Internacional
Escrito por Teresa Crespo Vicente   
viernes, 10 de marzo de 2006
Serge Lang, 1927-2005

Recibido: miércoles, 14 diciembre 2005




Serge Lang, 1927-2005

 

Teresa Crespo Vicente

Departament d'Àlgebra i Geometria

Universitat de Barcelona

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página web: http://atlas.mat.ub.es/personals/crespo

 

 

 

 

Serge Lang, I.

El pasado 12 de septiembre falleció el matemático Serge Lang en Berkeley, California, a la edad de 78 años.

 

Nuestro primer encuentro con Lang fue para muchos su libro Álgebra, obra de referencia traducida a varios idiomas, actualmente en su tercera edición [1], corregida, completada y actualizada, con referencias a la literatura matemática actual y a problemas no resueltos que conectan a los estudiantes con la investigación, entre éstos, la conjetura abc, especialmente querida por Lang. También puede leerse en castellano su obra El placer estético de las matemáticas [2], traducción de Serge Lang fait des maths en public, que recoge tres conferencias sobre números primos, ecuaciones diofánticas y grandes problemas de geometría y espacio, impartidas por Lang en el Palais de la Découverte, Museo de la Ciencia parisino, en los años 1981, 1982 y 1983, a un público no matemático.

 

 

Su vida

 

Lang nació en París, donde vivió y realizó sus primeros estudios, hasta que se trasladó a los trece años a Estados Unidos con su familia. Completó su enseñanza secundaria en California y se graduó como Licenciado en Físicas en la Caltech en 1946. Después de servir en el ejército estadounidense durante año y medio, fue a la Universidad de Princeton. Allí estuvo un año en el Departamento de Filosofía y posteriormente se cambió al de Matemáticas, obteniendo el grado de Doctor en 1951, bajo la dirección de Emil Artin, con el trabajo  On quasi algebraic closure [3].

 

De 1951 a 1953, además de su labor docente en la Universidad de Princeton, fue visitante en el Institute for Advanced Study. Ocupó plazas de Profesor en las Universidades de Chicago, de 1953 a 1955, y de Columbia de 1955 a 1970. En el año 1958 realizó una estancia en París como becario Fullbright. En el momento de su fallecimiento era Profesor Emérito en la Universidad de Yale,  donde ocupaba una cátedra desde el año 1972.

 

En 1960, Lang obtuvo el Premio Frank Nelson Cole en álgebra por su artículo Unramified class field theory over function fields in several variables [4]. Este prestigioso premio fue fundado por la American Mathematical Society (AMS), en honor del Profesor Frank Nelson Cole, con motivo de  su cese como Secretario de dicha institución y como Editor Jefe del Bulletin of the AMS después de ocupar ambos cargos durante más de veinte años, y es otorgado cada lustro, alternando con el Premio del mismo nombre en teoría de números.  En 1967 Lang obtuvo el Premio Carrière de la Academia de Ciencias Francesa y en enero de 1999, el Premio Leroy P. Steele de exposición matemática por sus numerosos libros de matemáticas. Entre éstos, el Comité de Selección destaca las obras Algebra, Algebraic number theory e Introduction to Arakelov theory.

 

Lang era miembro de la Academia Nacional de Ciencias de Estados Unidos. Además de las matemáticas, amaba la música. En distintos periodos de su vida tocó el piano y el laúd.

 

Las áreas de matemáticas en las que Lang estaba interesado comprenden álgebra, teoría de números, geometría algebraica y análisis, que al parecer definía como “teoría de números en el infinito”. Sus contribuciones a la teoría de cuerpos de clases, la geometría algebraica y la teoría de variedades de dimensión infinita le valieron reconocimiento universal.

 

 

Serge Lang, II.

Además de su prestigio como matemático, Lang era conocido por su enorme interés en la enseñanza de las matemáticas, tanto en el nivel universitario como preuniversitario, así como por la vehemencia con que defendía sus ideas y su costumbre de no rehuir la polémica cuando defendía una causa que creía justa. Esta actitud suya no se limitaba a los temas científicos o académicos, sino que criticaba toda falta de veracidad o rigor en los medios de información.

