Recibido: miércoles, 22 enero 2005; revisado: miércoles, 16 marzo 2005

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Geometría de Lorentz, el Universo en una hoja de papel

 

Alfonso Romero

Departamento de Geometría y Topología

Universidad de Granada

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página web: http://www.ugr.es/~aromero

 

 

A lo largo de toda la Historia, el hombre se ha cuestionado con muchas preguntas acerca de la Naturaleza. Sin duda, este afán por entender el mundo es una característica de racionalidad que distingue al ser humano. En palabras del premio Nobel de Física, Murray Gell-Mann: Entender el Universo, cómo funciona, de donde viene y hacia donde va, es el reto más importante en la historia de la Humanidad.

 

 

Tantos científicos usando la Geometría Euclídea durante tanto tiempo no podían estar equivocados; su rango de aplicación parecía ser inmenso, incluso Newton la asumió como la matemática apropiada para formular su Teoría de Gravitación Universal (en 1687 publicó su obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, con los fundamentos de la Física y la Astronomía escritos en términos puramente geométricos).

 

El funcionamiento del Sistema Solar que describió Newton y las observaciones estaban (aparentemente) en completo acuerdo. Pero, con el paso de los años, el espectro de conocimientos se fue haciendo más amplio, y la técnica más sofisticada. Fue a finales del siglo XIX cuando se empezaron a ver ciertas dificultades para aplicar la física clásica a algunos fenómenos relacionados con la luz. La creación de una nueva teoría física llevaba aparejada el desarrollo de una nueva geometría. Pero existían algunas dificultades para llevar a cabo la colosal empresa del estudio del Universo:

 

1.     A veces, los sentidos nos engañan. Tome el lector un cilindro hecho con una hoja de papel. Antepóngalo al ojo derecho como si de un catalejo se tratase y a la vez, sin cerrar el ojo izquierdo, apóyese la mano en el cilindro por la mitad, de manera que la palma quede hacia su rostro. El cerebro tiene entonces que procesar las imágenes distintas que percibe por cada ojo, hasta formar una sola: ¡nuestra mano izquierda atravesada por un agujero! Necesariamente no debemos etiquetar lo percibido como realidad incuestionable.

 

2.      Otras veces, nos muestran la realidad sólo parcialmente. Si unos seres planos, es decir, bidimensionales, viviesen en la superficie de un cuadro, sólo serían conscientes de las dos dimensiones de su mundo, pero no detectarían el movimiento del cuadro, llevado de forma cuidadosa, de una a otra sala del museo. Nosotros, seres tridimensionales, puede que estemos también sujetos a un movimiento extra en otra dimensión no espacial, de la que no somos conscientes: el tiempo.

 

3.     Finalmente, y por desgracia, no podemos salir del Universo para contemplar cómo es. Los seres humanos somos parte del Universo que queremos describir, y no siempre es uno capaz de contemplar lo que tiene ante sus ojos si está demasiado cerca. Si no me cree el lector, le animo a que pida a alguien que le coloque justo pegado a su nariz una lámina grande de un cuadro famoso (durante la operación, se deben mantener cerrados los ojos). Difícilmente sabrá con certeza de qué obra se trata, aunque sea una de sus preferidas: está demasiado cerca de él. Cuando los astronautas salen de la Tierra en sus cohetes perciben claramente qué forma tiene nuestro planeta. Más difícil, sin duda, fue llegar a la misma conclusión desde la superficie de la Tierra.

 

El Universo tiene cuatro dimensiones: tres espaciales y una temporal. Nos parece que todos percibimos espacio y tiempo de la misma manera, pero, asombrosamente, ¡no es así! Cada uno dispone de un espacio físico privado que cambia con el paso del tiempo de su reloj. Parafraseando a Heráclito en nadie se puede bañar dos veces en el mismo río, podemos decir que nadie tiene ante sí el mismo espacio físico en dos ocasiones distintas. Hay una situación en la vida cotidiana que guarda cierta semejanza con esta que acabamos de explicar. Cuando un médico realiza un escáner a la cabeza de un paciente, la máquina proporciona imágenes bidimensionales que se pueden pensar como rebanadas virtuales de la cabeza (tridimensional). Este ejemplo nos sirve para ilustrar cómo, en cada instante del tiempo de su reloj, cada uno ve una rebanada espacial de la totalidad del universo espaciotemporal.

