Recibido: miércoles, 02 marzo 2005

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La matemática borrosa en economía y gestión de empresas I (*)

Jaime Gil Aluja

Departamento de Economía y Organización de Empresas

Universidad de Barcelona

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página web: http://www.fuzzyeconomics.com

  

 

De las leyes de la naturaleza a las leyes de la economía

 

Una y otra vez, un año tras otro, una generación después de otra, los investigadores que trabajan en el ámbito de la economía y gestión de empresas, han intentado encauzar sus esfuerzos hacia la búsqueda de un cuerpo científico capaz de comprender mejor, explicar más adecuadamente y tratar con rigor los fenómenos, cada vez más complejos, que pueblan el panorama de los estados, de las instituciones y de las empresas. Pretenden con ello proporcionar los cauces necesarios para hacer menos hostil la convivencia entre los miembros de nuestra sociedad y más soportables las batallas que se libran para conseguir ocupar un lugar en un mundo mejor.

 

Pero cambiar nuestro mundo exige, como paso previo, conocerlo en profundidad; descubrir, si existen, las leyes por las cuales se rige. Es necesario tomar conciencia de que nuestro minúsculo planeta es una brizna de polvo perdida en la inmensidad del universo. Desdeñar este importante aspecto conduce, inevitablemente, al despropósito investigador. La ciencia económica y, como consecuencia de ello, las ciencias que estudian la empresa, han ido pulsando, prácticamente desde sus orígenes, las miradas con que los físicos observaban el universo, con la esperanza de encontrar aquellas señales mediante las cuales, de alguna manera, se pudieran estimar los futuros escenarios en los que se desenvolvería la actividad económico-financiera de las organizaciones. Fruto de esta actitud, se ha podido comprobar que a las leyes de la naturaleza le han seguido las leyes económicas. Pero, también a los “vacíos” o “anomalías” en la naturaleza se han unido los “comportamientos anómalos” en los sistemas económicos. Y han surgido y se han agolpado en las mentes de tantos y tantos físicos las insistentes preguntas sobre el significado de la realidad y sobre la existencia del tiempo, al mismo tiempo que los economistas se interrogaban sobre la esencia de los fenómenos económico-empresariales y sobre el funcionamiento de las “fuerzas” que los provocan.

 

 

En el siglo XVI, Giordano Bruno (1548-1600) escribía que, el universo es uno, infinito e inmóvil... No tiene nada fuera de él, entendiéndose que es el todo. No tiene generación propia, ya que no existe otra cosa que pueda buscar. No es corruptible, dado que no puede tornarse en otra cosa. No puede disminuir o aumentar, puesto que es infinito. No es alterable, por no haber nada externo que le pueda afectar[1]. Esta idea, expresada así por Bruno, desteñiría el pensamiento científico occidental durante siglos y con ella cobraría intensidad la concepción mecanicista del universo.

 

Vishnú, Shiva y Brahma (s. X). Los Angeles County Museum of Art.

Pero, mientras nuestra civilización consideraba el universo como un mecanismo de relojería, pensando que las ecuaciones deterministas conducían siempre a un comportamiento regular, la filosofía oriental, y el hinduismo es un ejemplo, poseía una percepción más compleja. Así, en el pensamiento hindú el “cosmos” atraviesa tres etapas: creación (cuyo dios es Brahma), conservación (que tiene como dios Vishnú)  y destrucción (con el dios Shiva). La conservación representa el orden, la destrucción el desorden. La distinción entre orden y desorden representa dos maneras de manifestar la divinidad: benevolencia, armonía por una parte; cólera, discordia por otra. Lo que de ninguna forma significa, es la diferencia entre el bien y el mal. Los matemáticos, hoy, empiezan a considerar el orden y el desorden como dos manifestaciones diferentes de un determinismo subyacente. En otras palabras, un mismo fenómeno puede dar lugar a sistemas diferentes que proporcionan conjuntos de estados, unos “ordenados”, otros “desordenados”.