 

Otro de los temas en que se involucró fue el uso o mal uso de las matemáticas en ciencias sociales y en biología. A raíz de la publicación en Notices of the AMS de un artículo sobre el uso de un modelo matemático para el estudio del virus de la inmunodeficiencia humana (VIH) como causante del síndrome de inmunodeficiencia adquirida (SIDA) [ver http://www.ams.org/notices/199602/kirschner.pdf], Lang elabora una extensa documentación en la que detalla sus fuertes objeciones contra el abuso de modelos matemáticos en conexión con el VIH y discute la relación entre SIDA y VIH. La no aceptación para su publicación en el Forum de Notices de un artículo de Lang explicando su opinión sobre este tema hace que éste renuncie como miembro de la AMS, cómo explica él mismo al aceptar el Premio Steele [ver http://www.ams.org/notices/199904/comm-steele-prz.pdf].

 

También era Lang enemigo declarado de  la burocracia y las trabas administrativas, así como de rellenar informes para la administración si los juzgaba sin sentido. Su arma en las luchas en que se involucraba eran sus llamados Files (expedientes), en los que recogía toda la documentación y correspondencia relativa al caso que le interesaba para enviarla a diversos miembros de instituciones académicas, así como a periodistas [5]. En una entrevista que le hace Anthony Liversidge, Lang  explica que su educación francesa hasta los trece años, que  le procuró entrenamiento en escribir y organizar sus ideas, y sus estudios de filosofía le fueron útiles para establecer un método propio de actuación para usarlo en su discurso intelectual, académico, político y periodístico.

 

Es, asimismo, conocida su insistencia en reconocer justamente la autoría y primacía de los resultados matemáticos, así como en asignar a las conjeturas el nombre de la persona adecuada. En este tema es famosa su controversia con André Weil y su opinión de que es injusto asignar el nombre de éste a la conjetura que afirma la modularidad de las curvas elípticas definidas sobre el cuerpo de los racionales (ahora ya un teorema debido a Wiles, Taylor y Diamond) [6].

 

Tuve ocasión de ver a Lang en persona en agosto de 1999 durante una estancia en el MSRI en Berkeley al asistir a su charla The abc conjecture en el Departamento de Matemáticas. Recuerdo su entusiasmo y energía, así como sus críticos comentarios sobre la terminología de las autoridades universitarias y gubernamentales en Estados Unidos, que imponen una determinada jerga como condición previa para obtener financiación para proyectos educativos o de investigación. Crítica, por otra parte, perfectamente aplicable a las instancias europeas.

 

Su obra

 

La producción matemática de Serge Lang comprende más de sesenta libros y unos ochenta artículos de investigación, además de artículos de revisión y contribuciones al Seminario Bourbaki y al Seminario de Teoría de Números Delange-Pisot-Poitou. Sus artículos y varias de sus monografías, muchas de ellas previamente publicadas como libros o lecture notes, están recogidas en sus obras completas, publicadas por Springer en cinco volúmenes, de los cuales el quinto comprende sus trabajos en colaboración con Jay Jorgenson [7, 8]. 

 

Manuales

 

Los libros de Lang incluyen varios libros de texto, que cubren distintos niveles de la enseñanza universitaria e incluso preuniversitaria.

 

En Basic mathematics and geometry: A high school course, escrito con Gene Murrow, Lang incluye lo que, en su opinión, deberían conocer los estudiantes al llegar a la Universidad. Su libro First course calculus, reimpreso como Short calculus, comprende las nociones elementales de análisis correspondientes a un primer curso de Universidad. Las nociones básicas de álgebra están cubiertas por sus Linear algebra, Undergraduate algebra y Algebraic structures. En todos estos libros la exposición es sumamente clara, se evita toda abstracción y se incluyen ejemplos y ejercicios.

 

Lang escribió también varios libros de texto para niveles más avanzados de la Licenciatura en Matemáticas. Su  Álgebra, ya citada, cambió la forma de enseñar álgebra, manteniendo temas clásicos pero introduciendo lenguaje y maneras de pensar de teoría de categorías y álgebra homológica, ejerciendo influencia sobre los libros de álgebra posteriores. Otras de sus obras cubren cálculo de varias variables, análisis real y complejo, geometría diferencial, geometría algebraica y variedades de Riemann. Su Algebraic number theory comprende la teoría básica de cuerpos de números, completaciones y ramificación así como teoría de cuerpos de clase y teoría analítica. La segunda edición incluye un teorema de Faltings sobre representaciones l-ádicas del grupo de Galois absoluto de un cuerpo de números, usado por Faltings en su prueba de la conjetura de Mordell.