 

Además, el espacio físico privado de una persona es distinto del de cualquier otra. La relatividad del espacio físico de cada uno puede pensarse como una percepción individual del universo espaciotemporal. El conocimiento de muchos de estos espacios tridimensionales privados no conlleva de manera precisa el del universo del que se han observado; así, por muchas imágenes bidimensionales que realice el escáner, el especialista sabrá sólo con cierta aproximación el volumen de un tumor del que ha visto varias rebanadas; lo mismo ocurre, a otro nivel, con un cuadro surrealista, pongamos del pintor Salvador Dalí, que contemplado por varias personas sugiere algo distinto a cada una que lo observa. El conjunto de todas estas impresiones particulares no determina con todo detalle la obra de arte al completo.

 

Mientras que cada uno usa en su espacio físico relativo la Geometría Euclídea, no parece ser ésta adecuada para tratar con el universo espaciotemporal en su conjunto. La geometría apropiada es la Geometría de Lorentz cuatridimensional (llamada así en honor de H.A. Lorentz, 1853-1928). Además de los argumentos anteriores, la clave se encuentra en la noción de curvatura. En toda geometría se encuentra la noción de curvatura (debida fundamentalmente a Gauss y Riemann). Ésta permite distinguir entre espacios desde dentro de cada uno. Usando la curvatura, un ser bidimensional que viviese sobre una esfera o un elipsoide sabría con certeza sobre cuál de éstas superficies se encuentra (naturalmente, sin abandonar dicha superficie).

Figura 2. H.A. Lorentz (1853-1928).

 

Cuando hay fuentes gravitatorias o de radiación electromagnética se produce cierta curvatura en el espaciotiempo, al igual que si uno deja caer una bola pesada sobre una malla elástica, ésta se curva por el peso de la bola. Esa fue la genial idea de Albert Einstein (el creador de la nueva forma de entender el Universo) para establecer la Teoría de la Relatividad. Einstein postuló cómo la masa y la radiación producen curvatura del espaciotiempo mediante una ecuación diferencial que hoy llamamos la ecuación de campo de Einstein.

 

Cada región del Universo ha de entenderse como un continuo de dimensión 4 sobre el que aparece definida una solución de la ecuación de campo de Einstein. La incógnita de esta ecuación diferencial es una métrica de Lorentz, objeto que tiene en relatividad un papel análogo al del potencial gravitatorio producido por una densidad de masa según la ecuación de Poisson en gravitación clásica.

 

A. Einstein (en 1905, con sólo 26 años y siendo empleado de la oficina de patentes de Berna) publicó el artículo Zur Elektrodynamik bewegter Körpen (Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento[1]), Annalen der Physik  (1905), 891-921 (Max Planck era por entonces editor de la revista) en el que establece lo que luego se dio en llamar la Teoría de la Relatividad Especial (o Restringida). Al parecer, Einstein desarrolló en su artículo ideas que ya le preocupaban desde la adolescencia. Varios años más tarde, Einstein publicó, como generalización a su artículo anterior, su Teoría de la Relatividad General[2] en Zur allgemeinen Relativitätstheorie (Sobre la Teoría de la Relatividad General), Königlich Preissische Akademie der Wissenschaften (Berlin), Sitzungsberichte (1915), 778-786, con la intención de estudiar regiones del universo espaciotemporal no vacías.

Figura 3. A. Einstein (1879-1955).

 

La Geometría de Lorentz está bien fundamentada, pero es difícil de imaginar: las figuras se contemplan de una nueva forma, alejada de la intuición. Existen, por ejemplo, un tipo de triángulos, llamados triángulos hiperbólicos, que tienen la propiedad de que dos de sus lados miden juntos (con el criterio para medir específico de esta geometría) menos de lo que mide el otro, contrariamente a lo que el sentido común nos sugiere. Esta propiedad geométrica dio, en su momento, una explicación satisfactoria a una paradoja que pretendía probar, ni más ni menos, que la Teoría de la Relatividad era contradictoria (la paradoja de los gemelos).

 

La Relatividad einsteniana predice que un rayo de luz debe curvarse cuando pasa cerca de un cuerpo celeste de gran masa. En efecto, estudiando las geodésicas luminosas del universo espaciotemporal que K. Schwarzchild construyó en 1916, se puede obtener el ángulo que debería doblarse la luz cuando pasa cerca de una gran masa en su viaje desde una estrella hasta la Tierra. Estos datos teóricos están de acuerdo, con una exactitud más que aceptable, con los experimentales obtenidos por la observación, mediante un telescopio, de las proximidades del Sol durante uno de sus eclipses. 

