Recibido: miércoles, 22 diciembre 2004

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Matemáticas y papiroflexia (*)

III.  Constructibilidad de puntos en origami

IV. Métodos matemáticos de diseño

V. Conclusiones

 

José Ignacio Royo Prieto

Departamento de Matemática Aplicada

Escuela Superior de Ingeniería

Universidad del País Vasco-Euskal Herriko Unibertsitatea

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página web: http://www.ehu.es/joseroyo

 

 

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Constructibilidad de puntos en origami

 

La papiroflexia o, mejor dicho, el ejercicio de doblar papel se puede usar con fines pedagógicos para estudiar e ilustrar la geometría elemental plana. Sobre ello hay numerosos libros, siendo una excelente referencia el de Sundara Row [Row], donde se proponen diversos ejercicios mediante los que se resuelven problemas referentes a cónicas, ecuaciones polinómicas y trigonometría utilizando tan sólo los dobleces del papel.

 

 

Figura 1.

 

La clave consiste en interpretar geométricamente qué estamos haciendo cuando doblamos el papel. Por ejemplo, cuando doblamos los dos lados que concurren en una esquina, uno sobre el otro, estamos calculando una bisectriz. Cuando llevamos un punto del papel sobre otro y doblamos, estamos trazando la mediatriz del segmento que definen los dos puntos. Con papiroflexia es sencillo dibujar un montón de rectas tangentes a una parábola dada por su foco y su recta directora, probar que el área de un triángulo es base por altura partido de dos, o sumar la serie Σ 1/2^ν, sin más que hacer unos cuantos dobleces y pensar su significado. Las posibilidades pedagógicas del plegado son muchas, pero no entraremos en ello, sino más bien en analizar qué puntos son constructibles con origami, de la misma manera que se estudia qué puntos son constructibles con regla y compás.

 

En 1995, D. Auckly y J. Cleveland publicaron una nota en el American Mathematical Monthly en la cual probaban que todo punto constructible con papiroflexia era constructible con regla y compás, pero que el inverso no era cierto. Sin embargo, tal y como hace notar T. Hull en la misma revista (ver [Hull3]), hay un método, desarrollado por el japonés Hisashi Habe en la década de los 70, mediante el cual se puede trisecar cualquier ángulo dado con un par de pliegues que son perfectamente razonables en origami, tal y como vemos en la Figura 1.  ¿Dónde está la contradicción? Lo que ocurre es que a la hora de definir los números constructibles con papiroflexia, hay que realizar una axiomática de lo que consideramos “razonable” de obtener en papiroflexia plegando. En la literatura de la papiroflexia se pueden encontrar métodos para trisecar ángulos, duplicar cubos y doblar heptágonos regulares, todos ellos con pliegues sencillos.

 

Se debe al italo-japonés Humiaki Huzita la formulación de la axiomática más utilizada para definir los puntos constructibles con papiroflexia:

 

 

Era conocido entre los griegos desde tiempos de Arquímedes que si se podían hacer dos marcas en una regla, entonces se podía conseguir la trisección del ángulo, de modo que, dado que en el borde de un papel se puede calcular 1/2, 1/4, 1/8 y así, no es sorprendente que se puedan hacer cosas en origami tales como trisecar ángulos.

 

Los cuatro primeros axiomas se pueden alcanzar con regla y  compás. El quinto, también, y de hecho, el conjunto de puntos constructibles con regla y compás es exactamente el mismo que el de los constructibles con los cinco primeros axiomas, y es equivalente al menor subcuerpo del cuerpo C de los números complejos que es cerrado por raíces cuadradas. El sexto axioma es equivalente a la construcción de una tangente común a dos parábolas, exactamente a las definidas por p₁, l₁ y p₂, l₂. Se puede probar que hacer esto es equivalente a resolver una ecuación de tercer grado.

 

En un artículo de Roger Alperin aparecido en el New York Journal of Mathematics (ver [Alp]) se hace una discusión del alcance de los axiomas presentados, y se caracterizan los “puntos de origami” como aquellos números del plano complejo C constructibles tras la aplicación finita de los axiomas O1-O6. El resultado central es:

 

Teorema (Alperin). El conjunto O de los puntos constructibles con origami se puede caracterizar de las siguientes dos maneras:

 

(i)	El menor subcuerpo de C cerrado por raíces cuadradas, cúbicas y conjugación compleja.
(ii)	El conjunto de los puntos constructibles por intersección de líneas constructibles y cónicas constructibles (con directrices, focos, radios y excentricidades constructibles).

