Economía
Escrito por Jaime Gil Aluja   
domingo, 16 de octubre de 2005
La matemática borrosa en economía y gestión de empresas II

Recibido: miércoles, 02 marzo 2005




La matemática borrosa en economía y gestión de empresas II (*)

 

Jaime Gil Aluja

Departamento de Economía y Organización de Empresas

Universidad de Barcelona

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página web: http://www.fuzzyeconomics.com

 

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La encrucijada geometrismo-darwinismo

 

No existe la menor duda de que algo importante estaba pugnando por emerger a la superficie de la actividad científica cuando aún destilaban las primeras esencias del evolucionismo, rica herencia del siglo XIX. Unas breves pinceladas deberían poder situarnos en el punto de arranque de una nueva aventura. Para ello recurriremos a Darwin y a Clausius. En su fundamental obra El origen de las especies, publicada en 1859, Darwin combina dos elementos: fluctuaciones e irreversibilidad. En efecto, sostiene que las fluctuaciones en las especies biológicas, gracias a la selección del medio, dan lugar a una evolución biológica irreversible. De la asociación entre fluctuaciones (que asimila a la idea de azar, diríamos nosotros incertidumbre) e irreversibilidad tiene lugar una autoorganización de sistemas con una creciente complejidad.

 

 

El origen de las especies (1859).

 

Por su parte, Clausius formula, en 1865, la “ley de aumento de la entropía”, con la correspondiente división entre procesos reversibles e irreversibles. Esta distinción se hace explícita en la segunda ley que postula la existencia de una función, la entropía[1], la cual, en un sistema aislado, aumenta cuando existen procesos irreversibles y se mantiene constante en presencia de procesos reversibles. Por lo tanto, la entropía alcanza un valor máximo cuando el sistema llega al equilibrio y acaba el proceso irreversible. El físico Ludwing Boltzmann (1844-1906) llegó a la conclusión de que la entropía  se halla ligada con la probabilidad . En su tumba existe una lápida en la cual se grabó la fórmula:

  

,

 

en la que  es una constante universal, a la que Max Kart Ernst Ludwig Planck (1858-1947) asoció el nombre de Boltzmann.

 

Tanto en el caso de Darwin como en el de Boltzmann, azar y evolución se hallan estrechamente relacionados, pero el resultado de sus respectivas investigaciones conducen a conclusiones contrapuestas. En Boltzmann, la probabilidad llega a su máximo cuando se alcanza la uniformidad, mientras que en Darwin la evolución conduce a nuevas estructuras autoorganizadas.

 

En contraposición con estas perspectivas, el prototipo de la física clásica es la mecánica del movimiento, la descripción de trayectorias de carácter reversible y determinista, en donde la dirección del tiempo no juega papel alguno, en la cual no existe un lugar ni para el azar ni para la irreversibilidad. En definitiva, el universo constituye un inmenso autómata. En un cierto sentido, este panorama es el mismo que en la física cuántica.

 

La verdad es que, con independencia de la posición desde la cual tenga lugar el enfoque, el universo posee una estructura compleja. Como sostiene Jacques Monod en su obra El azar y la necesidad, la vida es un simple accidente en la historia de la naturaleza que, por un motivo no muy claro, es capaz de mantenerse. Es bien cierto que algunos fenómenos se pueden perfectamente describir mediante ecuaciones deterministas (movimiento de los planetas), pero, en cambio, otros comportan procesos inciertos o, en todo caso, estocásticos (desarrollos biológicos). Podría suceder que la vida, en lo que tiene de irreversibilidad, se hallara, también, inscrita en las leyes generales desde el momento primigenio del Big-Bang. Pero la ciencia, de tanto buscar las generalidades, las simetrías y las leyes, ha encontrado lo mutable, lo temporal y lo complejo.

