Recibido: miércoles, 24 mayo 2006
El arte de multiplicar naranjas
César Luis García
Departamento de Matemáticas
Instituto Tecnológico Autónomo de México (Río Hondo, México, D.F.)
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Tomemos una fresca y jugosa naranja. Con un buen cuchillo cortemos a la naranja en cinco partes. Si cortaste las mismas partes que yo entonces te será muy fácil reacomodarlas sin dejar espacios ni sobreponerlas y formar... ¡dos naranjas idénticas a la original! ¿No? Bueno, ¿qué tal si ahora cortamos una naranja en, digamos, cuarenta partes y con éstas te digo que puedes armar una naranja tan grande como el Sol? –Imposible– dirás; pero no, las limitaciones son meramente técnicas y de habilidad para cortar, porque matemáticamente... ¡sí es posible hacerlo! Este es esencialmente el contenido de un teorema de Stefan Banach (1892-1945) y Alfred Tarski (1902-1983), también conocido como la paradoja de Banach-Tarski.
Para explicar un poco qué tipo de partes de naranja debemos cortar, permíteme unas palabras sobre el arte de medir.
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Stefan Banach (i) y Alfred Tarski [M] |
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Medir es
una actividad inherente a la naturaleza humana. No hay duda de que casi
cualquier actividad del ser humano puede verse como una acción de medir, pues
medir es comparar, y comparamos a cada instante. Cuando uno pasa de medir
longitudes de caminos, áreas de parcelas o volúmenes de esferas, a tratar de
asignar longitud, área o volumen a objetos que sean más caprichosos en forma y
descripción, surge inmediatamente el siguiente problema: definir una buena
noción de medida de longitud, área o volumen para tales objetos. El espacio
ambiente donde trataremos de medir longitud es la recta real, ,
área en el plano,
, y volumen en
.
El problema de medir
Discutamos,
para empezar, el caso de medir longitudes. ¿Cuál debería ser una buena noción de
medida de longitud en ?
En
principio, si denota la familia de subconjuntos de los números
reales, una medida de longitud será
una función
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(1) |
Es decir,
una función que a cada subconjunto de (2) Nota que
en el caso particular en que La
longitud de un conjunto no debe variar si trasladamos al conjunto o si lo reflejamos
con respecto al origen, es decir, si (3) ¿Qué otra
propiedad pedir para (4) Usualmente
se dice que (5) Y diríamos
que Muy bien,
pero, ¿será posible encontrar una buena medida de longitud ¿Qué dice
el axioma de elección? Dice que si tienes
una colección de conjuntos no vacíos entonces puedes elegir simultáneamente un
elemento de cada conjunto. Si
asumimos el axioma de elección, entonces no es posible encontrar una buena
medida de longitud, es decir, una ¿Cuál
debe ser el siguiente paso si no queremos tirar la toalla? Bueno, como sí
queremos una medida de longitud, lo que procede es tratar de debilitar alguna de
las condiciones (1), (2), (3) y (5) con la esperanza de obtener resultados positivos.
