean o que les plantean consiste, de hecho, en hacer los objetos accesibles al cálculo, en desarrollar los métodos de ese cálculo, en conceptualizarlos y después organizarlos en el seno de teorías. El inicio del análisis también fue llevado a cabo por los métodos desarrollados para el cálculo de tangentes, de trayectorias, de extremos, de longitudes, de áreas y de volúmenes, etc. Y en cuanto a la denominación de ese campo, él mismo permaneció mucho tiempo con una denominación calculatoria, del cálculo infinitesimal de los primeros tratados a través del cálculo diferencial e integral. Como ese hay muchos más ejemplos. Por lo tanto, no es algo sorprendente que el cálculo esté, en cierto modo, en todas partes de la actividad matemática y que sea tan difícil circunscribirlo sin tener que desarrollar una visión simplista. Es por eso por lo que no trataré en este texto de dar una definición precisa del término “cálculo”.  Sin embargo, en esta introducción me gustaría hacer hincapié en algunas de las características del proceso del “cálculo” tan esencial en las matemáticas, tan consubstancial con el poder de esta ciencia.

 

Convertir los objetos accesibles al cálculo supone, en un primer lugar, un trabajo de matematización[2], dando preferencia a determinadas características de esos objetos y ocultando otras. Ese trabajo, como lo dijimos ya en el informe de la CREM antes citado:

 

“...está presente desde los primeros contactos con el mundo del cálculo, en que se trata de asociar un número a una colección de objetos olvidando las características propias de esos objetos que no entrarán en juego en el cálculo, o de asociar las magnitudes tales como longitudes, áreas o ángulos a formas geométricas” (p. 178). 

 

Convertir esos objetos matemáticos en calculables puede ser, o bien desarrollar directamente un cálculo sobre su conjunto X, o bien proyectar X por el sesgo de un morfismo f sobre una estructura matemática A en la cual existe ya un cálculo: anillo de números, espacio vectorial[3]. Y, en el mejor de los casos, es decir, una vez que sabemos caracterizar las clases de equivalencia inducidas por el morfismo en X (dicho con otras palabras: caracterizar sus fibras), entonces disponemos no únicamente de la posibilidad de desarrollar un cálculo sobre los objetos de X, sino también de la posibilidad de probar las propiedades de X vía el cálculo en A.

 

Los objetos matemáticos son, por otro lado, como afirmaba Desanti, idealidades. Incluso si dotamos de una cierta realidad a aquellos que nos resultan familiares, no accedemos a ellos directamente a través de nuestro sentido, sino mediante representaciones semióticas, ostensivos diversos que van desde el gesto y la imagen al símbolo. Convertir los objetos matemáticos en accesibles al cálculo supone también dotarles de representaciones semióticas que apoyen eficazmente el cálculo. Esto no es evidente, como muestra especialmente bien la última obra de M. Serfati La revolución de la escritura simbólica (Serfati, 2005). Escribir los símbolos algebraicos, una herramienta calculatoria que hoy en día nos parece tan común tener, fue una obra humana de larga duración. Con Descartes se cumple por fin lo esencial de la tarea, pero la obra nos detalla las conquistas que, por ejemplo de Descartes a Leibniz, aún va a necesitar la operación de un simbolismo exponencial hoy en día completamente naturalizado.

 

Lo que consigue que las matemáticas tengan finalmente el poder que tienen no sólo es el hecho de que estén dotadas de objetos calculables y de sistemas de representaciones que sostengan eficazmente ese cálculo, sino también que el cálculo se puede ajustar a algoritmos y automatizar. En el cálculo también es esencial otro potente movimiento, el de la mecanización, que, cuando se consigue, permite ejecutarlo sin inteligencia reduciéndolo a una sucesión automatizada de gestos. Esta mecanización es necesaria para el avance del conocimiento y en la mayoría de los cálculos hay, por lo tanto, una alquimia sutil entre inteligencia y rutina.

