Recibido: lunes, 28 febrero 2005

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Buscando lo óptimo: de la reina Dido a la carrera espacial

 

David Martín de Diego

Departamento de Matemáticas

Instituto de Matemáticas y Física Fundamental

Consejo Superior de Investigaciones Científicas

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página web: http://www.imaff.csic.es/mat/david/index.htm

 

 

Introducción

 

En este artículo nos detendremos en uno de los más fascinantes problemas de las matemáticas: la búsqueda de lo óptimo. Observaremos que en los procesos naturales, así como en los elementos fabricados usando la más moderna tecnología, aparece un principio común: la optimalidad de su diseño.

 

La rama de las matemáticas que estudia estas formas optimales es el cálculo de variaciones. Nos centraremos en problemas fundamentales, llenos de una rica historia, que dieron inicio a esta bella teoría matemática, desde el problema isoperimétrico a la solución detallada del problema de la braquistócrona (examinando, por ejemplo, en detalle la maravillosa demostración dada por Johann Bernoulli), que posteriormente dio lugar a la formalización del cálculo de variaciones de Euler y al maravilloso e intrincado mundo de las películas de jabón o superficies minimales. 

 

Para terminar este paseo nos situaremos en tiempos más recientes, en los que ya no nos bastará con observar las leyes de la Naturaleza, sino que ahora pretenderemos modificarlas. Aparecen así la teoría del control y la teoría del control óptimo. Nuestros  vehículos, tripulados o no, requieren un control si queremos que sigan un comportamiento adecuado o una planificación prefijada. En el caso de un vehículo con ruedas los controles nos permiten frenarlo, acelerarlo, llevarlo por la dirección requerida... Estos controles se activan manualmente, por radio control o automáticamente, o los diseña nuestro sistema (vía feedback). Pueden actuar llevando nuestro sistema de un punto a otro o evitando desviaciones de la trayectoria que queremos seguir. En muchos casos el sistema es inestable y necesitamos introducir controles para evitar grandes perturbaciones del mismo. La aplicación no se reduce a problemas de mecánica, sino que tiene un  ámbito mayor: teorías del crecimiento económico, ecología, planificación comercial, medicina, robótica...

 

 

La Naturaleza ya optimizaba

 

 

 

El problema isoperimétrico

 

En la Eneida de Virgilio encontramos una referencia a una interesante propiedad optimal de la circunferencia. La historia, eliminando su belleza poética, es la siguiente:

 

En el siglo IX antes de Cristo, huyendo la princesa fenicia Dido de su hermano Pigmalión, que había asesinado a su marido, llega a las tierras del Norte de África (Túnez) donde alcanza un acuerdo con sus habitantes. Al querer la princesa Dido comprar tierra para establecerse con su pueblo, el rey de aquellas gentes solamente le consiente comprar la parcela de tierra que pueda ser cubierta por la piel de un toro. Dido cortó la piel en finas tiras formando una larga cuerda (de unos 1000 ó 2000 metros) y la dispuso de manera que cubriese la mayor parte de terreno posible...

 

¡Éste es el problema que nos interesa!

 

Dido resolvió el siguiente problema: "Encontrar, entre todas las curvas cerradas de longitud fijada, aquella que delimita la superficie más grande".

 

 

También Polibio (Megalópolis 208 a.C. - 126 a.C.) relataba esta confusión en sus Historias, donde contaba la sorpresa que producía a eminentes políticos y altos mandos del ejército, que, por ejemplo, la ciudad de Megalópolis tuviese 50 estadios de perímetro, mientras Esparta solamente 48 y, sin embargo, Esparta fuese dos veces más grande que Megalópolis.

 

 

Proclo ya observa esta propiedad, y pone un ejemplo interesante de dos triángulos isósceles, uno con lados 5, 5 y 6 y otro con lados 5, 5 y 8, que tienen igual área.

 

 

               

y, por tanto, su perímetro será

 

 

 

Una de las aproximaciones más interesantes a la solución del problema isoperimétrico fue dada por Jacob Steiner en 1841, pero en su demostración suponía que existía solución al problema (véase que esta suposición puede llevar a errores, como, por ejemplo, en el problema de Kakeya). No fue hasta que se emplearon herramientas analíticas cuando se encontró una solución completa del problema.

 

 

La Helena de la Geometría

 

¿Pero, entonces, quién o qué es esta nueva Helena?

 

Nuestra Helena es una curva.

