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Escrito por Redacción Matematicalia   
domingo, 16 de octubre de 2005
Modelizar la naturaleza con fractales



Modelizar la naturaleza con fractales (*)

 

Martin J. Turner

Imaging Research Centre

SERC, De Montfort University (Leicester, UK)

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página web: http://www.dmu.ac.uk/~mt

 

 

El movimiento browniano en la naturaleza

 

Length=6392, Step=32

Fue el botánico escocés Robert Brown quien observó el movimiento casi aleatorio de una partícula pequeña cuando se sumerge en un líquido o un gas. El líquido o el gas se componen de moléculas que se mueven continuamente y golpean a la partícula desde diversas direcciones. En su honor, este movimiento ahora se denomina browniano. Un físico, Jean Perrin, intentó medir la velocidad de la partícula, que es la derivada de su posición con respecto al tiempo, pero encontró que dicha velocidad “varía de la manera más salvaje en magnitud y dirección, y no tiende a un límite a medida que el tiempo invertido en una observación disminuye”, y dijo también que “la naturaleza contiene sugerencias de procesos no diferenciables así como de procesos diferenciables”.

 

Las imágenes de la izquierda muestran una partícula generada por ordenador que es observada en distintos intervalos del tiempo. A medida que se reducen los intervalos temporales la longitud calculada de la trayectoria aumenta.

 

La Figura 1 muestra la trayectoria de una partícula generada por ordenador. La posición de la partícula es observada y trazada a intervalos regulares de tiempo. La Figura 2 muestra la misma trayectoria pero con la frecuencia de las observaciones duplicada cada vez.

 

Este estudio del movimiento browniano nos enseña que algunos procesos naturales son modelados mejor por funciones no diferenciables. Las gráficas de estas funciones tendrán una longitud infinita.

 

El término fractal, introducido a mediados de los años setenta del siglo pasado por Benoît Mandelbrot, se utiliza ahora comúnmente para describir esta familia de funciones no diferenciables, cuya gráfica tiene longitud infinita. A medida que miramos la curva más de cerca, la longitud aparente es cada vez mayor. En el límite, esto crearía una curva infinitamente larga. En realidad, alcanzamos el nivel minúsculo de las moléculas que están empujando la partícula.

 

Von Koch: De curvas a islas

Uno de los fractales deterministas más famosos, fue descrito por Niels von Koch y se denomina Isla de Von Koch. Para su construcción, comenzaremos con un solo segmento de recta que llamaremos iniciador (Figura 3). A continuación, definimos un generador, o regla de producción, que enunciamos de la siguiente forma: “Tomar el iniciador, rescalarlo por un factor 1/3, hacer N=4 copias y sustituir el iniciador por las copias reescaladas, orientadas como se muestra en la Figura 4”. Se repite el generador (Figura 5), y se repite, y se repite, y se repite...(Figura 6).

 

Longitud=6392, iteración=32

 

Figura 1.

 

Length=8747, Step=16

 

Longitud=8747, iteración=16

 

Length=12091, Step=8

 

Longitud=12091, iteración=8

 

Length=17453, Step=4

 

Longitud=17453, iteración=4

 

Figura 2.

 

 

Figura 3.

 

Figura 4.

 

Figura 5.

 

 

 

 

Figura 6.

 

Tras un número infinito de repeticiones, esta curva será no diferenciable en ninguno de sus puntos y además tendrá longitud infinita. Para crear la Isla de Von Koch (también llamada el Copo de Nieve de Von Koch) ensamblamos tres segmentos de recta para formar un triángulo y repetimos el proceso anterior en cada uno de sus lados.

 

 

Nivel 1

 

Nivel 2

 

Nivel 3

 

Figura 7.

 

Contrariamente a lo que pudiera parecer, no es demasiado difícil calcular el área encerrada por cada nivel de la Isla. Podemos definir el área del triángulo original como

 

 

En cada nivel, los triángulos pequeños añadidos a la Isla son un noveno del tamaño de los últimos triángulos agregados. En el nivel 1 añadimos tres triángulos, así que

 

 

Después de esto, el número de los triángulos pequeños agregados en cada nivel es cuatro veces el número agregado en el nivel anterior. Los diagramas de la Figura 7 pueden ayudarnos a establecer el porqué.

 

Así pues, en el nivel 2,

 

 

y en el nivel 3,

 

 

Repitiendo estos pasos, vemos que en el nivel n

 

 

Por tanto, para n tendiendo a infinito encontramos que el área converge:

 

 

De este modo, aunque la isla tiene una frontera fractal, y por lo tanto de longitud infinita, el área encerrada es finita y está muy bien definida.

 

Paisajes: Superficies de Mandelbrot

 

La curva de Koch es determinista en tanto que siempre tiene el mismo aspecto con independencia de la frecuencia con que se crea. Ahora, añadiremos una cierta aleatoriedad al proceso y la utilizaremos para crear un paisaje de montaña artificial.

 

Comenzamos con una rejilla de cuatro puntos, que definen las esquinas. Ahora especificamos cuatro valores al azar, que definen las alturas en esos puntos, y escalamos las alturas por un factor d.