 

Tras haber expuesto esta introducción, voy a presentar un ejemplo. Intentaré a través de él ilustrar la alquimia entre inteligencia y rutina mencionada anteriormente. Trataré de mostrar que la inteligencia de un cálculo puede manifestarse en cada una de sus etapas y, por último, ilustrar la diversidad de los conocimientos que, siguiendo los ámbitos, hacen que esta inteligencia sea posible.

 

 

3.       Ejemplificación: entre álgebra y geometría

 

Se trata de un problema donde confluyen álgebra y geometría, extraído del anexo del informe sobre el cálculo[4]. Es un problema como muchos otros que encontraremos en los libros de texto del primer año de liceo en Francia (equivalente a 4°. de ESO en España), donde se estudian las variaciones de una magnitud geométrica en función de otra.

 

 

3.1.  El problema inicial

 

El enunciado es el siguiente:

 

Consideramos un rectángulo ABCD donde AB = 6 cm y BC = 9 cm, M sobre [A,B], N sobre [B,C], O sobre [C,D] y P sobre [D,A] tales que AM = BN = CO = DP. ¿Cómo varía el área del cuadrilátero MNOP cuando M se desplaza sobre [A,B]? Calcular su valor mínimo.

 

Podemos empezar a explorar esta situación con un programa de geometría dinámica. Esto permite confirmar la intuición de que el área decrece, pasa por un mínimo y luego crece otra vez. También permite invalidar la hipótesis aparecida de repente de que el mínimo se debe alcanzar cuando M esté situada en el medio de [A,B]. El estudio muestra, en efecto, que el mínimo se sitúa entre 3,5 cm y 4 cm para AM. Se percibe, de hecho, una zona estable para el área en la precisión de los cálculos, entre 3,72 cm y 3,78 cm. Eso puede conducir a rectificar la hipótesis inicial, si observamos que en esta área se encuentra justamente el valor 3,75 cm que corresponde a la cuarta parte del semiperímetro. Pero esto no es más que una hipótesis de momento, si incluso está formulada y no da el valor mínimo demandado.

 

 

 

Figura 1.

 

 

Calcular el área del cuadrilátero MNOP, que resulta ser un paralelogramo, puede hacerse a priori de diferentes maneras.  Sólo una es realmente económica, la que consiste en proceder por la diferencia a partir del área del rectángulo ABCD. Detallemos esta vez los cálculos marcando como x (manera clásica) la medida de AM:

 

Área ABCD = 9 x 6 = 54

Área AMP = Área CNO =

x(6 – x)

2

Área BMN = Área DOP =

x(9 – x)

2

 

Donde la expresión 54 – x(6 – x) – x(9 – x) será, desarrollándola: 2x2 – 15x + 54, un polinomio de segundo grado que señalaremos de aquí en adelante como A(x).

 

Hay diversas técnicas disponibles para el cálculo de su mínimo, especialmente la que consiste en ponerlo bajo la forma canónica, que conduce a la expresión: 2(x–15/4)2 + 207/8. Aquí voy a utilizar otra, apoyándome sobre la hipótesis hecha anteriormente. Si 3,75 es el valor en el que se alcanza el mínimo de A(x), significa que la cantidad A(x) – A(3,75) es siempre positiva o nula. Como es una expresión de segundo grado, es entonces un cuadrado perfecto. 

 

Efectuado este razonamiento, si delegamos la ejecución de los cálculos en una calculadora científica obtendremos la imagen mostrada en la Figura 2, realizada con una TI92; una primera expresión en la cual un alumno de 4º. de ESO en Francia tendrá seguramente problemas para encontrar un cuadrado perfecto. La utilización del comando de factorización permite después obtener la forma buscada.

 

 

 

Figura 2.

 

 

3.2.  Un primer resurgimiento

 

En el caso de este rectángulo en particular, el mínimo ha sido obtenido por un cuarto del semiperímetro. Para el matemático es normal preguntarse si se trata de un fenómeno particular o de algo más general. De ahí la cuestión: ¿es que siempre que las dimensiones del rectángulo lo permitan el mínimo será un cuarto del semiperímetro? El cálculo algebraico se presta particularmente a este trabajo de generalización.