 

Textos divulgativos

 

La inquietud de Lang respecto a la divulgación de las matemáticas queda reflejada en  El placer estético de las matemáticas, ya citado, dirigido a un público no matemático. Este libro transcribe las charlas de Lang tal como se dieron, es decir, en forma de diálogo con el público. Al leerlo uno desearía haber presenciado estas charlas, ya que es sorprendente cómo Lang logra conectar con los asistentes y provocar su interés en temas que introduce de forma muy básica, pero va desarrollando hasta llegar a enunciar conjeturas vigentes. En la primera charla ¿Qué hace un matemático y por qué? Números primos, Lang deja patente que hace matemáticas por placer y concluye esta charla diciendo: “Os he dicho lo que me gusta, os enseño lo que me gusta y espero que os guste. Si es así, es todo lo que quería”. Jean Brette, responsable entonces de la sección de Matemáticas del Palais de la Découverte, relata en la introducción que, cuando invitó a Lang a dar una de las charlas que tenían lugar los sábados no tenía dudas en cuanto a su talento matemático, pero sí de sus dotes de orador y para comunicar con el público. Al hacer partícipe al propio Lang de sus temores, éste contestó que un buen profesor no es sólo un especialista de su disciplina sino también un actor, sensible a las reacciones del público, y que quería explicar al público qué son las matemáticas haciendo matemáticas con ellos.

 

 

Portada del libro

Math Talks for Undergraduates.

Durante muchos años, Lang impartió charlas a estudiantes sobre temas matemáticos elegidos que pudieran exponerse a un nivel inteligible para quien hubiera realizado un primer curso de cálculo matemático. Este tipo de charlas tuvo lugar en Bonn, en la Universidad de Montreal, en la École Normale Supérieure de París, en la Universidad Humboldt en Berlín, en el ETH de Zurich, en Berkeley y en la Universidad de Tejas en Austin. Algunas de estas charlas se recogen en el libro Math talks for undergraduates [9]. Los temas elegidos son: números primos, incluyendo el teorema de los números primos y la hipótesis de Riemann; la conjetura abc, para polinomios y para enteros; integración de campos vectoriales; teoremas de aproximación en análisis, mencionando el núcleo del calor y la ecuación funcional de la función zeta de Riemann; espacios de Bruhat-Tits; y polinomios armónicos y simétricos. En la introducción, Lang critica la actitud de los políticos que opinan que sólo debe financiarse la investigación que tiene aplicación inmediata, hace notar que históricamente hay descubrimientos que hallan aplicaciones de forma inmediata y otros que sólo las encuentran varias décadas o incluso siglos más tarde, e indica que una aplicación inmediata es formar un cuerpo competente de enseñantes de matemáticas a todos los niveles. Afirma: “Hay una considerable evidencia: estamos naturalmente programados para que nos gusten las matemáticas (a todos los niños de cinco años que he conocido les gusta sumar y restar), hasta que el placer se estropea por una enseñanza incompetente u otros factores sociales”.

 

Monografías

 

En 1962 Lang publica su monografía Diophantine Geometry [10], donde expone las interacciones entre problemas diofánticos y geometría algebraica. En varios temas (teorema de Mordell-Weil, teorema de Thue-Siegel-Roth) trata simultáneamente el caso de cuerpos de números y el de cuerpos de funciones. Mordell, en un informe que se hizo famoso, atacó el libro por su estilo y punto de vista, que consideraba excesivamente formal y abstracto. Poco después, Siegel escribió una carta a Mordell coincidiendo con el contenido de su informe. El desarrollo posterior de la geometría diofántica, así como los frutos obtenidos de las interacciones entre los resultados para cuerpos de números y cuerpos de funciones han dado la razón a Lang, como él mismo expone en su artículo en Notices sobre el tema [11]. Cabe destacar el desarrollo de la teoría de Arakelov, así como la nueva prueba de Vojta de la conjetura de Mordell (teorema de Faltings): “Una curva no singular de género mayor o igual que dos sobre un cuerpo de números tiene un número finito de puntos con coordenadas en el cuerpo de números”. Lang enunció una conjetura que generaliza este resultado considerando subvariedades de variedades abelianas. Esta conjetura es actualmente un teorema debido a Faltings y Hindry. En 1983 aparece Fundamentals of Diophantine geometry [12], una edición ampliada de Diophantine geometry, que pone de manifiesto los enormes avances realizados en este campo durante los 20 años transcurridos entre las dos ediciones.

