Sociedad
Escrito por Marta Macho Stadler   
lunes, 06 de marzo de 2006
La paradoja en la ciencia y el arte III

Recibido: miércoles, 06 abril 2005




La paradoja en la ciencia y el arte III (*)

 

Paradojas de la predicción, de la vaguedad, semánticas y epigramáticas

 

Marta Macho Stadler

Departamento de Matemáticas

Universidad del País Vasco-Euskal Herriko Unibertsitatea

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página web: http://www.ehu.es/~mtwmastm

 

En la revista Scientific American 217 (pág. 50-56, 1967), el biólogo y matemático ruso Anatol Rapoport (1911- ), experto en teoría de la comunicación y de juegos, escribe en el artículo titulado Escape from paradox:

Paradoxes have played a dramatic part in intellectual history, often foreshadowing revolutionary developments in science, mathematics, and logic. Whenever, in any discipline, we discover a problem that cannot be solved within the conceptual framework that supposedly should apply, we experience shock. The shock may compel us to discard the old framework and adopt a new one. It is to this process of intellectual molting that we owe the birth of many of the major ideas in mathematics and science.

 

En este texto se dan algunos ejemplos de cómo las paradojas aparecen tanto en el ámbito de la ciencia como del arte. La lista no es exhaustiva, es tan sólo una pequeña (y parcial) muestra, que pretende estimular la curiosidad del lector.

 

El texto está organizado en once apartados, dedicado cada uno de ellos a un tipo diferente de paradoja. Se incluye también una extensa bibliografía (aunque no completa), y en cada una de las secciones indicadas se dan diversos enlaces que pretenden poder continuar la lectura iniciada.

 

 

En esta sección:

 

1. Paradojas de la predicción: la paradoja del condenado

 

2. Paradojas de la vaguedad: paradojas tipo Sorites

 

3. Paradojas semánticas: la paradoja del mentiroso

  

4. Paradojas epigramáticas

 

 

En Ciencia:

 

5. Paradojas físicas: la paradoja de Fermi

 

6. Paradojas del infinito: algunas paradojas de Zenón

 

7. Paradojas lógicas: la paradoja de Russell

 

8. Paradojas topológicas: la banda de Möbius y la botella de Klein

  

 

En Cultura:

 

9. Paradojas visuales

 

10. Paradojas de la teoría de la probabilidad: la paradoja de San Petersburgo

 

11. Paradojas de la confirmación: las paradojas de Hempel y Goodman

 


 

1. Paradojas de la predicción: la paradoja del condenado

 

 

En la Edad Media, un rey de reconocida sinceridad, pronuncia su sentencia:

 

Una mañana de este mes serás ejecutado, pero no lo sabrás hasta esa misma mañana, de modo que cada noche te acostarás con la duda, que presiento terrible, de si esa será tu última sobre la Tierra.

   

En la soledad de su celda, el reo argumenta:

 

Si el mes tiene 30 días, es evidente que no podré ser ajusticiado el día 30, ya que el 29 por la noche sabría que a la mañana siguiente habría de morir. Así que el último día posible para cumplir la sentencia es el 29. Pero entonces, el 28 por la noche tendré la certeza de que por la mañana seré ejecutado...

   

Continuando de este modo, el prisionero concluye triunfalmente que la condena es de ejecución imposible, y comienza a dormir aliviado, aguardando que transcurra el mes para pedir su libertad. Sin embargo, sorpresa, un día cualquiera, por ejemplo el fatídico día 13 (era martes), el verdugo, con el hacha afilada en la mano, despierta al reo... que instantes más tarde es decapitado. La sentencia se cumple literalmente.

 

¿Dónde ha fallado el razonamiento del condenado?

 

Una solución puede pasar por la noción fundamental de que no es lo mismo el día 30, más el día 29, más el día 28, etc., que el mes. Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adición de sus partes. El análisis individual, día por día, por parte del prisionero es irreprochable. El defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto este mes las mismas y exclusivas cualidades que poseían sus partes (cada día), no advirtiendo que el conjunto mes ha incorporado nuevas características, como por ejemplo la de contener días sorpresa.    

 

Hacia el siglo III, el filósofo chino Hui Tzu afirmaba:

 

Un caballo bayo y una vaca parda son tres:

el caballo, la vaca, y el conjunto de caballo y vaca.

 

El razonamiento no es trivial, y es la esencia de la paradoja del condenado.

