Nueva demostración del último teorema de Fermat
Escrito por Redacción Matematicalia   
jueves, 12 de mayo de 2005

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NUEVA DEMOSTRACION DEL ULTIMO TEOREMA DE FERMAT. Los matemáticos Chandrashekhar Khare (Universidad de Utah) y Jean-Pierre Wintenberger (Universidad de Estrasburgo), e, independientemente, el italo-argentino Luis Víctor Dieulefait (Universidad de Barcelona), han resuelto parcialmente un importante problema abierto en teoría algebraica de números: la conjetura de Serre, proporcionando de este modo una nueva demostración del último teorema de Fermat, quizá más sencilla que la obtenida en 1995 por Andrew Wiles con la colaboración de Richard Taylor.

Jean-Pierre Serre

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En un trabajo expuesto en el servidor electrónico Mathematics Arxiv el pasado mes de abril y posteriormente enviado para publicación a una prestigiosa revista especializada, Khare ha establecido el denominado caso de nivel uno de la conjetura de Serre. Una colaboración anterior de Khare con el francés Wintenberger, de diciembre de 2004, traza una estrategia general en dos partes para probar en su totalidad dicha conjetura, siendo el resultado al que nos referimos la primera de ellas.

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Chandrashekhar Khare

Luis Dieulefait

De hecho, en este artículo de Khare y Wintenberger ya se establecen algunos casos de la conjetura de Serre, en particular el de nivel 2 y peso 2 que, como es bien conocido por los expertos, entraña una nueva demostración del último teorema de Fermat. Un resultado similar ha sido obtenido, independientemente, por Dieulefait, investigador Ramón y Cajal integrado en el grupo de teoría de números de la Universidad de Barcelona que dirige Pilar Bayer.

Tanto en los casos resueltos como en la estrategia futura, dos herramientas clave son la prueba de casos de la conjetura de Fontaine-Mazur dada por R. Taylor en 2002, y las demostraciones obtenidas por L. Dieulefait en 2003 de la conjetura sobre la existencia de familias de representaciones de Galois y de algunos casos de la conjetura fuerte de Fontaine-Mazur (análogo p-ádico de la conjetura de Serre).

Los intentos de demostrar la conjetura de Serre (formulada en 1972 por el medalla Fields y premio Abel Jean-Pierre Serre) han constituido la fuerza motriz de muchos desarrollos recientes en teoría de números. La prueba completa de la conjetura de Serre supondrá un impulso decisivo para el denominado Programa Langlands. Este programa es uno de los temas centrales de investigación actual en el marco de dicha teoría y consiste en una serie de conjeturas sobre las relaciones entre ésta, la geometría y el álgebra, cuyo origen se remonta a una carta remitida en 1967 por Robert Langlands a André Weil, en la que propone estudiar ciertas similitudes básicas entre la teoría de grupos de Lie y las simetrías en teoría de números. Lo que han hecho tanto Wiles como Khare, Wintenberger y Dieulefait ha sido establecer parte de estas conjeturas, que a su vez implican el último teorema de Fermat.

Los resultados obtenidos por estos tres investigadores han sorprendido gratamente a la comunidad matemática internacional, que no esperaba una solución al problema en tan breve plazo de tiempo. El mismo Serre ha declarado que se encuentra "feliz y excitado" al respecto.

Más información: La explicación de Luis Dieulefait de su resultado [nota para Matematicalia].