 

Basta con introducir parámetros a y b para las longitudes de los lados del rectángulo y reproducir los mismos cálculos para tener la confirmación de esta hipótesis, como muestra la Figura 3.

 

 

 

Figura 3.

 

 

3.3.  Un segundo resurgimiento

 

El problema puede volver a surgir, como mostró A. Warusfel en la universidad de verano. ¿Por qué ese valor de la cuarta parte del semiperímetro? ¿Está relacionado únicamente con las características de esta clase de problemas?

 

Observemos la función f que asocia a las dos dimensiones del rectángulo, a y b, el valor para el cual se obtiene el mínimo. ¿Qué sabemos a priori de f? Mientras que el rectángulo sea un cuadrado, es fácil determinar el valor de f: es a/2 (encontramos de nuevo la intuición inicial del medio de [A,B]). Sabemos también que, para toda pareja (a, b)f(a, b) = f(b, a), y que el resultado obtenido no depende más que del cociente a/b debido a la invarianza del problema por homotecia.

 

Resulta pues, para todo triplete (a, b, k) : f(ka, kb) = k · f(a, b).

Donde para toda pareja (a, b) con b0 : f(a/b, 1) = f(a, b)/b.

O también : f(a, b) = b · g(a/b), haciendo que  g(x) = f(x, 1).

 

Nos reducimos entonces al estudio de las funciones g definidas en IR+* que verifican la ecuación funcional g(x) = x · g(1/x)  y toman el valor 1/2 en 1.

 

Esta clase de funciones contiene muchos más objetos que aquel asociado a nuestros rectángulos, que no es otro que la función afín definida por g(x)=(x+1)/4. Es posible definir arbitrariamente por ejemplo g en (0,1), poner g(1)=1/2 y después prolongar g a (1,+)  utilizando la relación funcional. Pero podemos mostrar mediante el cálculo que si sabemos que g es una función polinómica, forzosamente esa función es afín, y el resultado se generaliza sin dificultad a las funciones analíticas.

 

 

3.4.  Una prueba  para el cálculo geométrico 

 

Hasta aquí hemos llegado en cuanto a lo que son los cálculos en el campo del álgebra, pero podemos obtener el resultado por un cálculo geométrico, como mostramos aquí debajo, retomando la prueba abreviada dada en el anexo del informe sobre el cálculo ya citado[5] :

 

“Minimizar el área del paralelogramo vuelve a maximizar la suma de las áreas de los cuatro rectángulos alrededor del rectángulo IJKL de la figura que está a continuación, por lo tanto, a minimizar la del rectángulo IJKL que representa la diferencia con el área del rectángulo ABCD. Cuando AM = BC/2, el área de IJKL es nula. La diferencia con el área del rectángulo ABCD se convierte en negativa y es mínima cuando IJKL es un cuadrado, ya que el perímetro de IJKL es entonces constante. Esto se consigue para AM=(AB+BC)/4. Después, el área comienza a crecer. Se anula de nuevo para AM=AB/2, y luego vuelve a ser positiva”.

 

 

 

Figura 4.

 

 

3.5. La inteligencia de esos cálculos

 