Podríamos comenzar cambiando la Debemos
enfatizar que (5) es una propiedad muy deseable para (6) Malas
noticias: la primera igualdad es equivalente a la Si se
cambia la condición de Si
queremos mantener la Cambiar
el dominio de Para
cerrar esta sección comentemos un poco sobre los análogos para medidas de área
y de volumen o, en general, hipervolumen (en Si sólo
se pide que Si se restringe el dominio de De regreso a Banach-Tarski La
paradoja de Banach-Tarski es un hecho sorprendente que contradice a todas luces
nuestra intuición, específicamente el principio de conservación de volumen: ¿cómo,
si no, haríamos un rompecabezas usando una naranja para re-ensamblar estas
piezas en una esfera sólida tan grande como el Sol? Ante la evidencia de que
hay conjuntos que no pueden tener volumen, las partes en las que dividimos a la
naranja deberán ser necesariamente conjuntos no-medibles, y la habilidad para
dividir a una naranja en conjuntos no-medibles descansa en el axioma de elección. Para el
lector intrigado sobre los detalles de la elaboración misma de los
rompecabezas, el artículo de Karl Stromberg [S]
ofrece un argumento relativamente fácil que dice cómo dividir una naranja en cuarenta partes (el número de piezas no es óptimo, se sabe que puede ser más pequeño)
para que un re-ensamblado de éstas produzca una naranja tan grande como se
quiera. Para duplicar una naranja basta con cortarla en cinco piezas, y quizá
la mejor y más divertida exposición de ello sea el artículo de Robert
French [F]. Reconocimientos Este
trabajo ha sido apoyado por la Asociación Mexicana de Cultura, A.C. Referencias [BN] G. Bachman, L. Narici: Functional
Analysis. Academic Press, New York, 1966. [F] R.M. French: The
Banach-Tarski theorem. Mathematical Intelligencer 10, no. 4 (1988), 21–28. [M] The MacTutor History of Mathematics archive, http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history. [R] H.L. Royden: Real
Analysis (3ª. ed.). Macmillan, New York, 1998. [S] K. Stromberg: The
Banach-Tarski paradox. American Mathematical Monthly 86, no. 3 (1979), 151–161 [Disponible en JSTOR: http://www.jstor.org]. [1] El teorema de Hahn-Banach, por cierto, también depende del axioma de
elección. Sobre el autor César Luis García es Profesor Titular del Departamento
de Matemáticas del Instituto Tecnológico Autónomo de México (ITAM). Especialista en
Análisis Funcional (Geometría de Espacios de Banach) se doctoró en la
Universidad de Texas A&M bajo la dirección de William B. Johnson. Es miembro
del Sistema Nacional de Investigadores del Consejo Nacional de Ciencia y
Tecnología de México. Ha escrito como autor o coautor diversos artículos de
investigación y divulgación. le asocie un valor no negativo (su longitud). Además,
si
es un intervalo de la forma
,
,
,
,
con
,
la función
debe asociarle el valor que nuestra experiencia
dice debe tener, es decir,
.
Para intervalos no acotados de la forma
,
,
,
,
la longitud debe ser ciertamente infinita. En símbolos:
el intervalo
es el conjunto vacío y su longitud debe ser
cero, y en el caso de un intervalo
la longitud del conjunto
es cero.
y
entonces
?
Bueno, es natural pedir que si dos conjuntos no se intersecan entonces la
longitud de su unión sea la suma de las longitudes de los conjuntos. En general
diríamos que si
son subconjuntos de
tales que
cuando
, entonces
es finitamente
aditiva si (4) se cumple. Pero, ¿qué longitud asociaríamos a la unión de
los siguientes intervalos:
,
,
,
,
,...?
Notemos que los intervalos
son disjuntos dos a dos y la suma de sus
longitudes es la serie geométrica
, cuya
suma es 2. Entonces lo natural sería que la unión de los intervalos
tuviese
longitud 2. Así, si
es una sucesión de subconjuntos de
tales que
cuando
, entonces
es
–aditiva (se lee sigma-aditiva) si (5) se cumple. Las
propiedades (1)...(3) serían obligadas para una buena noción de
medida. Pero tenemos una disyuntiva: ¿pedimos que se cumpla la propiedad (4), o
la (5)? Claramente, la propiedad (5) implica la (4). Definamos entonces una
buena medida de longitud como aquella que satisface (1), (2), (3) y (5).
?