 

Jules Henry Poincaré.

Esta actitud frente al funcionamiento del universo, ha sido consecuencia de la observación de los movimientos que en él se producen y los intentos de resolver los problemas sobre ellos planteados. Ilustrativo es, en este sentido, el contenido del capítulo tercero de la memoria El problema de los tres cuerpos y las ecuaciones de la dinámica de Jules Henri Poincaré (1854-1912), en donde se esfuerza en poner de manifiesto la existencia de soluciones periódicas para las ecuaciones diferenciales. Parte del supuesto de que, en un determinado momento, un sistema se halla en un estado concreto y que en un momento posterior vuelve, de nuevo, al mismo estado. Todas las posiciones y velocidades son las mismas después que antes. Así, debe repetirse, una y otra vez, el movimiento que le ha conducido desde un estado de nuevo a sí mismo: el movimiento es periódico.

 

Para ejemplificar esta idea, los físicos recurren a la sencilla imagen de un satélite artificial para el que se desea saber si posee una órbita periódica. Así, en lugar de seguir con un telescopio toda su trayectoria alrededor de la Tierra, lo enfocan de manera que “barra” un plano que vaya de norte a sur, desde un horizonte a otro, y que esté alineado con el centro de nuestro planeta. Toman nota del lugar donde pasa por primera vez, su rapidez y su dirección. Permanecen a la espera sólo enfocando el plano. La periodicidad exige que vuelva a pasar por el mismo punto, a la misma velocidad y en la misma dirección. Actuando de esta manera, en lugar de observar todos los estados, basta con mirar unos pocos. A esta superficie se la conoce como sección de Poincaré, quien la utilizó para intentar hallar movimientos periódicos de un cuerpo pequeño sujeto a las fuerzas de otros dos cuerpos con masas grandes, los cuales no se hallan afectados por él, por ejemplo una partícula interestelar y dos planetas. Los dos cuerpos grandes se mueven formando sendas elipses alrededor de su mutuo centro de gravedad, pero el cuerpo pequeño se mueve oscilante de un lado hacia otro sin que nada pueda hacer para cambiar su rumbo. Su comportamiento es complicado y anti-intuitivo. En efecto, el sistema inicia una actividad en un estado y sigue una curva. Cuando vuelve a la sección de Poincaré pasa por otro estado, luego por otro y por otro..., y así sucesivamente. El sistema, en definitiva, atraviesa la sección de Poincaré, por una secuencia incierta de puntos. Poincaré se hallaba ante un panorama que hoy llamaríamos caótico.

 

En nuestro ámbito del pensamiento se puede señalar que el estudio del comportamiento de los sistemas económicos ha sido realizado, con frecuencia y desde una cierta perspectiva, a partir de los procesos markovianos y pseudomarkovianos[2]. En base a ellos, los investigadores han podido encontrar algunas soluciones a los problemas secuenciales, los cuales nos han llevado a considerar tres grandes grupos:

 

1.       Cuando a partir de datos ciertos y de un sistema conocido, los resultados van a converger en el límite. Se trata de sistemas ergódicos.

2.       Cuando bajo estas mismas circunstancias, el sistema  no posee una solución única conocida, sino que tiene lugar una oscilación regular de soluciones. Nos hallamos ante sistemas periódicos.

3.       Pero existen también sistemas en los cuales, por muchos periodos de tiempo que transcurran, no somos capaces de hallar regularidades, sino estados “desordenados”.

 

Nos sentimos reconfortados por la comodidad que proporciona el tratamiento de los dos primeros. Pero, en cambio, nos desconcierta la impotencia ante la falta de “normas” de comportamiento regularizables, en el último.

 

Este panorama, aún esbozado de manera grosera, puede explicar la ya señalada búsqueda de respuestas al significado de los dos elementos que subyacen en todo proceso de investigación: la realidad y el tiempo.