 

Hemos comentado someramente el papel de la Geometría de Lorentz en la explicación de ciertos hechos físicos. Esto es ciertamente importante, pero lo realmente sorprendente son las predicciones que hace la geometría sobre el comportamiento del Universo en su conjunto, tanto en un futuro como en un pasado lejanos. La Cosmología relativista ocupa la investigación de muchos científicos y tiene importancia en varios niveles del conocimiento humano. A. Friedmann (1922) y G. Lemaître (1927) descubrieron en papel de manera independiente y usando la ecuación de Einstein, que el Universo debería estar dilatándose. Einstein quedó maravillado del argumento matemático que condujo a esta interpretación física (a pesar de lo restrictivo del modelo de universo empleado), pero tardó en aceptar esta posibilidad, quizá aplicando su conocida frase: Cuanto más se parecen las matemáticas a la realidad, menos ciertas son; cuando más ciertas son, menos se parecen a la realidad. Pero en 1929, el famoso astrónomo E. Hubble obtuvo una ley experimental (es decir, mediante observaciones con su telescopio) de la expansión de las galaxias cuyas cifras coincidían con las que predijeron Friedmann y Lemaître, por argumentos de Geometría de Lorentz.

 

 

Figura 4. La luz de una estrella se dobla al pasar cerca del Sol en su viaje hasta la Tierra.

 

Lemaître, usando un razonamiento de continuidad, también pensó: Si hoy en día el Universo se dilata, en el pasado tuvo que ser mucho más pequeño, mucho más denso y condensado en un átomo primitivo. Cómo surgió el Universo de este átomo primitivo se nombra como el Big Bang. ¡Algunos pensaron que era una explicación científica del principio del Universo! Pero la afirmación de Lemaître necesitaba de una evidencia experimental, y ésta se obtuvo cuando A. Penzias y R. Wilson descubrieron en 1965 la radiación de fondo prevista por Gamow (en 1978 recibieron por ello el premio Nobel de Física).

 

A partir de los 70 se produce una revolución científica con el uso de técnicas muy sofisticadas de Geometría de Lorentz en Cosmología. S. Hawking y R. Penrose establecieron de una forma general (Lemaître sólo usó un modelo geométrico concreto para el Universo) la existencia del Big Bang. En breve, podemos decir que demostraron teoremas geométricos cuya interpretación física era que, bajo condiciones físicas razonables, un universo espaciotemporal ha de tener una singularidad en su pasado que se interpreta como su instante inicial.

 

Pero la verdadera novedad de su investigación fue probar, también mediante la Geometría de Lorentz, que las estrellas, siempre que posean masa suficiente, se derrumban sobre ellas mismas por la acción de su propia gravedad, se transforman en agujeros negros (regiones del Universo donde la gravedad es tan fuerte que ni siquiera la luz puede salir de ellas, por lo tanto no las podríamos ver, y de ahí su nombre de agujeros negros).

Figura 5. Agujero negro.

 

Como muy somero resumen de estos cien años de hermosa amistad entre la Teoría de la Relatividad y la Geometría de Lorentz, cabe añadir que hoy la Geometría de Lorentz tiene personalidad propia y es de gran interés desde un punto de vista matemático. No obstante, es sumamente agradable pensar en la posible aplicación física que tienen algunos temas selectos de investigación dentro de ella.

 

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Referencias

 

R.L. Faber: Differential geometry and relativity theory: an introduction. Marcel Dekker, New York, 1983.

S. Hawking's web site, http://www.hawking.org.uk/home/hindex.html.

S.W. Hawking, G.F.R. Ellis: The large scale structure of space-time. Cambridge University Press, Cambridge, 1973.

B. O'Neill: Semi-Riemannian geometry with applications to relativity. Academic Press, New York, 1983.

A. Romero, A.M. Lallena: Espacios vectoriales métricos y Teoría Especial de la Relatividad. Epsilon 5 (1986), 33-37.

A. Romero: Algebra lineal y geometría. Ed. La Madraza, Granada, 1990 [apéndice].

A. Romero: Fundamentos matemáticos de la Relatividad General: Cosmología. Publicaciones del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Murcia, Serie Gris (1996), 81-93.

[Disponible en http://www.ugr.es/~aromero/docs/ConferenciaMurcia.pdf].

A. Romero: Geometría y Relatividad. Una introducción a la geometría básica de la teoría. Epsilon 14 (1998), 305-320.

A. Romero: La forma del Universo. En Fotografiando las Matemáticas, Ed. Carroggio, Barcelona, 2000, pp. 28-31.

R.K. Sach, H. Wu: General relativity and cosmology. Bull. Amer. Math. Soc. 83 (1997), 1101-1164.

J.M. Sánchez Ron: Einstein, la relatividad y las matemáticas. La Gaceta de la RSME 7 (2004), 153-184.

I.M. Yaglom: A simple non-Euclidean geometry and its physical basis. Springer-Verlag, New York, 1979.

A. Einstein archives on line, http://www.alberteinstein.info.

Living Reviews in Relativity, http://relativity.livingreviews.org.

 

 

 

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