La inteligencia ha estado presente en los diversos cálculos realizados más arriba de múltiples formas y yo no pretenderé hacer aquí un análisis exhaustivo. Si consideramos el problema inicial y su resolución, existe ya en el establecimiento de la hipótesis: tratar de relacionar la zona de estabilidad del área con las bases del problema encontrando una combinación numérica simple que conseguirá, a partir de 9 y 6, producir un número de esta área que tenga un sentido geométrico. Después se manifiesta en la elección realizada para el cálculo del área, indirectamente por diferencia, una elección que no se impone de golpe a los alumnos correspondientes a 4º. de ESO en Francia, habituados a calcular áreas directamente, mediante la utilización de fórmulas. Una vez escogido, se puede esperar que, a ese nivel, el resto del cálculo muestre la rutina. Llegamos a una expresión de segundo grado de la cual hay que extraer el extremo. La puesta bajo una forma canónica es una técnica de cálculo que para nosotros es muestra de rutina. No es el caso para un alumno de 4º. de ESO, ni siquiera si para él es una técnica conocida. Además hace falta que, independientemente de su ejecución técnica, decida utilizarla, previendo que va a aportar una solución. Pocas veces va a asumir un alumno de 4º. ese tipo de iniciativa. La solución alternativa propuesta es esa, menos estándar, y cuando les preguntamos a profesores en formación cuáles son las técnicas para resolver ese problema, pocas veces aparece esta. Requiere, incluso si dotamos al alumno de una calculadora simbólica para conducir el cálculo y llevarlo a buen término, una inteligencia de formas algebraicas sobre la cual volveremos a continuación. Incluso si no favorecemos la anticipación hasta intuir un cuadrado perfecto, hay que pensar en la factorización como una técnica de cálculo ejecutable por la máquina que va a dar acceso al signo de la expresión.

 

La primera generalización es para nosotros, una vez más, simple rutina. No está pensada para un alumno de 4º. de ESO ni en su principio ni en su ejecución técnica. E incluso, si le dotamos de una calculadora científica, conducir ese cálculo trasladando al caso general aquello que se había hecho en un caso particular, sin dejarse influenciar por el ostensible incremento de la complejidad inducido por la introducción de los dos parámetros, apunta a ese nivel de la inteligencia del cálculo.

 

La inteligencia del cálculo está sin duda presente en otra dimensión, en la segunda generalización. Lo está en la distancia tomada en relación a los cálculos efectuados hasta el momento y la desviación de atención que se deduce a nivel funcional: de la función área hasta la función asociada al valor para la cual se obtiene el mínimo. Ese desvío de la atención está relacionado con el punto de referencia de la invarianza de la situación por homotecia y con las anticipaciones calculatorias que ese punto de referencia permite a aquel que tenga la experiencia matemática necesaria. Sabe que sin duda será interesante romper la simetría de la escritura, esta vez trasformando la función de dos variables en función de una variable módulo, con el cambio de variable x=a/b ó x=b/a. Pero es la simetría inherente al problema la que, expresada con respecto a esta nueva variable x, va a permitir el cálculo, dando una ecuación funcional simple e inesperada. El cálculo que luego permite establecer que si g es una función polinómica, también es la función afín ya obtenida, es  para los que lleguen hasta ahí, sin ninguna duda, simple mecánica. La inteligencia aquí reside más bien en la idea de someter las funciones polinómicas a ese cálculo después, en la intuición, habiéndolo efectuado, de que no hay razón alguna que impida generalizarlo a los “polinomios infinitamente largos” que son las series enteras.

 

La prueba geométrica del cálculo es, finalmente, una ilustración de la inteligencia que puede subyacer a este tipo de cálculo, incluso cuando las descomposiciones y recomposiciones, que son técnicas básicas, no hacen intervenir más que figuras muy simples e isometrías. La intervención que hizo el álgebra, con el paso a los negativos en el caso de superposición y el razonamiento que sostiene entonces el cálculo cambiando la búsqueda de un mínimo por la de un máximo, el papel que desempeña la visualización permitida por la geometría dinámica en la aparición del cuadrado, y el cálculo que resulta para mostrar la invarianza del perímetro y justificar la hipótesis, forman en conjunto una construcción particularmente sutil, incluso si ésta sólo utiliza técnicas muy elementales.       

