Cultura
Escrito por José Martínez Aroza   
jueves, 19 de enero de 2006
Arte Fractal I

Recibido: jueves, 20 octubre 2005




Arte Fractal I (*)

 

José Martínez Aroza

Departamento de Matemática Aplicada
Universidad de Granada
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página web: http://www.ugr.es/local/jmaroza

  

 

 

Figura 1. El Arrecife de Coral (Linda Allison).

 

Advertencia

 

Este texto corresponde a la conferencia del mismo título que he impartido en varias ocasiones ante distintos públicos. Su concordancia con la charla misma viene gravemente condicionada y limitada por dos causas. En primer lugar, las características del medio. Durante la conferencia me apoyo en un abundante despliegue visual que, en mi opinión, la hacen mucho más atractiva que la mera lectura de un texto, el cual viene acompañado solamente de algunas de las imágenes que muestro en vivo, y no puede ofrecer videos con imágenes en movimiento. Y en segundo lugar porque en aquélla hay una parte esencial en la que el público participa en la elaboración de una obra colectiva de arte fractal.

 

Con el fin de atenuar en lo posible el primero de los defectos mencionados he publicado en mis páginas web personales un poco del material visual complementario, con el que el lector podrá ayudarse (se lo recomiendo vivamente) y disfrutar más de la lectura. El material publicado en mi página http://www.ugr.es/local/jmaroza incluye también algunos vídeos, pero he de advertir que su descarga puede ser lenta, ya que son archivos muy grandes (dos de ellos rondan los 200 Mb).

 

En lo referente a la segunda carencia (la confección de una obra fractal por el público), me temo que no puedo hacer nada salvo indicar que un buen programa para hacer fractales se puede descargar del sitio web http://www.ultrafractal.com, y es tan fácil de usar que se disfruta desde el primer momento.

 

En apariencia, el objetivo que persigue esta exposición no es más que el de entretener, hacer pasar un buen rato al oyente o al lector; pero hay un propósito oculto que puede pasar inadvertido a lo largo del texto, y es el de mostrar que hay formas de usar las matemáticas para cosas no convencionales, distintas de las usuales, y el de suscitar interés por ellas a través de uno de sus aspectos relativamente más atractivos, recientes y poco difundidos.

 

Arte y Matemáticas

 

El título preliminar que esta charla tuvo era Arte Matemático, el cual también habría servido. Pero, al final, Arte Fractal me pareció más concreto, más específico.

 

El Arte y las Matemáticas son dos materias en apariencia contrapuestas, enfrentadas, de naturalezas incompatibles. Arte significa sensibilidad, sentimiento, emoción, afectividad, excitación, todo lo ligado al corazón. Matemática es una palabra que suena a frialdad, precisión, abstracción, rigor, es decir, cosas ligadas a la mente racional y al pensamiento analítico. Parece difícil conciliar ambas disciplinas, encontrar una zona común en donde ambas interactúen, un terreno en donde justamente se usen las matemáticas para producir obras de arte.

 

Pues bien, esa región existe. Es más, esa región es un territorio salvaje y fértil, prácticamente inexplorado, y las imágenes fractales están en algunos de sus rincones más bellos.

 

El Arte no es más que la imitación
de la Naturaleza

LUCIO ANNEO SÉNECA

 

Me gustaría comenzar la exposición citando a uno de los más grandes pensadores y filósofos españoles, andaluz, cordobés por más señas, quien hace 2000 años ya tenía una idea clara de lo que es el arte. Yo diría que en la actualidad esa afirmación de Séneca no está tan clara como entonces, pero tampoco es malo que el concepto de lo que es y lo que no es arte esté bajo discusión.

 

También creo que es mi obligación precisar algunos detalles. En primer lugar, no entiendo mucho de arte, no más que cualquier ciudadano de cultura media: distingo el gótico del románico en arquitectura, el cubismo del surrealismo en pintura, y soy capaz de diferenciar bien entre la música de Alejandro Sanz y la de Johann Sebastian Bach, pero poco más. En segundo lugar, sí que entiendo algo de Matemáticas, naturalmente, es mi profesión, sería un incompetente si no fuese así; pero tanto mi especialidad docente como mi investigación van por caminos ligeramente distintos al tema de esta charla. De hecho, hace tan solo unos meses mis conocimientos sobre fractales eran más bien superficiales, aunque en la actualidad creo que podría decirse que alcanzo el nivel de un aficionado entusiasta.

