Dos jóvenes matemáticos españoles resuelven un problema planteado por John Nash
Escrito por Redacción Matematicalia   
martes, 15 de marzo de 2011
Image DOS JÓVENES MATEMÁTICOS ESPAÑOLES RESUELVEN UN PROBLEMA PLANTEADO POR JOHN NASH EN LOS AÑOS SESENTA. Las técnicas empleadas sorprenden por su sencillez y por su novedoso enfoque.

Madrid, 14 de marzo.- El famoso matemático John Nash, cuya vida ha inspirado la película Una mente maravillosa, enunció a mediados de los años sesenta –durante uno de los periodos en que su brillantez matemática dejaba en segundo plano a su enfermedad mental– una conjetura relacionada con un concepto que los matemáticos llaman ‘singularidad’. Ahora, dos jóvenes matemáticos españoles, Javier Fernández de Bobadilla y María Pe Pereira, la han resuelto. Su trabajo está siendo toda una sorpresa para los especialistas en el problema de Nash. Fernández de Bobadilla y Pe Pereira han demostrado la conjetura con un abordaje muy novedoso y en sólo tres años de trabajo.

“Lo importante en este caso ha sido dar con la idea”, explica Fernández de Bobadilla, investigador del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en Madrid. “Hemos resuelto el problema de Nash con técnicas sorprendentemente sencillas, casi elementales, aunque por supuesto nos basamos en desarrollos previos de otros investigadores”.

Él y su colaboradora han publicado su trabajo hace unas semanas en internet y ya han tenido ocasión de exponerlo ante especialistas del tema. Como es habitual en matemáticas, la publicación en revistas de prestigio solo se producirá tras una revisión cuidadosa por investigadores anónimos, que puede prolongarse más de un año.

El problema de Nash es de matemáticas ‘puras’, es decir, no tiene aplicaciones fuera de la propia matemática. Al menos, no a corto plazo: “Ahora entendemos algo importante que antes no entendíamos, y eso acabará teniendo aplicaciones”, dice Fernández de Bobadilla. Pero para este investigador de 38 años, receptor de una de las prestigiosas y escasas becas del Consejo Europeo de Investigación, el avance del conocimiento es un fin en sí mismo: “Un matemático lanza una conjetura cuando intuye que algo es cierto pero no lo puede demostrar; el esfuerzo por demostrar las conjeturas hace avanzar las matemáticas, y las matemáticas no son sino la forma más rigurosa de pensamiento”.

El problema de Nash es de matemáticas ‘puras’, es decir, no tiene aplicaciones fuera de la propia matemática. Al menos, no a corto plazo: “Ahora entendemos algo importante que antes no entendíamos, y eso acabará teniendo aplicaciones”, dice Fernández de Bobadilla. Pero para este investigador de 38 años, receptor de una de las prestigiosas y escasas becas del Consejo Europeo de Investigación, el avance del conocimiento es un fin en sí mismo: “Un matemático lanza una conjetura cuando intuye que algo es cierto pero no lo puede demostrar; el esfuerzo por demostrar las conjeturas hace avanzar las matemáticas, y las matemáticas no son sino la forma más rigurosa de pensamiento”.

METERSE EN UNA ‘SINGULARIDAD’

¿Qué fue lo que Nash conjeturó a principios de los años sesenta pero no pudo demostrar? La intuición de este matemático, premio Nobel de Economía en 1994 y que a sus 82 años sigue en activo en la Universidad de Princeton, tiene que ver con la comprensión de las ‘singularidades’, un concepto matemático que sí se percibe en el mundo físico. Los fenómenos en que aparecen cambios instantáneos de comportamiento tienen singularidades: la formación de tornados en la atmósfera, cuando un metal se rompe al ser sometido a temperaturas muy altas o cuando el espacio-tiempo se curva tanto que se forma un agujero negro.