 

¿Cómo se construye la curva que hemos llamado la Helena de la Geometría? La  Helena de la Geometría es una curva que se llama la cicloide. Es muy fácil entender cómo se construye. Imagina la cubierta de la rueda de una bicicleta y pinta sobre ella un punto de color rojo de modo que la veas bien de lado. Este punto rojo describirá una curva a medida que la bicicleta se mueve por una carretera recta. La curva que va trazando es la que llamamos la cicloide.

                     

 

La cicloide  tiene un montón de propiedades bellísimas que a muchos nos han sorprendido cuando las hemos descubierto y nos han llevado a amar las matemáticas. Además, no es descabellado decir que la cicloide está detrás de desarrollos que han dado lugar a descubrimientos científicos que nos han conducido a nuestra actual sociedad tecnológica.  ¿Por qué la llamamos Helena? La belleza ya empezamos a descubrirla, pero, además, provocó tremendas disputas entre matemáticos..., peleas de celos por la  prioridad de tal o cual propiedad de la cicloide, acusaciones de plagio...

 

 

Galileo Galilei (1564-1642) fue uno de los primeros que se interesó en esta curva. Una de las preguntas que se planteó era relacionar el área o superficie cubierta por un arco de cicloide con el área del círculo que está rodando. Construyó figuras de madera y las cortó, después las pesó y obtuvo un valor próximo a 3. Dado que de la circunferencia surge uno de los números más bellos de las matemáticas, el número   (este número da la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro), Galileo supuso que la relación entre el área de la cicloide y del círculo debía ser . Pero se equivocó: un poco más tarde, Roberval y Torricelli demostraron que la relación es exactamente 3. Todo ello, por supuesto, entre disputas entre Roberval y Torricelli sobre quién había encontrado la demostración primero y mutuas acusaciones de plagio.

 

Otro matemático, Pascal, durante un terrible dolor de muelas y desesperado al no poder aguantarlo más, para no pensar en su dolencia se puso a meditar sobre nuestra Helena, la cicloide. Como por arte de magia, el dolor remitió y Pascal lo tomó como una señal y se dedicó con furia a estudiar las propiedades de la cicloide. Todo ello le llevó a escribir un libro titulado Historia de la cicloide. Por supuesto, que nadie tome esto como un alegato contra la higiene dental: ha habido más matemáticos que han hecho descubrimientos sin dolor de muelas que con dolor. Así que lavémonos los dientes tres veces al día, por lo menos.

 

Otra interesante propiedad, que se debe a Huyghens (Figura 8), es la tautocronía de la cicloide; es decir, si ponemos una cicloide vertical y colocamos dos canicas con la misma masa en ella, a diferentes alturas, entonces las dos llegan al punto más bajo al mismo tiempo. Esta propiedad le permitió a Huyghens mejorar la construcción y diseño de relojes.

 

 

 

La importancia de la cicloide y por lo que se ganó con justa fama el nombre de Helena, radica en el estudio de la curva de más rápido descenso o, como se conoce en el mundo científico, la búsqueda de la braquistócrona. Así de provocativamente se dirigió uno de los más famosos matemáticos del mundo para ver quién era capaz de resolver el problema siguiente: Dados dos puntos  y  en un plano vertical, hallar la curva trazada por un punto bajo la única acción de la gravedad, que empieza en  y alcanza  en el mínimo tiempo.

 

Yo, Johann Bernoulli, me dirijo a los matemáticos más brillantes del mundo. Nada es más atractivo para las personas inteligentes que un problema honesto y estimulante, cuya solución dará fama y permanecerá como un monumento eterno para la posteridad. Siguiendo el ejemplo dado por Pascal, Fermat, etc. espero ganar la gratitud de toda la comunidad científica planteando a los más sagaces matemáticos de nuestro tiempo un problema que pondrá a prueba sus métodos y la fortaleza de su intelecto. Si alguno me comunica la solución del problema propuesto, le declararé públicamente digno de fama...