 

A continuación, dividimos este cuadrado en otros cuatro. Esto definirá cuatro nuevos puntos alrededor del borde de nuestro cuadrado original, y también un punto en su centro. Las alturas en estos cinco nuevos puntos se calculan como sigue:

 

1.       Dado un punto en el borde,  primero calculamos el promedio de las alturas de sus dos esquinas vecinas, y luego añadimos un valor al azar. Este valor al azar está distribuido normalmente y escalado por un factor d1 que guarda con la d original la relación

 

 

2.       Para el punto en el centro, calculamos el promedio de las cuatro esquinas originales, y después añadimos un valor aleatorio, escalado como antes.

 

Podemos ahora realizar exactamente el mismo procedimiento en cada uno de los cuatro cuadrados menores y reiterarlo tantas veces como queramos, pero haciendo el factor de escalado progresivamente más pequeño en cada etapa; procediendo así, nos aseguramos de que, a medida que miramos el paisaje más de cerca, las protuberancias de la superficie son menores, exactamente como ocurre en un paisaje verdadero. El factor de escalado en la etapa n es dn , dado por

 

 

Finalmente, alcanzamos un paisaje fractal continuo.

 

El valor de H usado arriba define cómo es de liso es el paisaje que resulta. Cuando H es pequeño, la superficie es muy escarpada; a medida que H aumenta, el paisaje se vuelve más liso. La secuencia de la Figura 8 muestra qué sucede al variar H.

 

H=0.50

H=0.75

 

H = 0'50

 

H = 0'75

H=1.00

H=1.25

 

H = 1'00

 

H = 1'25

 

Figura 8.

 

Resulta que, usando diferentes conjuntos de números aleatorios como generadores pueden crearse muchos paisajes fractales contrastados de este tipo. Un conjunto infinito de números aleatorios puede crear un paisaje con infinitos detalles.

 

Desarrollos modernos

 

Hoy en día los fractales se usan de muchas maneras para crear paisajes texturados y otros modelos intrincados. Es posible crear toda suerte de falsificaciones fractales realistas, imágenes de escenas naturales, tales como paisajes lunares, montañosos y líneas de costa, por nombrar sólo unos pocos ejemplos (Figuras 9 y 10). Esto se ve en muchos efectos especiales dentro de las películas de Hollywood y también en anuncios televisivos. El “efecto Génesis” en la película Star Trek II fue creado usando algoritmos de paisajes fractales, y en El retorno del Jedi se utilizaron fractales para crear la orografía de una luna y para dibujar el contorno de la temida Estrella de la Muerte. Pero las señales fractales pueden ser también utilizadas para modelizar objetos naturales, permitiéndonos definir matemáticamente nuestro entorno con algo más de exactitud que antes.

 

A fractal landscape created by Professor Ken Musgrave.

A fractal planet.

 

Figura 9. Un paisaje fractal creado por

el profesor Ken Musgrave

(Copyright: Ken Musgrave).

 

Figura 10. Un planeta fractal.

 

 

Referencias

 

Las matemáticas de los fractales se discuten en algunos sitios curiosos de Internet:

 

Sprott's Fractal Gallery, http://sprott.physics.wisc.edu/fractals.htm

Mary Ann Connors - Exploring Fractals, http://www.math.umass.edu/~mconnors/fractal/fractal.html

Fractal FAQ (Frequently Asked Questions), [1]
http://www.lib.ox.ac.uk/internet/news/faq/archive/fractal-faq.html

 

y en muchos libros, entre ellos:

 

M.F. Barnsley: Fractals everywhere (2nd. ed., revised with the assistance of Hawley Rising III). Academic Press Professional, 1993.

C.A. Pickover: Computers, Pattern, Chaos and Beauty: graphics from an unseen world. Sutton, 1990.

B.B. Mandelbrot: The fractal geometry of Nature. W.H. Freeman, 1982.

 

Algunas de las imágenes y parte del texto de este artículo provienen del libro siguiente:

 

M.J. Turner, J.M. Blackledge, P.R. Andrews: Fractal geometry in digital imaging. Academic Press, 1998.

 

Las biografías de los matemáticos mencionados en el artículo están disponibles en el MacTutor history of mathematics archive:

 

Benoit B. Mandelbrot

Niels F.H. von Koch

 



[1] No disponible actualmente (N. de la T.)

 

 

Sobre el autor

 

Martin J. Turner es Senior Lecturer en la School of Computing Sciences de De Montfort University (Leicester, UK) y Jefe de Laboratorio del Multidisciplinar Institute of Simulation Science. Se doctoró en la Universidad de Cambridge sobre codificación de imágenes. Sus intereses de investigación incluyen cualquier forma digital o analógica de procesamiento de imágenes y señales, lo que ha resultado en una beca a corto plazo con British Telecom y en un libro sobre fractales publicado por Academic Press. Como profesional liberal ha creado un controlador 8501 para monitorizar el bombeado en una planta química, el primer soldador de precisión digital, y varias interfaces gráficas. Su docencia incluye estudiantes de Matemáticas, Informática y Diseño, así como cursos externos. Es miembro de IEE, BCS, IMA y la persona de contacto con el SIRA Technology Centre.

 




(*) Este artículo apareció en el número 6 (septiembre 1998) de Plus Magazine. Matematicalia agradece a los responsables del Millennium Mathematics Project de la Universidad de Cambridge la autorización para publicar su traducción al castellano. (Traductora: Isabel Marrero).