 

En su carta a Mordell, Lang, como respuesta al informe de éste, indica: “No veo razón para prohibir que se escriban monografías muy avanzadas, presuponiendo un conocimiento sustancial en algunos campos y por tanto permitiendo exposiciones a un nivel que quizá es apreciado únicamente por unos pocos pero que consigue una cierta coherencia que de otro modo no sería posible”. Añade que de un mismo tema puede escribirse tanto una monografía avanzada como una asequible a estudiantes de primer año de licenciatura sin que ninguna de ellas sea superior a la otra y que, de hecho, él mismo escribió Elliptic curves: Diophantine analysis [13], en el que trata problemas diofánticos haciendo especial referencia a curvas elípticas.

 

Varias de las monografías escritas por Lang son monografías avanzadas e incluyen temas actuales de investigación y resultados novedosos. Así, gran parte de los temas abordados en Introduction to modular forms no podían  encontrarse previamente en libros de texto. Lo mismo ocurre con Introduction to Arakelov theory, que permite entrar en avances recientes en geometría aritmética. En Cyclotomic fields se presentan los resultados recientes de la teoría de Iwasawa.

 

También era habitual en Lang revisar y actualizar las segundas ediciones de sus libros. En la segunda edición de Introduction to algebraic and abelian functions añade, entre otros temas,  un estudio detallado de la curva de Fermat.

 

Artículos de investigación

 

Los temas tratados por Lang en sus  artículos de investigación abarcan geometría algebraica y diofántica (este último término fue acuñado por Lang para título de su monografía ya citada),  números transcendentes, aproximación diofántica, teoría de números analítica, teoría de representaciones, curvas modulares y ecuaciones diferenciales.

 

Sus artículos más destacados comprenden sus tempranos trabajos sobre cómputo de puntos de variedades sobre cuerpos finitos en colaboración con André Weil [14], sobre teoría de cuerpos de clases en contexto geométrico, en parte en colaboración con Jean-Pierre Serre [4], [15], de geometría algebraica en colaboración con John Tate [16], y sobre grupos algebraicos y extensiones fuertemente normales de cuerpos diferenciales, con Ellis Kolchin [17].

 

En los años 1960 y 1970 Lang escribe  numerosos artículos sobre teoría de transcendencia y aproximación diofántica sobre grupos algebraicos, incluyendo un trabajo conjunto con John Coates [18]. Del año 1971 es su primer trabajo sobre teoría de números analítica [19].  Un tema de investigación de Lang durante los años 1970 fue el uso de funciones modulares en teoría de números, especialmente para la generación de unidades en cuerpos de números. Este trabajo, realizado juntamente con Daniel Kubert, dio lugar a un gran número  de artículos y culminó en su libro Modular units [20]. Durante los 1980, Lang  volvió de nuevo a la teoría de ecuaciones diofánticas al trabajar con Vojta y ayudó a situar las conjeturas de éste en un contexto más amplio de geometría diferencial e hiperbólica. Finalmente, en la última década del siglo XX, el trabajo matemático de Lang se centró en teoría de números analítica y sus conexiones con análisis espectral, el núcleo del calor, geometría diferencial, grupos de Lie y espacios simétricos, dando lugar a varios artículos y las monografías [21, 22] en colaboración con Jay Jorgenson.

 

Además de probar teoremas, Lang gustaba de hacer conjeturas, a veces basadas en intensas investigaciones y experimentaciones o en analogías, otras veces aparentemente basadas en su innata intuición matemática. Un ejemplo de lo primero es la influyente y aún no probada conjetura de Lang-Trotter, descrita en [23], sobre distribución de los automorfismos de Frobenius en extensiones galoisianas del cuerpo de los números racionales cuyo grupo de Galois sea subgrupo abierto del producto de los grupos GL2(Zp) de matrices invertibles 2x2 sobre el anillo de enteros p-ádicos, con p recorriendo todos los primos. Un ejemplo de lo segundo, es su conjetura de la altura, basada en una prueba incompleta de un caso especial por Demjanenko. Esta conjetura afirma que la altura canónica de un punto racional de una curva elíptica E definida sobre los enteros, que no sea punto de torsión, está acotada inferiormente por el producto de una constante por el logaritmo del valor absoluto del discriminante de la curva.  Por tanto, resulta que esta conjetura de la altura de Lang tiene fuertes conexiones con la conjetura de Szpiro y la conjetura abc de Masser-Oesterlé. Muchas de las conjeturas de Lang sobre cuestiones diofánticas se hallan resumidas en sus dos artículos [24, 25]. En su artículo [26], Lang explica cómo la geometría diferencial de una variedad compleja debería determinar la distribución cualitativa de las soluciones racionales del sistema de ecuaciones diofánticas que la definen.  