 

El problema solamente pudo ser resuelto por algunos de los principales científicos de la época, en particular, por Newton, Leibniz y los hermanos Johann y Jacob Bernoulli; en definitiva, por aquellos que disponían de una nueva herramienta matemática que surgió en aquella época: el Cálculo Diferencial. Podemos decir sin exagerar que con la aparición del Cálculo Diferencial se abrió el camino que nos ha llevado a nuestra actual sociedad tecnológica. La autoría del Cálculo Diferencial se atribuye conjuntamente a Newton y a Leibniz; pero claro, siendo uno inglés y otro alemán, hay quienes conceden la autoría a uno u otro, aunque todos se acusan de plagio. También, en esta enconada pelea, se encuentra nuestra Helena, pues la solución del problema de la braquistócrona es la cicloide. En un artículo de Leibniz, éste señala  que solamente los que conocían el nuevo cálculo, que él había inventado, estaban capacitados para resolver el problema de la braquistócrona. Obviamente, esta información hacía pasar a Newton como un discípulo de Leibniz y, por supuesto, los ingleses no lo consintieron y acusaron formalmente de plagio a Leibniz, formándose un tremendo lío que todavía dura. Y nuestra Helena, en medio de todo...

 

 

Solución de Johann Bernoulli

 

A continuación vamos a analizar, sin entrar en muchos detalles,  la demostración dada por Johann Bernoulli, al encontrarse en ella reunidas una maravillosa combinación de belleza matemática y  una magnífica intuición física.

 

 

Bernoulli conocía la ley de refracción de la luz (Ley de Snell), que indicaba que durante el proceso de refracción de la luz entre diferentes medios la razón entre los senos de los ángulos formados se mantiene constante. Este principio, justificado por Fermat en su principio del tiempo mínimo, señala que la razón entre los senos es equivalente a la razón entre la velocidad de la luz en los diferentes medios; es decir,

 

 

 

También Bernoulli conocía que la velocidad de caída de un cuerpo es proporcional a la raíz cuadrada de la distancia desde donde cae (Ley de Galileo). Así, la velocidad tras  metros de caída es .

 

Asumiendo ahora que el plano vertical está compuesto por capas de grosor infinitesimal con densidades variables, Bernoulli identifica el problema de la curva de mínimo tiempo de descenso con el problema equivalente de encontrar la trayectoria que seguiría un rayo de luz con dirección cambiante al pasar de una capa a otra aplicando la ley de Snell (Figura 11). Infinitesimalmente, estamos diciendo que la curva buscada verificará que, en todo punto, el seno del ángulo entre la tangente a la curva y el eje vertical será proporcional a la velocidad. Matemáticamente,

 

y así

 

lo que lleva finalmente a una ecuación diferencial: , cuya solución es la cicloide.

 

 

Basta de observar. ¡También queremos optimizar nosotros!

 

En esta sección nos centraremos más en detalle en técnicas matemáticas que nos permiten acercarnos a lo más "beneficioso" para nosotros: aquello que nos permita llegar en mínimo tiempo, nos resulte más barato, consuma menos combustible, más saludable... En este caso elegiremos entre los controles disponibles admisibles (si éstos existen) aquél o aquéllos que minimicen o maximicen una cierta función (o funcional) de coste. En definitiva, debemos utilizar el control que consideremos más óptimo. Aquí nos detendremos en algunos ejemplos sencillos de aplicación en ámbitos muy diferentes: ecología, medicina, robótica, control de un vehículo lunar, economía... para, de este modo, señalar la omnipresencia de la teoría del control en todos los ámbitos de la ciencia.

 

Leibniz utilizó la palabra óptimo basándose en la palabra latina "optimus", que significa "lo mejor". La palabra latina deriva del nombre de la diosa romana Ops, diosa de la abundancia agrícola (de su nombre se deriva la palabra opulencia, operaciones, operador...). La teoría del control óptimo surgió ante la dificultad que se encontró para aplicar el cálculo de variaciones tradicional cuando los controles están restringidos a tomar valores en un cierto conjunto (incluso cerrado) y se les permite ser funciones continuas a trozos. La culminación de la nueva teoría la lograron Pontryaguin y sus colaboradores a finales de los años cincuenta del siglo XX.

 

Los elementos que intervienen en la descripción formal de un problema de control son:

• El tiempo. Medido continuamente en los modelos que vamos a estudiar. Se suele definir en un intervalo que abarca desde un tiempo inicial  hasta un tiempo final  no siempre conocido.


• Las variables de estado. Son  números reales que caracterizan el estado del sistema en el intervalo temporal:


.


• Las variables de control o inputs. Son  números reales que caracterizan las elecciones o decisiones que se pueden hacer y llevan el estado desde una condición inicial a una condición final:


.


• Las variables observables u outputs. Frecuentemente, no van a ser conocidas las variables de estado sino ciertas relaciones entre ellas y las variables de control:

.