 

Breves consideraciones sobre la realidad y el tiempo

 

Al adentrarnos en esta senda surge la primera pregunta: ¿Son estos conceptos indisociables entre sí? Normalmente, asociamos la realidad al momento actual. El pasado ha dejado de ser y el futuro no es todavía. Parece que nuestro pensamiento se desplaza de tal manera que la incertidumbre del mañana deja de serlo para convertirse en la realidad efímera de hoy, la cual deja paso, a su vez, a la certeza del pasado.

 

Pero esta percepción vital choca frontalmente con la racionalidad con que los físicos clásicos asumen el concepto de tiempo. Para ellos, existe un “paisaje temporal” en el cual se hallan todos los acontecimientos del pasado, del presente y del futuro. El tiempo no se mueve, se mueven los objetos en el tiempo. El tiempo no transcurre. Simplemente es. El flujo del tiempo es irreal, lo que es real es el tiempo.

 

Albert Einstein (i) y Michele Besso (d), su amigo más próximo, con quien iba paseando a casa cada día desde la Oficina de Patentes. Einstein lo consideraba como “la mejor caja de resonancia de Europa” para las ideas científicas.

Resulta reveladora, a este respecto, la correspondencia sostenida los últimos años de sus respectivas vidas, entre Michele Besso y Albert Einstein[3]. Ante la insistente pregunta del primero: ¿qué es el tiempo?, ¿qué es la irreversibilidad?, el segundo le contesta: la irreversibilidad es una ilusión. Con motivo del fallecimiento de Besso, Einstein escribe una carta a la hermana e hijo de aquél que contiene las siguientes palabras: Michele se me ha adelantado en dejar este extraño mundo. Carece de importancia. Para nosotros, físicos convencidos, la distinción entre pasado, presente y futuro es sólo una ilusión, por persistente que ésta sea.

 

A pesar de tan rotundas aseveraciones, resulta difícil aceptar una naturaleza sin tiempo. Homero, en La Ilíada, coloca a Aquiles en una posición de búsqueda de algo permanente e inmutable, que sólo descubre tardíamente, al perder la vida. La obra se apoya, pues, en el problema del tiempo. Como contrapunto, en La Odisea, Odiseo puede elegir entre la eterna juventud y la inmortalidad (será siempre amante de Calipso) o el regreso a la humanidad, es decir a la vejez y a la muerte. Se decide por el tiempo y el destino humano, desdeñando la eternidad y el destino de los dioses. ¿Debemos nosotros elegir entre la concepción atemporal que presupone la alienación humana y la aceptación del tiempo que parece contravenir la racionalidad científica?

 

Busto de Homero. Museo Capitalino, Roma.

Palpita una profunda incompatibilidad entre la “razón clásica” con una visión atemporal y “nuestra propia existencia” sazonada por el tiempo.

 

No se puede negar la validez de los conceptos, pasado y futuro, aunque se sostenga la inexistencia del “flujo del tiempo”. En economía y gestión de empresas existen multitud de fenómenos irreversibles. Diríamos que son mayoría. Existe, por tanto, una asimetría de los objetos en el tiempo, aunque no una asimetría del tiempo. En este sentido, por tanto,  la asimetría es una propiedad de los objetos, no una propiedad del tiempo.

 

Para la física clásica, un reloj mide duraciones entre acontecimientos, no mide la velocidad con la que se pasa de un suceso a otro. Así, pues, el transcurso del tiempo depende de la persona que lo percibe. Se trata, entonces, de un concepto subjetivo.

 

En los estudios económicos y de gestión, el transcurso del tiempo se concibe como aquel proceso mediante el cual a medida que el reloj avanza, un instante va pasando y otro ocupa su lugar. Como reiteradamente hemos expuesto, en física, por el contrario, se acepta que son igualmente reales pasado, presente y futuro: la eternidad se halla presente en toda su infinita dimensión.