 

 

Referencias

 

[1]        S. Lang: Algebra (3rd. ed.) Graduate Texts in Mathematics 211. Springer-Verlag, Berlín, 2004 [Versión castellana: Aguilar, 1971].

[2]        S. Lang: El placer estético de las matemáticas. Alianza Editorial, 1992.

 

[3]        S. Lang: On quasi algebraic closure. Ann. of Math. (2) 55 (1952), 373-390.

[4]        S. Lang:  Unramified class field theory over function fields in several variables. Ann. of Math. (2) 64 (1956), 285-325.

[5]        S. Lang: The file. Springer-Verlag, New York, 1981.

[6]        S. Lang: Some history of the Shimura-Taniyama conjecture. Notices Amer. Math. Soc. 42 (1995), no. 11, 1301-1307 [Disponible en http://www.ams.org/notices/199511/forum.pdf].

[7]        S. Lang:  Collected papers, Vols. I-IV. Springer-Verlag, New York, 2000.

[8]        S. Lang:  Collected papers, Vol. V (with J. Jorgenson). Springer-Verlag, New York, 2001.

[9]        S. Lang: Math talks for undergraduates. Springer-Verlag, New York, 1999.

[10]      S. Lang: Diophantine geometry. John Wiley and Sons, New York, 1962.

[11]      S. Lang: Mordell's review, Siegel's letter to Mordell, Diophantine geometry, and 20th. century Mathematics. Notices Amer. Math. Soc. 42, no. 3 (1995), 339-350.

[12]      S. Lang: Fundamentals of  Diophantine geometry. Springer-Verlag, New York, 1983.

[13]      S. Lang: Elliptic curves: Diophantine analysis. Springer-Verlag, New York, 1978.

[14]      S. Lang: A.Weil: Number of points of varieties in finite fields. Amer. J. Math. 76 (1954), 819-827.

[15]      S. Lang, J.-P. Serre : Sur les revêtements non ramifiés des variétés algébriques. Amer. J. Math. 79 (1957), 319-330.

[16]      S. Lang, J. Tate: Principal homogeneous spaces over abelian varieties. Amer. J. Math. 80 (1958), 659-684.

[17]      E. Kolchin, S. Lang: Algebraic groups and the Galois theory of differential fields. Amer. J. Math. 80 (1958), 103-110.

[18]      J. Coates, S. Lang: Diophantine approximation on Abelian varieties with complex multiplication. Invent. Math. 34 (1976), 129-133.

[19]      S. Lang: On the zeta function of number fields. Invent. Math. 12 (1971), 337-345.

[20]      D.S. Kubert, S. Lang: Modular units. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1981.

[21]      J. Jorgenson, S. Lang: Basic analysis of regularized series and products. Lecture Notes in Mathematics 1564. Springer-Verlag, Berlin, 1993.

[22]      J. Jorgenson, S. Lang: Posn(R) and Eisenstein series. Lecture Notes in Mathematics 1868. Springer-Verlag, Berlin, 2005.

[23]      S. Lang, H. Trotter: Frobenius distributions in GL2-extensions. Lecture Notes in Mathematics 504. Springer-Verlag, Berlin, 1976.

[24]      S. Lang: Conjectured Diophantine estimates on elliptic curves. En: Arithmetic and geometry, Vol. I. Progr. Math. 35. Birkhäuser, Boston, MA, 1983, pp. 155-171.

[25]      S. Lang: Old and new conjectured Diophantine inequalities. Bull. Amer. Math. Soc 23 (1990), no. 1, 37-75.

[26]      S. Lang: Hyperbolic and Diophantine analysis. Bull. Amer. Math. Soc. 14 (1986), no. 2, 159-205.

 

 

Sobre la autora

Teresa Crespo Vicente es Profesora Titular del Departamento de Álgebra y Geometría de la Universitat de Barcelona y miembro del Seminari de Teoria de Nombres. Sus temas principales de investigación son la Teoría de Galois clásica y la Teoría de Galois diferencial.