 

 

En la búsqueda de ordenar el desorden

 

Los estudiosos de todos los ámbitos del conocimiento están observando procesos en los cuales tiene lugar la transición del caos al orden, es decir secuencias dirigidas a una autoorganización. La pregunta que se impone es cómo tiene lugar esta creación de estructuras, es decir esta autoorganización. Pues bien, dada la entropía de un sistema, si se perturba de tal manera que un estado permanece suficientemente cerca del equilibrio el sistema responde reestableciendo la situación inicial. Existen, pues, mecanismos que lo hacen inmune a las perturbaciones. Se trata de un sistema estable. Pero si un estado es llevado suficientemente lejos del equilibro, entra en una situación de inestabilidad  en relación con la perturbación. Este punto se acostumbra a denominar punto de bifurcación. En él tienen lugar nuevas situaciones que pueden corresponder a comportamientos alejados del originario. En este contexto, las ecuaciones deterministas no tienen utilidad para predecir qué camino será el elegido entre los existentes en la bifurcación. En muchas de estas bifurcaciones se produce una ruptura de simetría. Es el caso en que existe una solución “izquierda” y una solución “derecha”, pero que la naturaleza sólo elige una de las dos. Se puede decir, así, que existe simetría en las ecuaciones pero no en las soluciones.

 

Como señala Paul Valéry, le sens du mot déterminisme est du même degré de vague que celui du mot liberté [...] Le déterminisme rigoreux est profondement déiste. Car il faudrait un  dieu pour apercevoir cet enchaînement infini complet... De sorte que le dieu retranché de la création et de l'invention de l'univers est restitué pour la compréhension de cet univers[2]. Un universo en el que las formas que vemos en la naturaleza no guardan semejanza, normalmente, con las figuras geométricas tradicionales de la matemática, aunque algunas veces sí la tienen. Recordemos que, en 1610, Galileo Galilei dijo que la matemática es el lenguaje de la naturaleza. Pero la verdad es que la geometría de la naturaleza resulta de difícil representación mediante las formas usuales de Euclides o por el cálculo diferencial. Su escaso orden la convierte en “caótica”. Adoptamos así el término acuñado por Norbert Wiener, cuando quería expresar una forma extrema de desorden.

 

 

Benoît Mandelbrot (1924-), en su obra The fractal geometry of Nature[3], señala que las nubes no son esferas, las montañas no son círculos y la corteza de un árbol no es lisa. Con esta idea desarrolla una nueva matemática capaz de describir y estudiar la estructura irregular de los objetos naturales. Acuñó un nombre, fractales[4], para designar estas nuevas formas geométricas.

 

 

Benoît Mandelbrot

 

El fractal de Mandelbrot

 

Los fractales, igual que sucede con el caos, se asientan sobre la estructura de la irregularidad. En las dos, la imaginación geométrica adquiere importancia fundamental. Ahora bien, si en los fractales domina la geometría, en el caos ésta se halla supeditada a la dinámica. Los fractales proporcionan un nuevo lenguaje susceptible de describir la forma del caos. La geometría fractal se caracteriza por dos elecciones: la elección de problemas en el seno del caos de la naturaleza... y la elección de herramientas en el seno de las matemáticas... Estas dos elecciones han creado algo nuevo: entre el dominio del caos incontrolado y el orden excesivo de Euclides, hay a partir de ahora una nueva zona de orden fractal[5].

 

En la geometría convencional, un punto o un número infinito de puntos son figuras de dimensión cero; una recta o una curva “euclídea” constituyen figuras de dimensión uno; un plano o una superficie  de las habituales son figuras de dimensión dos; un cubo tiene una dimensión tres... Fue gracias a la propuesta de Hausdorff, en 1919, que se han podido considerar algunas figuras ideales cuya dimensión no es un entero, sino una fracción o también un número irracional. La dimensión fractal mide el grado de irregularidad e interrupción de un objeto fractal.

 

Ahora bien, también en la realidad existen objetos específicos cuya dimensión física efectiva posee un valor no convencional. Esto nos lleva a prestar atención a la relación entre las idealizaciones matemáticas (figuras) y los datos y formas reales (objetos). Paralelamente, se puede aceptar que un resultado numérico depende de la relación entre objeto observado y sujeto observador. “Ce qui change c'est le regard”. En otras palabras, la dimensión física tiene un componente de subjetividad y depende del grado de resolución. Un ejemplo presentado por Mandelbrot puede ser esclarecedor: ...Un ovillo de 10cm de diámetro hecho con hilo de 1mm de sección tiene varias dimensiones efectivas distintas. Para un grado de resolución de 10m es un punto, y por tanto una figura de dimensión cero; para el grado de resolución de 10cm es una bola tridimensional; para el grado de resolución de 10mm es un conjunto de hilos, y tiene por consiguiente dimensión uno; para el grado de resolución de 0'1mm, cada hilo se convierte en una especie de columna y el conjunto vuelve a ser de tres dimensiones; [...] y así sucesivamente. ¡El valor de la dimensión no para de dar saltos![6]