 

 

4.       El desarrollo de la inteligencia del cálculo: ¿cuándo y cómo?

 

Aquí no pretendo responder de manera precisa y definitiva a las preguntas de cuándo y cómo. En el informe sobre el cálculo al que remito al lector ya hemos abordado una y otra vez estas preguntas. Durante los siguientes apartados, simplemente me gustaría subrayar, al igual que lo he hecho anteriormente, e inspirándome en dicho informe, algunos puntos que, en mi opinión, podrían servir de ayuda para organizar la reflexión.

 

 

4.1.  Una atención permanente desde los primeros contactos con el mundo del cálculo

 

La inteligencia del cálculo necesita que se constituya un conjunto importante de medios, en lo que se refiere a repertorios y técnicas operatorias especialmente, que la hagan posible. Desde los primeros contactos con el mundo del cálculo, se debe desarrollar una relación con el mismo que respete la diversidad de sus facetas y que por tanto aúne la elaboración de repertorios y técnicas, la automatización y el desarrollo de su inteligencia. Como dije al principio, la inteligencia del cálculo es una noción muy relativa y, para un alumno que empieza a aprender a multiplicar, encontrar el resultado de un producto como 7x8, utilizando el hecho de que es 7x7+8, y el conocimiento memorizado del valor de 7x7, ver que es fácil memorizar la tabla del 9 basándose en la del 10, es un signo de la inteligencia del cálculo. Asimismo, se podría afirmar que, de cuantos menos medios y menos rutinas de cálculo disponemos, más necesariamente inteligente es el cálculo. Estas formas de inteligencia servirán durante un tiempo para elaborar la relación con el número y el cálculo; después, algunas de ellas deberán dejarse atrás e incluso abandonarse y ser remplazadas por automatismos y memorizaciones, para que la inteligencia pueda ponerse al servicio de nuevos objetos y nuevos problemas.

 

Desde la escuela primaria, los programas de matemáticas en Francia, tanto hoy como hace años, a priori permiten desarrollar esta inteligencia, en especial:

 

  • a través de las actividades de cálculo mental y pensado que ponen directamente en juego las propiedades de los números y las operaciones;

  • a través de las actividades de estimación relacionadas con la anticipación de resultados o el control de los cálculos realizados por las calculadoras, el juego entre cálculo exacto y aproximado;

  • a través de la implementación de los algoritmos de cálculo, su refinamiento progresivo, su ampliación cuando se extiende el campo numérico;

  • a través de la planificación de los cálculos que acompaña necesariamente a la resolución de problemas un tanto complejos. 

 

 

4.2. Una sensibilidad permanente hacia las necesidades de la inteligencia del cálculo

 

Esto supone una atención permanente hacia la elaboración de repertorios, su consolidación y su enriquecimiento progresivo, más allá de sus elementos más básicos, la superación progresiva de las técnicas artesanales de cálculo en beneficio de técnicas más económicas y eficaces y, por último, una rutinización suficiente de algunas de ellas.

 

Asimismo, esto supone el desarrollo de la flexibilidad sobre la cual se sustenta cualquier cálculo inteligente. Para poder ejercerse, es necesario que no todo esté establecido, delimitado por las normas de las prácticas de cálculo, que la asociación tarea-técnica no sea demasiado rígida, que las tareas de cálculo no se dividan en una sucesión de subtareas. En definitiva, que el abanico de las formas, los registros y los puntos de vista encontrados por el alumno sean suficientemente ricos. Es una pendiente natural de la enseñanza, so capa de la eficacia a corto plazo, so capa de garantizar el éxito de todos o casi todos, de hacerlo más rígido y de atomizarlo, creando obstáculos al desarrollo de la flexibilidad. Pero, por el contrario, sabemos que para que esta flexibilidad pueda ejercerse no basta con enfrentar al alumno con tareas abiertas, llenas de potencialidades diversas. También es necesario que le sean accesibles, que éste pueda responsabilizarse de ellas y asumirlas. Esto supone una experiencia, y las reflexiones metodológicas muy de moda ahora, por útiles que sean a posteriori, no pueden remplazarla. Esta experiencia, para constituirse, necesita tiempo, un tiempo del que sin duda alguna carece en gran medida la enseñanza de las matemáticas hoy en día. Esto hace que sea mucho más necesario dedicar tanta energía e inteligencia a la hora de pensar en la progresión de las competencias del cálculo, en la progresión de la responsabilidad matemática del alumno en los cálculos y en la desaparición progresiva de la intervención docente de la que hacemos uso, para pensar en la introducción de nociones nuevas, así como para inventar los problemas y las preguntas que van a motivar y acompañar esta introducción.