 

Si esto fuera así, nos podemos preguntar cómo ha llegado a arraigar en el subconsciente de economistas y gestores de empresas e instituciones, la idea de transcurso del tiempo. Quizás la respuesta se halle en los dos aspectos de la asimetría:

 

a)       La entropía de un sistema se halla en relación directa con la información que recibe. Las nuevas sensaciones añaden información y, por tanto, aumentan la entropía. El almacenamiento de información es un proceso unidireccional, irreversible.

b)      El principio de indeterminación de Heisenberg implica un futuro no determinista. En la mecánica cuántica, un estado, hoy, puede dar lugar a varios estados en el futuro, sin que sea posible predecir cual de ellos se hará realidad.

 

Sea como fuere, resulta muy difícil arrancar del pensamiento económico la noción de flujo temporal, aun cuando, paradójicamente, la presencia de la reversibilidad, con toda su carga de lo atemporal, ha sido una frecuente constante en las aportaciones con más permanencia en el cuerpo científico de la economía.

 

Algunos antecedentes históricos del determinismo

 

Helios en su carro (435 a.C.). Museo Británico, Londres.

Desde hace muchos siglos, la idea de atemporalidad ha ido imbuyendo las reflexiones de los pensadores, interesados en averiguar las regularidades del funcionamiento del Cosmos.

 

Inicialmente, la cosmología se hallaba impregnada de la imaginación mitológica: se concebía la Tierra sostenida por un elefante, las estrellas colgando de cuerdas que se apagaban durante el día, el dios Sol (Helios) conduciendo un carruaje a través del espacio.  A pesar de ello, los filósofos griegos fueron capaces de calcular con gran precisión los movimientos de los planetas, aun cuando desconocían las “leyes” que rigen los más elementales fenómenos de nuestro entorno.

 

Jan Vermeer: El astrónomo (1668). Museo del Louvre, París.

 

En este sentido, sabemos que Tales de Mileto (624 a.C. - 546 a.C.) pudo estimar, con un reducido margen de error, la fecha de un eclipse de Sol. Sabemos que Pitágoras introdujo las matemáticas, aun considerando el significado mágico de los números. Que Platón suponía que la Tierra era el centro del universo con unas esferas huecas girando a su alrededor con una regularidad matemática. Que Eudoxo realizó una descripción matemática en la que los planetas estaban montados sobre veintiséis esferas concéntricas, cada una de las cuales giraba alrededor de un eje sostenido por la más próxima. Que, más tarde, Apolonio de Perga (262 a.C. - 200 a.C.) ideó la teoría de los epiciclos, según la cual los planetas se movían en pequeños círculos cuyos centros giraban, a su vez, en círculos mayores. Pero el triunfo de la “matemática empírica” vino de la mano de Claudio Tolomeo (100 d.C. - 160 d.C.) con el perfeccionamiento de la concepción epicíclica, de tal manera que los epiciclos se ajustaban tanto a las observaciones reales que su sistema tuvo vigencia durante quince siglos.

  

 

Estas han sido algunas de las efemérides que han jalonado el inicio de los “conocimientos sagrados” de las leyes de la naturaleza, que describen el universo a partir de equilibrios estables. Se puede decir, pues, que el concepto de leyes de la naturaleza, bien representado por la metáfora “un mundo que funciona como un reloj”, se pierde en la noche de los tiempos y se ha hallado profundamente arraigado en el pensamiento y obras de nuestros investigadores. Tanto es así, que, casi 1.500 años después, Nicolás Copernico (1473-1543) pone de manifiesto la existencia de un gran número de epiciclos idénticos y descubre que podían ser eliminados si se consideraba que la Tierra giraba alrededor del Sol. Con ello surge la teoría heliocéntrica, reduciéndose el número de epiciclos a treinta y uno. A pesar del devenir de los siglos, la idea de leyes de la naturaleza, con su carga mecanicista, continúa omnipresente en el horizonte investigador.