 

En nuestro intento por explicar la naturaleza introducimos escalas de medida distintas según la “dimensión” del objeto estudiado. No existen grandes problemas para el estudio de aquellos fenómenos que comprenden un rango reducido de escalas, pero las dificultades aumentan cuando es esencial un gran rango.

 

Las formas geométricas tradicionales (triángulo, cuadrado, círculo, esfera, cilindro) pierden su estructura cuando son ampliadas (un círculo se convierte en una línea recta monótona cuando es observado a una escala suficientemente grande; para un diminuto ser humano la Tierra es lisa). El término fractal describe un tipo de objeto geométrico que sigue manifestando una estructura detallada en un gran rango de escalas.

 

En principio, los objetos naturales, tanto aquellos que nos son familiares (como la Luna, la Tierra, los mares), como aquellos que nos lo son menos (como una distribución de errores en una recopilación estadística), son sistemas, dado que se hallan formados por partes diferenciadas en conexión entre sí. Pues bien, la dimensión fractal pone en evidencia un aspecto de estas leyes de conexión.

 

Entre los objetos familiares se acostumbra a citar como ejemplo un trozo de costa marítima, de la que se desea medir su longitud efectiva. Esta longitud es siempre igual o mayor a la distancia en línea recta entre los dos extremos objeto de la medida. Esta es una posición límite. En el otro límite se halla la hipótesis de una costa extremadamente sinuosa, para la cual su longitud podría ser tan grande que se acercara al infinito. Cuando se quieren comparar las diferentes formas de la costa nos veremos impulsados a utilizar la noción de dimensión fractal. Por ello, una línea costera es un buen ejemplo de fractal, pues a distintas escalas se tiene, dentro de lo razonable, la misma estructura (cuando una zona costera reflejada en un mapa se amplía con otro mapa más detallado se observa la misma estructura general). Constituyen un tópico en la “hermandad fractal” los conocidos versos de Jonathan Swift (1726)[7]:

 

So, Naturalists observe, a flea

Hath smaller fleas on him prey,

And these have smaller fleas to bite 'em;

And so proceed “ad infinitum”

 

En todas las obras sobre la materia se cita como fractal matemático la curva del copo de nieve de Helge von Koch (1904). En ella, lo que en la línea costera serían bahías y cabos, aquí son triángulos equiláteros, que van haciéndose más pequeños. En ambos casos aparece una importante característica: su comportamiento de escala (la misma estructura en todas las escalas).

 

 

 

 

 

Curva de Koch

                          

Resulta relativamente abordable una medida numérica del grado de rugosidad de un fractal. Inicialmente se denominó dimensión de Hausdorff-Besicovitch, en honor a los dos matemáticos que la inventaron. Hoy se conoce como dimensión fractal. No es prácticamente posible realizar medidas cuantitativas de todos  los detalles de un fractal, pero, en cambio, sí lo es obtener una medida del grado de su rugosidad.

 

Como hemos señalado, en el campo de los fractales, la dimensión no debe ser  obligatoriamente un número entero. Así, la dimensión fractal de una línea costera tiene, normalmente, un valor entre 1'15 y 1'25, y la curva del copo de nieve de Koch se acerca a 1'26. Por tanto, se las puede considerar prácticamente igual de rugosas (la línea costera ocupa más espacio que una curva uniforme y menos espacio que una superficie, por lo que no puede extrañar que su dimensión se halle entre 1 y 2). En definitiva, se trata de “establecer el volumen  -dimensional de una figura, siendo  un número cualquiera, entero o no”.