 

 

Figura 2. Volcano (Javier Barrallo).

 

 

Figura 3. Ángeles en Verde (Linda Allison). 

 

 

Figura 4. Sangre Alienígena (Earl Hinrichs).

 

 

Figura 5. Bilbao (Javier Barrallo).

 

 

Figura 6. Ojos de los Vigilantes (Domenick Annuzzi).

 

 

Figura 7. Génesis (Íñigo Quílez).

 

 

Figura 8. Taupenski (Janet Preslar).

 

 

Figura 9. La Conjunción Misteriosa (Mark Townsend).

 

 

Figura 10. Avalancha (Sylvie Gallet).

 

 

Figura 11. Max-Planck Instituut, Dortmund
(Mario Markus).

 

 

Figura 12. El Bosque Encantado (Javier Barrallo).

 

La Frontera entre el Arte y las Matemáticas

 

Las obras que aparecen en las Figuras 1 a 12 proceden de la exposición internacional de imágenes fractales titulada La Frontera entre el Arte y las Matemáticas, que se exhibió en Granada en julio de 2000, primero en la Facultad de Ciencias y después en el Palacio de Exposiciones y Congresos, con motivo de la Conferencia Euro-Árabe de Matemáticas Alhambra-2000. Todas ellas son obras de prestigiosos y expertos artistas.

 

Los cuadros de esta exposición fueron generados por ordenador y pasados a soporte de gran formato en papel fotográfico por el profesor Javier Barrallo, de la Universidad del País Vasco, a quien debemos la gentileza de darme el permiso para reproducirlas aquí, y de suministrarme parte del material que se muestra.

 

Una fórmula

 

Cada una de estas obras es la expresión plástica de una fórmula matemática. Sí, una fórmula matemática. Con el tratamiento adecuado de color, y escogiendo ciertas transformaciones sencillas, una sola fórmula matemática puede dar lugar, en un ordenador, a esta explosión de formas y colores. Nada de lo que aparece en ellas tiene la más mínima pincelada ni retoque manual en el sentido pictórico tradicional. Quiero decir que todo esto se ha hecho manejando un teclado y un ratón, y que los autores han experimentado con fórmulas y con números hasta obtener el efecto deseado, pero en ningún momento han tocado directamente sobre la imagen. Así que cada imagen es, en su totalidad, el resultado de una fórmula. Perdonen que insista. No es que el fondo se haga con una fórmula y los objetos en primer plano con otra, o algo así. No. Todo, absolutamente todo lo que aparece en cada imagen, ha surgido de una sola ecuación. Hasta el punto de que si al autor no le gusta una parte del cuadro y quiere cambiarla, entonces debe escoger entre dejarlo como está o cambiarlo todo, modificando su fórmula.

 

Viendo estas obras uno tiende a pensar que sus autores son unos señores muy sesudos que se han estrujado la mollera hasta el agotamiento para dar a luz mágicas y, de seguro, complicadísimas fórmulas matemáticas, capaces de generar esta belleza, y que esto sólo está al alcance de mentes muy entrenadas y privilegiadas.

Nada más lejano de la verdad. Para hacer cosas como éstas no hace falta saber muchas matemáticas; con las del Bachillerato basta. Tampoco hay que pasar horas y días interminables frente al ordenador para obtenerlas. Y tampoco el proceso de diseño de una de estas obras es tedioso y aburrido, muy al contrario. Para convencerse de ello basta instalar en un ordenador un programa de los muchos que hay para generar fractales, y probar al azar. Claro que, para obtener algo de aspecto medianamente artístico, es aconsejable conocer un poco los principios básicos que les dan su existencia.

 

Sin embargo, es importante resaltar que el hecho de que sea fácil obtener así una imagen bonita o artística, no resta ni una pizca de mérito a los artistas que han logrado estas obras. Ellos las han trabajado durante cientos de horas hasta obtener un resultado que reflejase sus gustos, sentimientos, o concepciones de la manera más fiel, y eso les eleva a la categoría de artistas con todo merecimiento.