La respuesta no es en absoluto trivial y depende del axioma de elección. El axioma
de elección es un axioma de la teoría de conjuntos para el que hay dos
posibilidades: o lo aceptas o no lo aceptas. Las posibilidades son estas porque
se ha demostrado que este axioma no es falso ni verdadero, sino independiente de
los otros axiomas de la teoría (como en el caso del quinto postulado de
Euclides sobre las líneas paralelas). Muchos teoremas fundamentales de la matemática
moderna dependen del axioma de elección, y nuestro problema de encontrar una
buena medida de longitud es uno de ellos. Existe, por otro lado, una corriente matemática
(igual que como diríamos hay una corriente filosófica) que procura obtener
teoremas sin apelar al axioma de elección: el constructivismo.
que satisfaga (1), (2), (3) y (5) ¿Por qué? Porque
Giuseppe Vitali (1875–1932) mostró que se puede usar el axioma de elección
para exhibir un conjunto al que no se le puede asignar longitud. La construcción
del ejemplo de Vitali no es extremadamente complicada, pero requiere de cierto
grado de entrenamiento en matemáticas. Una construcción puede consultarse, por
ejemplo, en [R, pp. 64–66].
–aditividad (5) por la aditividad finita (4),
que a priori es una condición más débil.
: ¿cómo, si no, calcularíamos la medida de la unión
de intervalos disjuntos que vimos anteriormente? ¿Por aproximación usando (4)? Es decir, ¿será posible que
–aditividad de
.
Es más, una de las razones importantes para tener
–aditividad es precisamente para gozar de
propiedades de “intercambio de límite” como en la primera igualdad de (6).
–aditividad (5) por la de aditividad finita
(4), Banach comprobó que sí es posible obtener una medida de longitud
que también satisfaga (1), (2), (3), y de hecho
esta
no es única. Una demostración muy elegante de
la existencia de
en este caso se puede hacer vía el famosísimo
teorema de extensión de Hans Hahn (1879-1934) y Banach[1] [BN, pp. 188-194]. Sin embargo, ya mostramos que esta
no es del todo adecuada para nuestros fines.
–aditividad de
, ¿qué otra condición de entre (1), (2), (3) podríamos
debilitar y obtener una medida de longitud razonable? Las propiedades (2), (3)
son verdaderamente deseables; aún desde el punto de vista de nuestra
experiencia cotidiana, son propiedades naturales que debemos conservar. Por eliminación nos queda solamente por cambiar (1), pero ¿qué le cambiamos? Pues aquí sí que no hay otra: ¡el dominio de
!
es permitir que haya subconjuntos de
cuya longitud no podremos calcular. Pero hay buenas noticias: Henri Lebesgue (1875-1941) formuló en 1901
una teoría de la medida en donde es posible definir una medida de longitud
(la medida de Lebesgue) invariante bajo traslaciones y reflexiones,
–aditiva y que asocia a cada intervalo su
longitud. Así, aun cuando tenemos que padecer conjuntos no medibles, la familia
de conjuntos a los que sí podemos asignarles longitud –los medibles Lebesgue– es muy rica (tiene tantos elementos como
subconjuntos de los números reales) y contiene, en particular, a los
intervalos. Para ser justos diremos que también habrá tantos subconjuntos no-medibles Lebesgue como subconjuntos de los reales, aunque para exhibir un no-medible Lebesgue es obligado usar el axioma de elección.
). Si
es la familia de subconjuntos de
,
buscamos una función
que sea invariante bajo transformaciones rígidas
(en
y
serían, por ejemplo, rotaciones o traslaciones
o combinaciones de ambas), que a cada producto cartesiano de intervalos
le asocie su hipervolumen, es decir, el valor
(en
correspondería al área de rectángulos, mientras
que en
sería el volumen de cajas rectangulares), y
por último que sea finitamente aditiva, o
–aditiva.
sea finitamente aditiva entonces para
(el caso del plano) Banach demostró también la
existencia (no única) de
.
Por otro lado, Felix Hausdorff (1868-1942) probó que no puede haber una tal
para
.
,
como hicimos en el caso de longitudes, y se pide que
sea
–aditiva e invariante bajo transformaciones rígidas,
entonces se muestra que existe una medida de Lebesgue para
que asocia a cada “rectángulo” su volumen
–dimensional.