 

Asimismo, esto supone que debemos prestar atención a las reconstrucciones necesarias para introducirse en los nuevos tipos de cálculo: del cálculo aritmético al cálculo algebraico, del cálculo algebraico al cálculo analítico, del determinismo a lo aleatorio, etc. La enseñanza tiende muchas veces a subestimar estas reconstrucciones que son especialmente delicadas para el alumno cuando muchos objetos son comunes, cuando se utilizan los mismos registros semióticos, como es el caso, por ejemplo, entre el álgebra y el análisis elementales. Se tiende a dejar la parte esencial de estas reconstrucciones a cargo de los alumnos, y es así como se generan malentendidos y confusiones constantes.

 

 

4.3. Una consideración clara y coherente de las herramientas de cálculo

 

En este texto no voy a hablar sobre la cuestión de las herramientas de cálculo, cuestión que merece que se le dedique un artículo entero para ella sola. Sin embargo, me gustaría insistir sobre el hecho de que no se puede pensar en la inteligencia del cálculo sin tener en cuenta las herramientas de este cálculo. El cálculo ha sido instrumentado, de siempre, por las diversas tecnologías, y hoy en día principalmente por las tecnologías informáticas. Son omnipresentes en la sociedad, están presentes en la escuela desde los primeros años de escolaridad. Definen nuestra relación con el cálculo y los objetos del cálculo. Sin embargo, es necesario reconocer que mientras que las calculadoras son herramientas escolares oficiales desde hace treinta años, la enseñanza de las matemáticas tropieza siempre con dificultades a la hora de encontrar un equilibrio satisfactorio entre el cálculo de papel y lápiz y el cálculo instrumentado por las calculadoras, y a la hora de poner el cálculo instrumentado al servicio del desarrollo de la inteligencia del cálculo. Sin embargo, tal y como he intentado demostrar con el ejemplo que ilustra este texto, ello es posible utilizando fuentes tecnológicas diversas. No obstante, esto supone que haya que organizar realmente una progresión en el acceso a las herramientas a lo largo de la escolarización, y que haya que tener en cuenta el hecho de que estas herramientas no pasan a ser instrumentos matemáticos para el alumno sin un proceso de génesis instrumental generalmente complejo, como ya han demostrado las investigaciones didácticas sobre las calculadoras simbólicas (Guin y Trouche, 2001) o, hace menos tiempo, sobre la hoja de cálculo (Haspekian, 2005).

 

 

5. Conclusión

 

En este texto me he interesado por la inteligencia del cálculo, basándome en el hecho de que el cálculo, tanto en la cultura como en la enseñanza, se menosprecia en matemáticas de forma totalmente injustificada. Según la opinión general, el cálculo no es la parte noble de las matemáticas, sino más bien una herramienta de éstas que debe funcionar pero que, desafortunadamente, no funciona, provocando así el desasosiego de los profesores, desde el colegio a la universidad, por lo menos. Privado de inteligencia, el cálculo también se suele percibir como algo que puede y que debe aprenderse de forma mecánica: la memorización y la repetición se convierten así en las palabras que identifican este aprendizaje. Espero que el lector, durante la lectura de estas páginas, se convenza, si es que aún no lo está, de la riqueza, de la belleza de este mundo del cálculo, de los tesoros de inteligencia que las prácticas del cálculo contienen; y que el profesor, o el formador de profesores, entenderá que hacer que las matemáticas gusten es también hacer que guste este cálculo, sin el cual no existirían las matemáticas, sin el cual serían inservibles. Para ello, se debe encontrar un equilibrio en la enseñanza y el aprendizaje del cálculo entre la automatización y la razón, sus dos facetas indisociables. No se trata ni mucho menos de algo fácil; requiere atención e inteligencia y, sobre todo, oponerse a esos caminos que suelen tender a tratar el cálculo desde los automatismos sin alma, cuando se trata de un desafío que la enseñanza debe revelar desde el parvulario hasta la universidad.