 

La propiedad de las obras fractales

 

Y son propietarios de su obra como cualquier otro artista. Porque se comprenderá fácilmente que una obra de arte debe estar protegida por las leyes de la propiedad intelectual, que regula su reproducción entre otras cosas. Sin embargo, en el caso de obras como éstas, generadas por computadora, se producen unas muy curiosas condiciones no muy bien cubiertas jurídicamente.

 

Me explico. En primer lugar, no existe un original. Tanto las imágenes aquí reproducidas como las láminas que fueron expuestas en Granada y en otras ciudades, no son más que expresiones visibles de las fórmulas matemáticas que las generan, y que constituyen la auténtica propiedad de su autor. Podrían, si el autor quisiera, fabricarse mil copias de cada imagen, sin más que darle al botón, y todas ellas serían idénticas entre sí, sin que nadie pueda decir que una de ellas sea la auténtica y las demás imitaciones.

 

Esta situación ha llegado hasta el punto de dar lugar a un suceso bastante chocante. Una organización sudamericana, interesada en exponer estos cuadros en Argentina, solicitó al profesor Barrallo, depositario de la colección, que se los enviara para que permaneciesen en aquel país durante un tiempo, transcurrido el cual serían devueltos a su origen. Barrallo no puso inconveniente, pero los costes de transporte transcontinental de objetos tan frágiles eran prohibitivos. ¿Qué hacer? Se adoptó la revolucionaria solución consistente en enviar por Internet los ficheros de las imágenes para su impresión a gran formato in situ y se pactó la cláusula de que, al término de la exhibición, serían destruidos tanto los archivos como los cuadros físicos. Esto resultó enormemente más barato que el transporte tradicional.

 

El Teorema Fundamental

 

Así que comenzaré por enunciar y demostrar el Teorema Fundamental del Arte Matemático, que dice así:

 

 
Teorema Fundamental del Arte Matemático:
 
“Con las Matemáticas del Bachillerato es posible hacer obras de arte”

 

Y como Matemático que soy, me veo en la obligación de demostrar rigurosamente todo cuanto afirmo. Para ello me voy a remontar a tiempos muy recientes, a los años 1970, justo en el desarrollo de la primera generación de computadoras.

 

 

Figura 13. Geometría clásica y naturaleza.

Un ingeniero polaco, de nombre Benoît Mandelbrot, trabajaba en la École Politechnique de París, sobre teorías matemáticas relacionadas con la complejidad y el caos de los fenómenos naturales.

 

La Geometría clásica, creada hace más de 2000 años, está basada en formas como esferas, cilindros, conos, parábolas, elipses, todas ellas simples, bien conocidas. Son formas útiles en la arquitectura humana, pero no tanto en la naturaleza (Figura 13). Nuestro entorno no está hecho en su mayor parte de esferas y cuadrados (naturalmente me refiero a nuestro entorno natural, no al artificial creado por el hombre.)

 

 

Figura 14. Línea de costa.

En palabras del propio Mandelbrot, las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son circulares y las cortezas no son lisas, ni tampoco el rayo va en línea recta.

 

En 1975 Mandelbrot inventó la palabra fractal para designar la estructura que siguen ciertas formas naturales. “Fractal” viene del latín “fractus”, que significa “fragmentado” o “roto”, y también “irregular”. Es la palabra perfecta. Veamos algunos ejemplos de fractales naturales.

 

 

Autosemejanza

 

 

Figura 15. Cuatro ampliaciones del mismo lugar.

Fijémonos en los cuatro dibujos de la Figura 14. Los he sacado de un atlas y, para no dar pistas, he pintado toda la tierra de verde y todo el mar de azul. Así, no podemos ver montañas, cordilleras, ríos, poblaciones, ni nada que nos pueda ayudar a saber cuál es la escala. Sólo hay una línea irregular que separa la tierra verde del mar azul. La pregunta es: ¿se puede decir algo de la escala de estas imágenes? ¿Cuántos kilómetros abarca una de ellas?

 

A simple vista no parece haber diferencias entre ellas. Simplemente parecen haber sido tomadas del mismo mapa, en lugares diferentes, pero con la misma escala. ¿Verdad?

 

 

 

Figura 16. Autosemejanza en una rama de helecho.

 

Pues no. En la Figura 15 se puede comprobar algo que en un principio no era tan evidente. Son ampliaciones sucesivas, esto es, se trata de cuatro vistas del mismo lugar, concretamente en la costa norte de Australia, pero con cuatro aumentos distintos. Pero lo más interesante es que la línea de costa presenta la misma estructura en una vista de satélite que en una de avión. Veamos otro ejemplo en la naturaleza.