 

 

Isaac Newton (1642-1727) cambió definitivamente esta percepción con su búsqueda de un código de leyes que gobernara el movimiento de un cuerpo bajo todas las combinaciones de fuerzas. Realizó su planteamiento desde una perspectiva geométrica. En efecto, en una representación gráfica, mediante un sistema de coordenadas, la variación de la velocidad de un cuerpo en relación con el tiempo adopta la forma de una curva. De manera geométrica se observa que la distancia total recorrida es igual al área comprendida debajo de la curva. Así mismo, la velocidad es igual a la pendiente de la tangente de la curva que relaciona distancia y tiempo. El problema consistía, entonces, en cómo calcular estas áreas y tangentes.

 

El propio Newton, por una parte y Gottfried Leibniz (1646-1716), por otra, dieron la solución, dividendo el tiempo en intervalos cada vez más pequeños. El área buscada era la resultante de sumar las áreas de un elevado número de estrechas bandas verticales. La pendiente de una tangente puede ser calculada considerando dos momentos del tiempo muy cercanos, haciendo que la diferencia entre ambos sea arbitrariamente muy pequeña. Sostenían que “en el límite” los errores de las sucesivas aproximaciones podían desaparecer. Estos métodos de cálculo se conocen, hoy, con las denominaciones integración  y  diferenciación. En los tres tomos de su Philosophiae Naturalis Principia Mathematica Newton redujo todo movimiento a tres leyes[6], presentadas en el primer volumen.

 

Las leyes de Newton son universales. La órbita de Júpiter y la trayectoria de una bala de cañón son dos manifestaciones de la misma ley. El universo es, de nuevo, único.

 

 

a)       La mecánica clásica considera dos formas de energía: la energía potencial  y la energía cinética. Cuando cae un cuerpo, al descender se acelera (cambia energía potencial por energía cinética). La energía total no se altera, por lo que la suma de ambas energías es siempre la misma. De nuevo, una ley venía a engrosar el acervo de la ciencia.

b)      Las coordenadas son un artificio para convertir la geometría en álgebra, asociando un conjunto de números con cada punto. Existían varios sistemas de coordenadas. Lagrange empezó suponiendo un sistema de coordenadas cualquiera, hasta hallar las ecuaciones del movimiento en una forma que no dependían del sistema de coordenadas elegido.

 

William Rowan Hamilton (1805-1865) reformula de nuevo la dinámica, estableciendo que el estado de un sistema dinámico viene dado por un conjunto de coordenadas de posición (las de Lagrange) y un conjunto de coordenadas de momento (velocidades multiplicadas por la masa). La “energía total”, definida en términos de estas posiciones y momentos, es una cantidad única, conocida hoy como hamiltoniano del sistema.

 

Así, año tras año, decenio tras decenio, siglo tras otro, las distintas ramas de la ciencia trataron sus problemas mediante leyes matemáticas. Fue a lo largo del siglo XVIII e inicios del XIX cuando se estableció la mayor parte de las más celebradas leyes de la física matemática clásica. Apareció, así, un paradigma de gran alcance: “la naturaleza es modelizable mediante ecuaciones diferenciales”.

 

Pero si la modelización de los fenómenos físicos fue el gran éxito de este periodo, no lo fue tanto la resolución de las ecuaciones de los modelos. Como acostumbra a suceder, se hizo especial hincapié en los problemas con solución, relegando aquellos para los cuales ésta no era conocida. La creencia en que el universo seguía leyes conocidas era general. Modelos que funcionan como un reloj, aceptación de un universo que funciona como un reloj. Modelos deterministas, aceptación de un universo determinista.

 

Se llega así al convencimiento de que la naturaleza obedece a un conjunto de leyes.  Las leyes, supuestamente conocidas, vienen expresadas mediante ecuaciones diferenciales. “Dado el estado de un sistema en un instante concreto, y conociendo las leyes, todo su movimiento futuro se halla determinado unívocamente”.

 

Las leyes de comportamientos globales

 

Francis Galton.

Francis Ysidro Edgeworth.

Karl Pearson.

Adolphe Quetelet.

En general, si el comportamiento detallado de los grandes sistemas no era siquiera planteable, en cambio, resultaba abordable encontrar leyes de su comportamiento en conjunto. La matemática que permitiría una solución venía de la mano de la “teoría de la probabilidad”.