 

La diferencia geométrica entre figuras uniformes (círculos, esferas,...) y figuras rugosas (fractales), se corresponde con la diferencia entre los atractores de la matemática tradicional y los atractores del caos. Por ello los fractales pueden ser considerados, alternativamente:

 

a)       Como una  herramienta descriptiva para el estudio de procesos y formas irregulares.

b)      Como una consecuencia matemática de una dinámica caótica subyacente.

 

Las posibilidades de utilización de los fractales son amplias. Los fractales ponen en evidencia una nueva visión de la naturaleza, que, ahora, es apta para ser modelizada matemáticamente. Las posibilidades de representar de manera geométrica fenómenos económicos irregulares abren las puertas de par en par al empleo fractal en el ámbito de las ciencias sociales. La preocupación por las fluctuaciones en las bolsas ¿no podría estimular el estudio de esta nueva geometría de la Naturaleza por parte de economistas y especialistas  en gestión?

 

 

Nacimiento y desarrollo de una teoría de la incertidumbre

 

Resulta impensable no aceptar que los sistemas son muy sensibles a las variaciones de las condiciones iniciales o de las existentes en algún instante de su actividad[8]. En otros términos, se concibe así que cuando una perturbación excede de un cierto nivel, las desviaciones futuras llevan a un proceso no controlable por el propio sistema, produciéndose el nacimiento de insospechados nuevos fenómenos. Sólo con este convencimiento es posible vislumbrar cómo hace cuatro mil millones de años pudo aparecer una célula viva de un vulgar caldo de aminoácidos. La complejidad de estos sistemas hace inviable su comprensión y explicación únicamente mediante leyes deterministas, sustentadas y desarrolladas con ecuaciones lineales. Ha hecho falta, y hará falta todavía, una gran dosis de imaginación para romper con los lazos que nos atenazan con el pasado, colocando en su lugar ecuaciones diferenciales “no lineales”, portadoras de un gran arsenal descriptivo de situaciones inciertas. Compiten, cohabitan o colaboran en esta tarea enfoques, de ayer o de hoy. Entre ellos destaca la teoría de los conjuntos borrosos,  cuyo epicentro se halla en una querella que data de más de dos mil años. En efecto, Aristóteles (384-322 a.C.) señalaba: Una simple afirmación es la primera especie de lo que llamamos proposiciones simples, y una simple negación es la segunda clase de ellas...; Respecto de las cosas presentes o pasadas, las proposiciones, sean positivas o negativas, son por necesidad verdaderas o falsas. Y de las proposiciones que se oponen contradictoriamente debe ser una verdadera y una falsa[9]. En esta misma línea se situaba el pensamiento de los estoicos, a una de cuyas figuras centrales, Crisipo de Soli (ca. 281-208 a.C.), se le atribuye la formulación del llamado “principio del tercio excluso” (una proposición o es verdadera o es falsa). Los epicúreos contestaron con vigor este principio, señalando que sólo es aceptable si no se da una tercera posibilidad tertium non datur (tercio excluso). A pesar de su materialismo, Epicuro creía en la libertad de la voluntad, sugiriendo, incluso, que los átomos son  libres y se mueven, de vez en cuando, con total espontaneidad. Esta idea tiene evidentes connotaciones con el principio de  incertidumbre ya mencionado.

 

 

Jan Lukasiewicz

Tienen que transcurrir veintidós siglos para que Lukasiewicz[10] (1878-1956), retomando la idea de los epicúreos, señalara que existen proposiciones que no son ni verdaderas ni falsas, sino indeterminadas. Esto le permite enunciar su “principio de valencia” ; (cada proposición tiene un valor de verdad). Asignó, inicialmente, tres valores de verdad: verdadero (1), falso (0), indeterminado (0'5), generalizando, luego, a  valores, para  igual o mayor que 2. Se inicia, así, el camino para las llamadas lógicas multivalentes.