 

Esta hoja de helecho (Figura 16), una escolopendra, tiene una bella estructura, que se parece mucho a la de cualquiera de sus fragmentos, y ésta a su vez a la de los fragmentos menores. Esto se llama autosemejanza, es decir, parecerse a sí mismo. Más ejemplos de autosemejanza en la naturaleza pueden verse en la Figura 17.

 

 

Figura 17. Más fractales naturales.

Una nube es un espectáculo natural, cotidiano y maravilloso. Todos hemos pasado alguna vez un rato observando su forma y su movimiento. Les buscamos parecido con elefantes, pájaros y naves extraterrestres. Las nubes tienen la misma apariencia vistas desde lejos que desde la ventanilla de un avión. Un pedazo de nube se parece una nube completa. ¿A qué distancia se encuentra ese mechón de nube? Sin una referencia conocida, como por ejemplo un pájaro o un avión que pase por allí, no se puede saber. La forma del mechón de nube no dice nada sobre su tamaño.

 

Las pequeñas ramitas de un árbol suelen tener el mismo trazado que las ramas principales, y éstas que el mismo tronco. Hay árboles en que esta autosemejanza llega a alcanzar hasta siete niveles, desde el tronco hasta las ramitas más pequeñas. Algo muy semejante ocurre en los cristales de hielo, en los sistemas fluviales con sus grandes ríos, sus afluentes y sus pequeños arroyos y torrentes.

 

También ocurre esto en las ramificaciones del sistema vascular humano, con sus grandes venas y arterias, y sus minúsculos capilares. En los bronquios sucede algo parecido. Un trozo de roca se parece bastante a la montaña de la que ha sido extraído. Recientemente los astrónomos han descubierto que la distribución de estrellas en enjambres, dentro de las galaxias, de las galaxias a su vez en grupos de galaxias, etc., indica que nuestro universo sigue un modelo fractal. Los fractales se asemejan también al ruido de la radio cuando no sintoniza ninguna estación, a la distribución de vehículos en una autopista con tráfico denso, a la variación de las crecidas del río Nilo durante miles de años, a las fluctuaciones de la bolsa... al paseo de un borracho.

 

Este trozo de brécol ¿es suficiente para la cena de toda la familia, o es un pedacito como la punta de mi meñique? Todos estos son ejemplos de estructuras que se parecen a sí mismas al cambiar de escala, es decir, que al hacer una ampliación o reducción de la escena, lo que se ve es muy similar a lo que ya había. La geometría fractal es realmente la propia geometría de la naturaleza.

 

Autosemejanza en Matemáticas

 

En Matemáticas, el concepto de autosemejanza no es nuevo. En 1904 el matemático sueco Helge von Koch dio a conocer una curva conocida como curva de Koch o Copo de Nieve. Se construye a partir de un triángulo sólido (Figura 18), adjuntando en cada uno de sus tres lados un triangulito de tamaño tres veces inferior. Después, en cada uno de los doce lados resultantes se adhiere un nuevo triangulito tres veces inferior, y el proceso continúa así indefinidamente.

 

 

Figura 18. El Copo de Nieve de Koch.

 

 

El resultado final, como límite de este proceso infinito, tiene el aspecto de un cristal de hielo, mal llamado copo de nieve.

 

Observemos la forma inferior. Es un fragmento de un copo de nieve. ¿Qué tamaño tiene este copo de nieve? Puede que lo que estemos viendo sean tres de los seis lóbulos principales, con lo cual la imagen mostraría más o menos la mitad del copo. Pero también puede ser que lo que vemos sean sólo las rugosidades del lóbulo superior, quedando debajo los otros cinco, y el copo sería algo mayor que la hoja de papel. O también puede que estemos ante la punta del iceberg, y que el copo que está debajo en realidad sea gigantesco, tan grande como la propia Tierra. No hay modo de saberlo.

 

Por extraño que parezca, la longitud entre dos puntos cualesquiera del borde del copo es siempre infinita. Por muy cercanos que parezcan dos puntos de esta orilla, nadie puede pretender recorrerla de uno al otro.

 

 

Figura 19. Triángulo de Sierpinski.

