EL ‘PROBLEMA DE LOS CONJUNTOS GENERALIZADOS DE SIDON’ ERA UN RETO PARA LOS MATEMÁTICOS. Aunque el trabajo no tiene aún aplicaciones fuera de las matemáticas, una versión de los conjuntos de Sidon se utiliza en el diseño de radares.

Madrid, 24 de noviembre.- ifícil como para ocupar a algunos de los matemáticos más prestigiosos de la teoría combinatoria de números durante los últimos ochenta años. Finalmente ha ‘caído’, gracias al trabajo de tres investigadores, dos españoles y un húngaro. Se trata del ‘problema de los conjuntos generalizados de Sidon’, y es, básicamente, un problema de sumas.

Es un problema fácil de formular, pero lo bastante difícil como para ocupar a algunos de los matemáticos más prestigiosos de la teoría combinatoria de números durante los últimos ochenta años. Finalmente ha ‘caído’, gracias al trabajo de tres investigadores, dos españoles y un húngaro. Se trata del ‘problema de los conjuntos generalizados de Sidon’, y es, básicamente, un problema de sumas.

En 1932, el matemático húngaro Simon Sidon planteó al entonces estudiante Paul Erdös el siguiente problema: ¿cuál es el mayor tamaño de un conjunto de números, todos ellos menores que una cantidad dada, en el que todas las sumas de dos elementos del conjunto dan resultados distintos? Un conjunto de números que cumpla esa condición se llama conjunto de Sidon. Por ejemplo, {1, 2, 5, 10, 16, 23, 33, 35} es un conjunto de Sidon, mientras que {1, 3, 7, 10, 17, 23, 28, 35} no lo es porque aparecen sumas repetidas: 1+23=7+17.

Erdös, uno de los grandes matemáticos del siglo XX y el más prolífico de todos los tiempos, sólo superado por Leonhard Euler, resolvió este problema a mediados del siglo pasado. No así una versión más complicada: ¿cuál es el tamaño máximo de un conjunto de este tipo si se permite que cada suma se repita, como mucho, dos veces? ¿Y tres veces? ¿Y…? Este problema, llamado de los conjuntos generalizados de Sidon, es un clásico de la teoría combinatoria de números, y es el que han resuelto ahora Javier Cilleruelo (Universidad Autónoma de Madrid e ICMAT) y Carlos Vinuesa (Universidad Autónoma de Madrid y Universidad de Cambridge, Reino Unido), junto con el húngaro Imre Ruzsa (Instituto de Matemáticas Alfréd Rényi, Budapest).

El artículo donde se describe la solución, “Generalized Sidon Sets”, ha aparecido en una revista de gran prestigio: Advances in Mathematics (vol 225, nº5 (2010)).

Un “encaje de bolillos”

La clave del éxito ha estado en la combinación de herramientas de distinta naturaleza: probabilísticas, combinatorias, analíticas y algebraicas.

“Carlos Vinuesa y yo nos dimos cuenta de que las herramientas probabilísticas nos permitían dar un paso más allá de lo que ya se sabía”, explica Cilleruelo. Era una estrategia poco explorada hasta entonces. “Imre también había logrado avances en un problema relacionado, y cuando vio nuestro resultado nos propuso combinar ambos métodos”. A partir de entonces el éxito fue cosa de meses, pero “lo que costó mucho fue tener la idea de partida”.

Cilleruelo cuenta que “Al final el resultado ha sido un auténtico encaje de bolillos, en el que se han engarzado muchas piezas distintas; por eso ha costado tanto resolverlo”. Después de dos décadas pensando en este problema, ahora se declara “muy satisfecho”, y dispuesto a enfrentarse a otros problemas.

El resultado final, por cierto, ha causado cierta sorpresa entre los especialistas; se esperaba que los conjuntos generalizados de Sidon fueran más pequeños de lo que finalmente han resultado ser.

El problema no tiene, por ahora, aplicaciones inmediatas fuera de la matemática, aunque la versión en dos dimensiones de los conjuntos de Sidon se utiliza en el diseño de radares.

Quienes lo han resuelto piensan ya en usar las ideas de este trabajo para atacar otro problema en cierto modo inverso: ¿cuál es el conjunto más pequeño con la propiedad de que todos los números menores que una cantidad dada son la suma de dos elementos de dicho conjunto?

Javier Cilleruelo es miembro del Departamento de Matemáticas de la UAM y del Instituto de Ciencias Matemáticas y es el responsable del grupo de teoría combinatoria de números.

Imre Ruzsa es miembro de la prestigiosa Academia de Ciencias de Hungría y uno de los mayores expertos en teoría combinatoria de números.

Carlos Vinuesa, estudiante de Javier, está en la actualidad realizando una estancia posdoctoral en la Universidad de Cambridge con el profesor Ben Green.

Para más información:

Javier Cilleruelo, UAM: Tel: 91 497 7636.

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