 

Con ocasión del Congreso Internacional SIGEF de Buenos Aires[11] intentamos asentar la posición epicúrea en las nuevas coordenadas surgidas del hallazgo de Zadeh[12], enunciando el “principio de la simultaneidad gradual” (toda proposición puede ser a la vez verdadera y falsa, a condición de asignar un grado a su verdad y un grado a su falsedad). Antes y después, un buen número de científicos han ido colocando, piedra tras piedra, los cimientos de lo que puede ser un nuevo edificio del saber. Desde esta perspectiva del conocimiento, algunos nombres jalonan este ya fructífero camino: Rosenfield, en 1971, estudia las relaciones borrosas[13]. De Luca y Termini, en 1972, acuñan el concepto de entropía no probabilística[14]. Kaufmann, en 1973, incorpora el operador de convolución maxmin en las ecuaciones de relaciones borrosas[15]. Sugeno, en 1977, se introduce en el ámbito de las mediciones borrosas[16]. Zimmermann, en 1978, profundiza en el desarrollo de las operaciones con conjuntos borrosos[17]. Numerosos grupos de investigación pertenecientes a universidades de los cinco continentes están trabajando en las distintas ramas del árbol de la ciencia. A todos ellos nuestro más rendido homenaje. A ellos y a cuantos han entreabierto puertas para que otros las traspasen. A aquellos de quienes nunca conoceremos su nombre. A los que no disponen ni de un mísero rincón en las casi infinitas páginas de la historia.[18]

 

 

Referencias

 

Aristóteles: Obras. Lógica. De la expresión o interpretación. Editorial Aguilar, Barcelona, 1977.

A. De Luca, S. Termini: A definition of nonprobabilistic entropy in the setting of fuzzy sets theory. Information and Control 20 (1972), 301-312.

J. Gil Aluja: Lances y desventuras del nuevo paradigma de la teoría de la decisión. Proceedings del III Congreso de la Sociedad Internacional de Gestión y Economía Fuzzy, Buenos Aires, 10-13 noviembre 1996.

J. Gil Aluja: Génesis de una teoría de la incertidumbre. Discurso pronunciado con ocasión del acto de imposición de la Gran Cruz de la Orden Civil de Alfonso X el Sabio, Barcelona, 20 enero 2000. Real Academia de Ciencias Económicas y Financieras y Reial Academia de Doctors.

J. Gil Aluja: La pretopología en la gestión de la incertidumbre. Discurso de investidura como Doctor Honoris Causa de la Universidad de León. Publicaciones de la Universidad de León, León, 2002.

A. Kaufmann: Introduction a la théorie des sous-ensembles flous a l´usage des ingénieurs. Masson et Cie. Editeurs, Paris, 1973.

J. Lukasiewicz: O zasadzie wylaczonego srodka. Przegl´d Filozficzny 13 (1910), 372-373.

B. Mandelbrot: Los objetos fractales. Tusquets Editores, Barcelona, 1993.

A. Rosenfeld: Fuzzy groups. Journal of Mathematical Analysis and Applications 35 (1971), 512-517.

M. Sugeno: Fuzzy measures and fuzzy integrals, a survey. En Fuzzy automata and decision processes (M.M. Gupta, G.N. Saridis and B.R. Gaines, eds.), North-Holland, New York, 1977, pp. 89-102.

P. Valéry: Cahiers. I. Bibliothèque de la Pléiade, Ed. Gallimard, Paris, 1973.

L. Zadeh: Fuzzy sets. Information and Control 8 (1965), 338-353.

H.J. Zimmermann: Results of empirical studies in fuzzy set theory. En G.J. Klir (ed.): Applied general systems research, Plenum Press, New York, 1978, pp. 303-312.

 



[1] La palabra entropía procede del griego y tiene como significado “evolución”.

[2] P. Valéry: Cahiers. I. Bibliothèque de la Pléiade, Ed. Gallimard, Paris, 1973, pp. 651 y 531.

[3] Existe una versión española traducida de la tercera edición francesa con título Les objets fractals. Forme, hasard et dimension, editada en 1993 por Tusquets Editores, S.A. que lleva por título Los objetos fractales, versión de la que somos tributarios.

[4] El adjetivo latino fractus se puede traducir por interrumpido, irregular.

[5] B. Mandelbrot: Los objetos fractales. Tusquets Editores, Barcelona, 1993, p. 18.

[6] B. Mandelbrot: Los objetos fractales. Tusquets Editores, Barcelona, 1993, p. 21.

[7] Así, los naturalistas observan que una pulga / tiene pulgas más pequeñas que viven a costa de ella / y éstas tienen pulgas más pequeñas que las muerden / y así se sigue “ad infinitum”.