 

Métodos matemáticos de diseño

 

Lo que hemos visto hasta ahora no tiene mucho que ver, en un principio, con las maravillosas figuras de papel con tantas patas, alas y cuernos que pueblan el repertorio de la papiroflexia. En este apartado vamos a tratar de explicar cómo los mejores plegadores del mundo usan las matemáticas para sus diseñar sus modelos.

 

1. Propiedades del mapa de cicatrices de una figura plana

 

Figura 8. Mariquita (Tanaka Masashi) y mapa de cicatrices.

Como hemos comentado antes, al desplegar un modelo de origami descubrimos en el cuadrado un fenomenal mapa de pliegues, un grafo, al fin y al cabo, donde se forman valles (pliegues donde la arista está más baja que el papel próximo) y montañas (pliegues donde la arista del grafo es una cumbre). El problema que nos planteamos, en general, es:

 

Problema. Dado un trozo de papel y un grafo dibujado en el papel donde cada arista es una montaña o un valle, ¿cómo podemos saber si es el mapa de cicatrices de un modelo de papiroflexia?

 

Así planteado, este problema es muy difícil, casi inabordable. Por eso, tal y como se hace en matemáticas, restringiremos nuestra atención a una clase más sencilla: los modelos planos, esto es, figuras de papiroflexia que se pueden meter en un libro sin añadir nuevas cicatrices; o dicho de otro modo, tales que el ángulo diedro en cada arista es múltiplo de π. La gran mayoría de modelos de papiroflexia cae en esta categoría.

 

El grafo del mapa de cicatrices de un modelo plano cumple una serie de propiedades, que han sido estudiadas por diversos plegadores, y que listamos a continuación. Las pruebas son elementales, pero no triviales:

 

• (Maekawa) La diferencia entre el número de pliegues en montaña y en valle en un vértice es siempre 2.
• El grado de cada vértice es par.
• (Meguro) Las caras de un mapa de cicatrices son 2-coloreables.
• (Kawasaki) Sean α₁,...,α_2k todos los ángulos  concurrentes en un vértice, contiguos cada uno con el siguiente. Entonces, tenemos:

α₁ + α₃ + ... + α_2k-1 = α₂ + α₄ + ... + α_2k = π.

• (Hull) La condición anterior es una condición suficiente.

 

T. Hull en [Hull2] halla más resultados sobre las propiedades que tiene que cumplir un grafo para corresponder a un modelo plano, y sobre las posibles asignaciones valle-montaña que tiene un grafo determinado.

 

 

2. Método de Meguro-Kawahata-Lang

 

Figura 9. Base proyectable y mapa de cicatrices de un modelo plano (R. Lang).

Los resultados anteriores nos hablan de propiedades que ha de tener un mapa de cicatrices para que pueda convertirse en un modelo plano, pero otra cuestión distinta es, por ejemplo, si queremos diseñar un ciervo, o una lagartija, cómo nos las podemos ingeniar. Un método es el tan recurrido ensayo-error, basado en la experiencia, el cual tiene sus límites, sobre todo si queremos conseguir un modelo complicado como puede ser un insecto. A continuación voy a intentar describir la formalización del problema que han realizado diversos plegadores, en particular, Toshikuyi Meguro, Fumiaki Kawahata y Robert Lang.

 

Una base es una aproximación esquemática a la figura que queremos obtener. La base resulta de un número finito de pliegues, en cuya forma final se pueden observar las solapas y puntas necesarias, con las longitudes deseadas que nos llevarán al modelo que queremos. Una vez obtenida la base, no es difícil llegar al modelo o, por lo menos, ya es una cuestión artística y abordable.

 

Consideraremos un tipo de bases: aquellas en las que se pueden distribuir las puntas de modo que la base se proyecta ortogonalmente en un grafo plano, simple y sin caras, tal y como vemos en la Figura 9. El problema va a ser saber si dado un grafo de este tipo vamos a poder encontrar un mapa de cicatrices que proporcione una base que se proyecte sobre ese grafo.