• Ecuaciones del sistema de control. Son un conjunto de  ecuaciones diferenciales que caracterizan la evolución en el tiempo (trayectoria) de las variables de estado:


  para cada  .



• Y, un funcional que hay que minimizar o maximizar entre todas las trayectorias admisibles (aquellas que verifican el sistema de ecuaciones anteriores) fijados un tiempo inicial  y otro final :



 ó  .

 

 

Algunos ejemplos                  

 

Llegada óptima a una posición fijada

 

En el proceso de fabricación de microchips es frecuente encontrarse con el problema de llevar un objeto diminuto de una posición a otra. Obviamente, esto no puede hacerse con las manos ni con herramientas usuales; es necesario utilizar pequeños chorros de aire, campos magnéticos, eléctricos...

 

Consideremos el problema de llevar un objeto en una línea (eje de abscisas , por ejemplo). Como sabemos el estado del sistema está determinado por la posición y la velocidad del objeto, por eso introducimos una nueva variable  representando la velocidad;  constituyen las variables del sistema. La fuerza es la magnitud controlable y la designaremos por la variable . Como función de coste consideramos el problema de minimizar el tiempo (también podríamos considerar el gasto energético). La formulación matemática de este problema es la siguiente:

 

Las ecuaciones de estado ligando las variables de estado con los controles son:

 

Para que el problema sea realista supongamos que la variable de control está acotada entre  y :

 

El tiempo inicial puede ser 0 y el tiempo de llegada  debe ser minimizado:

 

con  El coste a minimizar es

 

 

Tratamiento de la diabetes

 

De un modo simplificado, la cantidad de glucosa en la sangre es controlada por la presencia de insulina producida por el páncreas. La insulina hace que el exceso de glucosa se deposite en el hígado. Tras la ingestión de glucosa en la comida, el paciente sano  aumenta el nivel de insulina en la sangre. La insulina degenera tras un proceso metabólico y, por tanto, es necesario producir más cantidad. Una falta de respuesta adecuada del páncreas a las necesidades de insulina en la sangre puede provocar consecuencias fatales. Si el mecanismo natural falla es necesario inyectar ciertas cantidades de insulina en el flujo sanguíneo. La formulación matemática del problema es la siguiente:

 

 

 

 

Aterrizaje en la Luna

 

La teoría de control y control óptimo se usó extensivamente en la planificación del aterrizaje de un módulo espacial en la superficie de la Luna en las misiones  realizadas en 1966. En este caso, en vez de minimizar el tiempo es más importante encontrar la manera de minimizar el gasto de combustible. Por supuesto, se quiere realizar un aterrizaje "suave" en la superficie del satélite; es decir, se desea llegar a la superficie con velocidad cero.

 

 

 

Conclusión

 

Con este breve paseo matemático por el concepto de optimalidad se ha pretendido acercar al lector la belleza de estos problemas y su importancia, tanto histórica como por sus aplicaciones, no sólo en las matemáticas sino en todas las ciencias. Por supuesto, para una aproximación con más rigor se recomienda un nuevo paseo por la bibliografía reseñada.

 

 

Referencias

 

M. de Guzmán: Construcciones geométricas con materiales diversos,

http://usuarios.bitmailer.com/edeguzman/GeometLab/indice.htm

S. Hildebrandt, A. Tromba: Mathématiques et formes optimales. Pour la Science, Berlin, 1986.

L.M. Hocking: Optimal control: An introduction to the theory with applications. Clarendon Press, Oxford, 2001.

D.G. Hull: Optimal control theory for applications. Mechanical Engineering Series, Springer-Verlag, Berlin, 2003.

P. Kunkel: Whistler Alley Mathematics, http://whistleralley.com/math.htm

P.J. Nahim: When least is best. Princeton University Press, Princeton, 2004.

C.R. Nave: HyperPhysics, http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hph.html

C. Sánchez Fernández, C. Valdés Castro: De los Bernoulli a los Bourbaki, una historia del arte y la ciencia del cálculo. Nivola, Madrid, 2004.

Differential Geometry web site in memory of Professor Alfred Gray,

 http://math.cl.uh.edu/~gray

La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española,

 http://www.rsme.es/gacetadigital

Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles, http://www.cut-the-knot.org

The MacTutor History of Mathematics archive,

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history

Mathworld, http://mathworld.wolfram.com