 

 

Referencias

 

M. Artigue: L'enseignement du calcul aujourd'hui: problèmes, défis et perspectives. Repères IREM, no. 54 (2004), 23?39.

 

C. Bardini: Le rapport au symbolisme algébrique: une approche didactique et épistémologique. Thèse de doctorat, Université Paris 7, 2003.

 

V. Battie: Spécificités et potentialités de l'Arithmétique élémentaire pour l'apprentissage du raisonnement mathématique. Thèse de doctorat, Université Paris 7, 2003.

 

R. Douady: Jeux de cadres et dialectique outil-objet. Recherches en Didactique des Mathématiques 7/2 (1986), 5?32.

 

R. Duval: Semiosis et noesis. Berne: Peter Lang, 1995.

 

D. Guin, L. Trouche (eds.): Calculatrices symboliques: transformer un outil en un instrument du travail mathématique. Grenoble: La Pensée Sauvage, 2001.

 

D. Haspekian: Intégration d'outils informatiques dans l'enseignement des mathématiques: etude du cas des tableurs. Thèse de doctorat, Université Paris 7, 2005.

 

G. Israel: La mathématisation du réel. Paris: Editions du Seuil, 1996.

 

J.-P. Kahane (ed.): L'enseignement des sciences mathématiques. Paris: Odile Jacob, 2002.

 

M.J. Perrin-Glorian, A. Robert (eds.): Jeux de Cadres. Actes du Colloque en l'honneur de Régine Douady. Paris: IREM Paris 7, 2001.

 

M. Serfati: La révolution symbolique: la constitution de l'écriture symbolique. Paris: Editions Petra, 2005.

 


 

[1] Comisión de Reflexión sobre la Enseñanza de las Matemáticas, presidida entonces por Jean-Pierre Kahane.

[2] Haciendo referencia a G. Israel (1996), prefería emplear aquí el término matematización que modelización, tan distorsionado que es completamente confuso.

[3] Con la descripción que aquí hacemos puede dar la impresión de que el proceso es lineal. La realidad es todavía más compleja, ya que las matematizaciones realizadas no son independientes de las anticipaciones de los matemáticos acerca de las posibilidades de tratamiento y de cálculo que son capaces de ofrecer.

[4] Se puede acceder a este anexo a través de la página web de la CREM que se encuentra en la sección de enseñanza de la página de la Sociedad Matemática de Francia: http://smf.emath.fr.

[5] La primera vez que encontré esta prueba fue en una exposición de Jean Claude Fenice, en la IREM de Reims (noroeste de Francia).

 

 

Sobre la autora

Michèle Artigue es actualmente profesora de matemáticas en la Universidad París 7 Diderot, y co-responsable del máster de didáctica de esa universidad. Tras haber realizado estudios de matemáticas y un doctorado en lógica, se ha orientado progresivamente hacia la didáctica de las matemáticas. Sus principales trabajos dentro de este dominio conciernen a la didáctica del análisis, así como a la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en entornos informáticos. Después de haber sido vicepresidenta, es, desde enero de 2007, presidenta de ICMI, la International Commission on Mathematical Instruction.

 



(*) Este texto proviene de la conferencia de apertura pronunciada en agosto de 2005 en la universidad de verano “El cálculo bajo todas sus formas”, y es muy parecido a la versión publicada en las actas de esta universidad por la IREM de Clermont Ferrand. Está traducido del original en francés por Inés M. Gómez Chacón.