[8] Este apartado ha sido extraído de J. Gil Aluja: La pretopología en la gestión de la incertidumbre. Discurso de investidura como Doctor Honoris Causa de la Universidad de León. Publicaciones de la Universidad de León, León, 2002, pp. 47-78.

[9] Aristóteles: Obras. Lógica. De la expresión o interpretación. Editorial Aguilar, Barcelona, 1977, pp. 258-260.

[10] J. Lukasiewicz: O zasadzie wylaczonego srodka. Przegl´d Filozficzny 13 (1910), 372-373.

[11] J. Gil Aluja: Lances y desventuras del nuevo paradigma de la teoría de la decisión. Proceedings del III Congreso de la Sociedad Internacional de Gestión y Economía Fuzzy, Buenos Aires, 10-13 noviembre 1996 [sin numerar].

[12] L. Zadeh: Fuzzy sets. Information and Control 8 (1965), 338-353.

[13] A. Rosenfeld: Fuzzy groups. Journal of Mathematical Analysis and Applications 35 (1971), 512-517.

[14] A. De Luca, S. Termini: A definition of nonprobabilistic entropy in the setting of fuzzy sets theory. Information and Control 20 (1972), 301-312.

[15] A. Kaufmann: Introduction a la théorie des sous-ensembles flous a l´usage des ingénieurs. Masson et Cie. Editeurs, Paris, 1973, pp. 60-65.

[16] M. Sugeno: Fuzzy measures and fuzzy integrals, a survey. En Fuzzy automata and decision processes (M.M. Gupta, G.N. Saridis and B.R. Gaines, eds.), North-Holland, New York, 1977, pp. 89-102.

[17] H.J. Zimmermann: Results of empirical studies in fuzzy set theory. En G.J. Klir (ed.): Applied general systems research, Plenum Press, New York, 1978, pp. 303-312.

[18] J. Gil Aluja: Génesis de una teoría de la incertidumbre. Discurso pronunciado con ocasión del acto de imposición de la Gran Cruz de la Orden Civil de Alfonso X el Sabio, Barcelona, 20 enero 2000, Real Academia de Ciencias Económicas y Financieras y Reial Academia de Doctors, p. 27.

 

 

Sobre el autor

Jaime Gil Aluja (Reus, 1936) es Doctor en Ciencias Económicas por la Universidad de Barcelona y Catedrático de Economía Financiera de esa universidad. Es Presidente de la Real  Academia de Ciencias Académicas y Financieras de España y miembro de diversas academias de Rumania, Francia, Rusia, España y Bielorrusia. Ha sido investido Doctor Honoris Causa por diecinueve universidades de Argentina, Bulgaria, Bielorrusia, Cuba, Italia, España, Rusia, Ucrania, Francia, México y Kazakhstan. Ha merecido numerosas distinciones en España, Rumania, Italia, Francia, Venezuela y Grecia. Pertenece a varias organizaciones internacionales de carácter docente e investigador y es Presidente de la Sociedad Internacional de Gestión y Economía Fuzzy (SIGEF) y de la Association for the Advancement of Modelling and Simulation Techniques in Enterprises (AMSE), así como Vicepresidente de la Asociación Europea de Dirección de Empresas (AEDEM), Miembro del Conseil Scientifique et de Recherche de l´INSEAC (Bordeaux), Miembro del Consejo Asesor del Instituto Superior de Economía Aplicada (ISEA) de Barcelona, y Miembro del International Advisory Committe de The International School for Information Technology (ISIT) de Andhra Pradesh (India), entre otras asociaciones e instituciones. Es considerado el padre de la nueva Teoría de la Incertidumbre y del desarrollo de las lógicas multivalentes en el ámbito económico y de gestión.

 




(*) Este artículo está motivado por la conferencia del mismo título impartida por su autor en el Curso Interuniversitario Sociedad, Ciencia, Tecnología y Matemáticas 2005 de las Universidades de La Laguna y Las Palmas de Gran Canaria (Canarias, España). Se publica, fraccionado en dos partes, en los números de octubre y diciembre de 2005 de Matematicalia.