 

Monstruos matemáticos

 

Los matemáticos de aquella época, extrañados, etiquetaron ésta y otras figuras como “monstruos matemáticos”. Otro monstruo es el Triángulo de Sierpinski (Figura 19), que se obtiene a partir de un triángulo inicialmente sólido, retirándole de su parte central un triángulo semejante, más pequeño, invertido, y repitiendo el proceso con los tres triángulos, también semejantes, que quedan. El resultado final de este proceso infinito es el que vemos en la Figura 2.

 

Los matemáticos han encontrado que el área del triángulo de Sierpinski es cero. Sí, sí, cero. Se trata de una figura cuya superficie es nula. Es como si fuese una colcha de tela de araña o de tul muy tenue, hecha de un hilo tan fino, tan fino, que no llega a cubrir absolutamente nada. Podría ser un bonito velo fractal para una novia fractal en su boda fractal, pero está claro que su utilidad como manta para el invierno queda descartada.

 

Otro monstruo es la Alfombra de Sierpinski (Figura 20), que es el equivalente del anterior, pero con cuadrados. Al igual que el triángulo, tiene un área de cero unidades. Por tanto, esta alfombra tiene la ventaja de que no hace falta levantarla para barrer por debajo, porque como no tapa nada... Así que el que consiga fabricar alfombras de Sierpinski, puede tener el negocio asegurado.

 

Otro monstruo, pero en tres dimensiones, es la Esponja de Menger (Figura 21), que se obtiene a partir de un cubo macizo, subdividiéndolo en 27 cubitos iguales más pequeños y retirando el cubito central interior y los centros de cada una de las seis caras, en total siete cubitos. Después de esto quedan 20 cubitos, a los cuales se les repite individualmente este proceso, y así indefinidamente. Aquí vemos las tres primeras fases de la construcción de la esponja de Menger.

 

 

Figura 20. Alfombra de Sierpinski.

 

Figura 21. Esponja de Menger.

 

Para ver mucho más claro qué forma tiene la porción que se retira del cubo en la primera fase, permítanme recurrir a un artista universal, el español Salvador Dalí. La Figura 22 muestra su obra titulada Corpus Hipercubicus, que se suele citar como ejemplo visible del desarrollo tridimensional de un hipercubo de cuatro dimensiones, pero a mí me sirve aquí para ilustrar la parte retirada del cubo. Bueno, con la salvedad del cubito inferior, donde Jesucristo tiene sus pies apoyados.

 

Hagamos una breve visita turística a la esponja de Menger (Figura 23).

 

Figura 22. Corpus Hipercubicus, de Salvador Dalí.

 

 

Figura 23. Diversas perspectivas de la

esponja de Menger.

Pues resulta que la esponja de Menger tiene un volumen de cero unidades. ¿Se imaginan una esponja que no ocupe absolutamente ningún volumen? Debe de ser capaz de empapar un montón de líquido, así que sus posibilidades comerciales como artículo de limpieza y de aseo son fantásticas. Además, su transporte sería baratísimo, primero, porque no pesa nada, y segundo porque, si las comprimimos, podemos empaquetar mil trillones de esponjas en una caja de cerillas... y la caja seguiría estando igual de vacía.

 

 

 

Sobre el autor

José Martínez Aroza es profesor del Departamento de Matemática Aplicada de la Universidad de Granada. Su actividad docente e investigadora comienza en 1979 en el (entonces) Colegio Universitario de Almería. En 1987 se incorpora a la Universidad de Granada como profesor titular. Desde su fundación, hace más de quince años, es miembro del Grupo de Investigación en Física de la Información y Sistemas Complejos. En todo ese tiempo su trabajo se ha repartido entre la docencia propia de su área, principalmente el análisis numérico, y la investigación en temas diversos, entre los que se encuentran los errores numéricos en la computación, las matemáticas del diseño por ordenador, el análisis y procesamiento digital de imágenes y, recientemente, la segmentación de secuencias simbólicas como el ADN. Como fruto de esta actividad, ha dirigido varias tesis doctorales y ha publicado algunas docenas de artículos científicos en revistas de reconocido prestigio internacional. A su labor profesional se une un alto interés por la divulgación de la ciencia en general, y de las Matemáticas en particular.

 




(*) Este artículo se publica, fraccionado en dos partes, en los números de diciembre de 2005 y febrero de 2006 de Matematicalia.