 

Ya en el siglo XVIII, los astrónomos y matemáticos, en sus cálculos sobre las órbitas de los cuerpos celestes, vieron que, en sus observaciones, los errores se agrupaban en torno a un valor promedio. De ahí que establecieran la llamada  “ley del error”. Adolphe Quetelet (1796-1874) aplicó este instrumento a las medidas de objetos físicos y mentales de índole social (nacimientos, matrimonios, suicidios, delitos,...) en una obra, Mecánica social, cuyo titulo mostraba un deliberado paralelismo con la Mecánica celeste de Laplace. Sin embargo, no se pueden ocultar las abismales diferencias entre las ciencias físicas y las ciencias sociales. En las primeras, los fenómenos son normalmente repetibles en las mismas condiciones; en las segundas, los efectos de una prueba modifican la situación en la que se realizó, sin posible reversibilidad.

 

En los años 80 del siglo XIX, las ciencias sociales intentaron sustituir el experimento controlado de la física. Tres investigadores merecen nuestro interés: Francis Galton (1822-1911) en antropología, Francis Ysidro Edgeworth (1845-1926) en economía y Karl Pearson (1857-1936) en filosofía. Así pues, partiendo del estudio de los errores en astronomía, las ciencias sociales desarrollan y utilizan instrumentos matemáticos para conseguir regularidades en comportamientos aleatorios. Posteriormente, la física recupera estos hallazgos para explicar, matemáticamente, sistemas físicos complejos cuyos movimientos no seguían leyes deterministas.

 

James Clerk Maxwell.

 

El físico James Clerk Maxwell (1831-1879) propuso en 1873, el empleo de la estadística en una sesión de la Sociedad Británica para el Desarrollo de la Ciencia. Entre otras, planteó la cuestión fundamental de la determinación de la distribución de la velocidad, aleatoriamente variable, de una molécula. La teoría cinética de los gases se había convertido en un área importante del conocimiento científico, y fue precisamente en la física de los gases en donde se produce el encuentro entre el determinismo y la aleatoriedad. El gas es una agregación de partículas cuyo movimiento individual obedece a leyes dinámicas deterministas. Un miligramo de gas contiene aproximadamente cien trillones de partículas. Si observamos la trayectoria de unas pocas de ellas, se verá que siguen una línea hasta que una choca con otra. Sus nuevas direcciones son determinables por las geometrías anteriores. Y así, sería posible describir sus movimientos. Pero cuando ya tendríamos las leyes de su comportamiento, una partícula exterior al grupo considerado vendría a modificar las leyes deterministas de su comportamiento. El todo parece comportarse de manera aleatoria. Los científicos de finales del siglo XIX sabían, ya, que un sistema determinista puede comportarse de manera “aparentemente” aleatoria, pero eran conscientes de que la aleatoriedad era sólo aparente y que aparecía en sistemas complejos. Estas explicaciones resultaban igualmente válidas en el campo de las ciencias sociales. Los mecanismos que regulan los fenómenos de un subsistema económico, por ejemplo, se ven normalmente perturbados por influencias externas, muchas veces inesperadas e incontrolables. De esta manera se habían perfilado dos tipos de análisis: el más antiguo, de gran precisión, basado en ecuaciones diferenciales capaces de determinar la evolución del universo y el entonces moderno, que trabajaba con cantidades globales “promediadas” de sistemas complejos.

 

Referencias

 

G. Bruno: De la causa, Opera Italiane, quinto diálogo, I. Bari, 1907. [Citado por I. Leclerc: The nature of physical existence, George Allen and Unwin Ltd., Londres, 1972].

A. Kaufmann, J. Gil Aluja: Nuevas técnicas para la dirección estratégica. Publicacions de la Universitat de Barcelona, Barcelona, 1991.

P. Speziali (ed.): Einstein-Besso. Correspondence. Herman, París, 1972.