 

Hay varias versiones de esta paradoja (exámenes sorpresa, etc.), que pueden verse en

 

http://en.wikipedia.org/wiki/Unexpected_hanging_paradox

 

o en

http://www-math.mit.edu/~tchow/unexpected.pdf.

 

 

2. Paradojas de la vaguedad: paradojas tipo Sorites

 

Sorites es la palabra griega para montón o pila. Las paradojas de tipo sorites, atribuidas al lógico Eubulides de Mileto, son una serie de argumentos paradójicos que se derivan de los límites indeterminados de aplicación de los predicados involucrados.

 

Veamos un ejemplo: supongamos que tenemos un montón de arena: si se quita un grano de arena, sigue siendo un montón. De otra manera, si dos familias de granos de arena difieren en un grano, o bien los dos son montones o ninguno de los dos los son. Esta aparentemente obvia y no controvertida suposición da lugar a la conclusión paradójica de que todos los conjuntos de granos de arena, incluso las colecciones formadas por único un grano, son montones. El problema aquí es que la palabra clave montón es una palabra vaga.

 

Otros ejemplos de estas paradojas son:

  • el hombre con capucha: dices que conoces a tu hermano, este hombre con la cabeza cubierta es tu hermano y no le conoces...
  • el hombre calvo: ¿describirías a un hombre con un pelo en la cabeza como calvo?  

    

Algunas respuestas a esta paradoja son:

  • el acercamiento a un lenguaje ideal, cuyo atributo clave es su precisión: la vaguedad del lenguaje natural es un defecto a eliminar (propuesta por Frege y Russell);
  • la utilización de lógicas multivaluadas (no clásicas), como la lógica difusa de Goguen y Zadeh (1969), que sustituye a la usual (dos-valuada) y que reconoce para un objeto los grados de verdad;
  • aceptar la paradoja: ninguna cantidad de granos de arena hace un montón –o en otra versión– ¡la calvicie no existe!

 

 

3. Paradojas semánticas: la paradoja del mentiroso

 

Fijémonos en la sentencia

L: Lo que estoy diciendo ahora es falso.

 

 

 

 

Liar significa mentiroso en inglés

 

 

Si L es verdad, es falsa, y si es falsa,  es verdad. ¿Es esto paradójico? Tenemos dos afirmaciones condicionales:

1)       Si L es verdad, entonces es falsa.

2)       Si L es falsa, entonces es verdad.

 

Asumiendo que cuando algo es falso no es verdad, y que todo lo que es verdad no es falso, 1) y 2) pueden escribirse de la siguiente manera:

1*) Si L es cierta, entonces es no cierta.

      2*) Si L es falsa, entonces es no falsa.

 

Existe un principio de razonamiento llamado consequentia mirabilis, que dice que si una sentencia implica su propia negación, se puede inferir su falsedad.

 

Ambas 1*) y 2*) dan argumentos para este principio: 1*) asegura que si L es cierto, implica su negación,  luego el principio nos lleva a inferir que L es no cierto; y de manera  paralela, 2*) nos lleva a concluir que L no es falso. Así, un razonamiento estándar garantiza que L es no cierto y no falso. Luego L no es ni cierto ni falso.

 

¿Es esto paradójico? No, excepto si se admite un principio de bivalencia que afirma, de manera esquemática, que toda sentencia es cierta o falsa.

 

¿Es todo principio de bivalencia cierto? Las preguntas se expresan en sentencias, pero no toda pregunta es o bien cierta o bien falsa. Supongamos entonces que restringimos el principio a sentencias declarativas. Pero aún así hay contraejemplos... Consideremos la sentencia:

 

Has dejado de fumar.

 

Si tú nunca has fumado, la sentencia es ciertamente falsa, pero decir que no es cierta sugiere que sigues fumando... El principio de bivalencia se alcanza debido a la creencia de que toda representación no defectuosa de cómo están las cosas en el mundo, debe ser o bien correcta o incorrecta, verdadera o falsa. 

 

Una solución a esta paradoja es la famosa jerarquía de Tarski: el concepto ordinario de verdad es incoherente y  debe ser rechazado y reemplazado por una serie de conceptos de verdad, jerárquicamente ordenados y cada uno de ellos expresado en un lenguaje diferente de cualquier lenguaje natural (es decir, de lenguajes que evolucionen de manera natural).  