Pero el tipo de singularidades de las que trata el problema de Nash proceden de la geometría y se visualizan con un ejemplo más modesto: si se retuerce completamente un cilindro, el punto entre los dos conos resultantes es una singularidad. Y es que todas las singularidades se pueden imaginar a partir de un objeto liso en que una parte se comprime dando lugar a la singularidad –en el ejemplo anterior, una de las circunferencias que rodea al cilindro se estaría comprimiendo en el vértice de los conos-. Este conjunto que se comprime o colapsa es lo que los matemáticos llaman lugar excepcional.

La pregunta es: ¿Qué puede llegar a saberse de esa singularidad? ¿Sería posible, por ejemplo, hacer correr la película marcha atrás y deducir cuál es el lugar excepcional que ha sido comprimido para generarla? Los matemáticos, y en concreto los llamados singularistas, investigan intensamente en estas cuestiones desde la primera mitad del siglo XX.

Así, los singularistas han aprendido, por ejemplo, a extraer información a partir de las posibles trayectorias de las partículas que atraviesan una singularidad –o, lo que es lo mismo, de los posibles recorridos de una canica microscópica rodando por la pared interna del cilindro retorcido–. Estas trayectorias se agrupan en familias según su comportamiento.

EL LUGAR EXCEPCIONAL Y LAS TRAYECTORIAS

Lo que propuso Nash fue que existe una determinada relación entre la forma del lugar excepcional y las familias de trayectorias que atraviesan la singularidad. Afirmó que en objetos de dos dimensiones, es decir, en superficies, hay una correspondencia perfecta entre la forma del lugar excepcional y las familias de trayectorias. Nash también sugirió estudiar esta relación en dimensiones superiores.

En 2003 el húngaro János Kollár, de la Universidad de Princeton (EEUU), y la japonesa Shihoko Ishii, del Instituto Tecnológico de Tokio, demostraron que la relación descrita por Nash no se da en singularidades de objetos de cuatro o más dimensiones.

En cambio los matemáticos españoles han confirmado que sí funciona en dos dimensiones, y por tanto Nash tenía razón. El artículo en que explican su resultado se titula simplemente Nash problem for surfaces.

“Desde el punto de vista matemático es un problema muy bonito, con un enunciado sencillo, y que además ha podido ser entendido con técnicas relativamente elementales, lo que es una suerte para un matemático”, dice María Pe Pereira, de 30 años, actualmente en el Instituto Jussieu de París con una beca postdoctoral de Caja Madrid.

RESOLVER UN PROBLEMA DE CAMINO A OTRO

El camino hasta la demostración de la conjetura parte del uso de herramientas nunca aplicadas antes a este problema, procedentes de la topología –que estudia formas atendiendo al número de agujeros o de ‘rupturas’ que presenten–. Fernández de Bobadilla trabajaba en un problema de geometría, y se le ocurrió una forma de resolverlo en el caso de que la conjetura de Nash fuera cierta. Pero él consideraba entonces “demasiado optimista” pensar en resolver el problema de Nash. Al poco tiempo, sin embargo, dio con una técnica que permitía atacarlo de modo topológico. Con esta base María Pe Pereira solucionó el problema de Nash para una clase importante de singularidades, y dio con ideas clave para que, sólo unos meses después, ambos matemáticos demostraran el caso general.

Ahora que sabe que la conjetura de Nash es correcta, Fernández de Bobadilla se enfrentará otra vez al problema en que trabajaba inicialmente. Si efectivamente lo resuelve será casi como matar dos pájaros de un tiro, o como emprender la búsqueda de un tesoro y encontrarse otro inesperado –y puede que mayor– por el camino.

Más información:

Javier Fernández de Bobadilla, Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT): Esta dirección de correo electrónico está protegida contra los robots de spam, necesita tener Javascript activado para poder verla . 608139297

María Pe Pereira, Instituto Jussieu de París: Esta dirección de correo electrónico está protegida contra los robots de spam, necesita tener Javascript activado para poder verla .

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