 

Mucha gente ha pedido algo de menos radical, una respuesta que preserve más de nuestro pensamiento y lenguaje ordinario. Una de estas respuestas menos radicales se basa en la noción de jerarquía de Tarski, pero afirma que esto está de hecho implícito en nuestro actual uso de verdad. En contra de Tarski que afirma que el lenguaje ordinario es irremediablemente defectuoso, esta alternativa afirma que los defectos son una mera apariencia: la realidad subyacente es que usamos ya una jerarquía tipo Tarski de los conceptos de verdad.

 

 

4. Paradojas epigramáticas

 

Los epigramas primitivos, como indica su etimología griega (epi, sobre y gramma, escritura) eran textos breves destinados a figurar como inscripción en un sepulcro, una base de estatua, etc. El epigrama literario, muy difundido en época helenística, tiene su origen en estas inscripciones y de ellas toma gran parte de las características del género: brevedad, concisión, ingenio y vivacidad expresiva. El epigrama literario, concebido para ser leído o recitado, extiende su temática y pasa a expresar la más variada gama de sentimientos; se encuentran epigramas eróticos, satíricos, costumbristas, festivos y, por supuesto, fúnebres.

 

A continuación se dan una serie de epigramas, de diferentes autores y estilos.

 

Comenzamos con tres de las paradojas epigramáticas que aparecen en los textos breves de Oscar Wilde (1854-1900):

 

Y, sin embargo, cada hombre mata lo que ama, sépanlo todos:

unos lo hacen con una mirada de odio;

otros con palabras cariñosas;

el cobarde con un beso;

¡el hombre valiente, con una espada!

 

Balada de la cárcel de Reading, 1896

 

 

- Gerardo: Supongo que se divertirá uno extraordinariamente en sociedad.

- Lord Illingworth: Formar simplemente parte de ella es insoportable. Estar excluido de ella es sencillamente una tragedia.

 

Una mujer sin importancia, 1893

 

 

...Es tonto por su parte, pues sólo hay en el mundo una cosa peor que el que hablen de uno, y es que no hablen.

 

El retrato de Dorian Gray, 1890

 

El genial fabulista canario Tomás de Iriarte (1750-1791) da la siguiente descripción de un buen epigrama:

 

A la abeja semejante,

para que cause placer,

el epigrama ha de ser

pequeño, dulce y punzante.

 

El siguiente texto se debe al colombiano Benjamín Pereira Gamba:

 

¿Crees en brujas, Garai?

Le dije a mi viejo criado.

No señor, porque es pecado;

Pero haberlas sí las hay.

 

Mariano José de Larra (1809-1837) es el autor del divertido epigrama Siempre ha gemido la prensa:

 

Siempre ha gemido la prensa;
pero hoy que le das, Talidio,
a imprimir tus obras todas,
gime al menos con motivo.

 

El texto de debajo se debe al poeta argentino Juan Cruz Varela (1794-1839):

 

“No hay mujer tan apegada,
Tan fiel, tan enamorada,
Tan tierna como la mía.”
Un amigo que le oyó,
me dijo: “Más la alabara,
Si entre él y ella pasara
Lo que pasa entra ella y yo.“

 

La mejor manera de terminar es con el conocido epigrama Saber sin estudiar, de Nicolás Fernández de Moratín (1737-1780):

 

Admiróse un portugués
de ver que en su tierna infancia
todos los niños en Francia
supiesen hablar francés.
«Arte diabólica es»,
dijo, torciendo el mostacho,
«que para hablar en gabacho
un fidalgo en Portugal
llega a viejo, y lo habla mal;
y aquí lo parla un muchacho».

  

 

Sobre la autora

Marta Macho Stadler es Doctora en Matemáticas por l'Université Claude Bernard de Lyon (Francia). Desde el año 1985 es profesora en el Departamento de Matemáticas de la Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea (UPV/EHU). Su tema de investigación se centra en la teoría de foliaciones. Ha impartido varias conferencias de divulgación en ciclos celebrados en varias universidades del estado y es coorganizadora de Un paseo por la geometría en la UPV/EHU. Miembro de las Comisiones de Cooperación Internacional y de Mujeres y Matemáticas de la RSME, es secretaria de la Comisión de Desarrollo y Cooperación del Comité Español de Matemáticas, y pertenece a los Comités Editoriales de las revistas digitales Matematicalia e IMAGEN-A.

 



(*) Este artículo está motivado por la conferencia del mismo título impartida por su autora en el Curso Interuniversitario Sociedad, Ciencia, Tecnología y Matemáticas 2005 de las Universidades de La Laguna y Las Palmas de Gran Canaria (Canarias, España).