 

2.1. Método Meguro-Kawahata de las hipérbolas

 

Vamos a ilustrar la respuesta que dan Meguro y Kawahata (ver [Kawa] y [Voy]) al problema anterior mediante el gráfico de la Figura 10. En primer lugar, idealizamos nuestro modelo. Luego, cuando tenemos el grafo, hemos de distribuir en el papel las puntas de la base. A continuación, nos hemos de fijar en lo siguiente: cuando queremos conseguir dos puntas independientes, en un triángulo, se hace doblando por las tres bisectrices y una de las alturas desde el incentro. Por lo tanto, al pensar que tenemos que meter aquí el tercer vértice de un triángulo, hay que calcular el lugar geométrico de los posibles vértices tal que el incentro cumpla lo que ha de cumplir, y un cálculo sencillo nos proporciona que ese lugar geométrico es una hipérbola. Entonces, allá donde se corten las hipérbolas, o donde se corten con pliegues o puntos que hayamos impuesto, como una diagonal, por ejemplo, obtenemos nuevos puntos de nuestro mapa de pliegues. Con este método podemos tener una primera aproximación al modelo. Luego habría que rellenar los pliegues, para lo que existen otros razonamientos geométricos elementales. El resultado que consigue Kawahata con este método es francamente impresionante.

 

 

 

2.2. El Treemaker de R. Lang

 

El método del árbol (grafo sin caras) de Lang es un método de similar estructura al de Kawahata. Lang permite que los vértices del grafo del modelo estén también en el interior del cuadrado de papel. Vamos a ilustrar su método con el siguiente ejemplo. Para conseguir un perro, diseña un grafo con aristas de determinada longitud, y las distribuye en el cuadrado intentando aprovechar toda la superficie del cuadrado. Ahora cabe plantearse si existirá un mapa de cicatrices conteniendo este árbol que nos lleve a la base deseada. Lang ha encontrado una condición necesaria y suficiente para la existencia de tal mapa de cicatrices, como se enuncia en el siguiente (ver [Lang2]):

 

Teorema (del árbol de Lang). Sea un árbol T simplemente conexo con puntos terminales P₁,...,P_n , y sean l_ij las distancias entre P_i y P_j medidas a lo largo de las aristas del árbol. Sea un conjunto de puntos u_i en el cuadrado unidad. Entonces, la condición necesaria y suficiente para que exista un mapa de cicatrices que transforme el cuadrado en una base cuya proyección sea el árbol T es:

 

.

 

Más aún, en dicha base cada punto P_i  es la proyección del punto u_i, para todo i.

 

De la prueba, que no es en absoluto trivial, se desprende una manera de construir un algoritmo que calcule el mapa de cicatrices deseado. El autor ha implementado el algoritmo en un programa de ordenador para Macintosh, el Treemaker, de libre distribución.

 

Tanto del método de Kawahata-Meguro como del de Lang, por supuesto, se derivan problemas adicionales. El primero es obtener mediante dobleces los ángulos que proporciona el método. El segundo consiste en que, aun obteniendo un mapa de cicatrices, encontrar una secuencia de plegado que nos lleve hasta la figura deseada es realmente complejo. No todo en papiroflexia se basa en métodos matemáticos; la experiencia y la componente artística no se pueden dejar de lado. Esto viene muy bien reflejado en el Origag de la Figura 11.

 

Figura 11. Origag (Roberto Morassi, 1984).

 

Conclusiones

 

Como conclusión, quisiéramos señalar que las conexiones entre las matemáticas y la papiroflexia no son meramente anecdóticas, y de hecho hemos visto cómo afloran de formas muy distintas. No en vano, en Japón se celebran con frecuencia simposios de matemáticos papiroflectas donde exponen y comparten sus técnicas, y aparecen salpicadamente artículos de papiroflexia en diversas revistas matemáticas (no sólo de divulgación). La papiroflexia constituye una atractiva forma de acercarse a las matemáticas, y queremos reivindicar desde estas líneas un hueco para esta bella arte en la enseñanza, por su riqueza cultural y su gran valor pedagógico.

 

Referencias

 

 

Sobre el autor

José I. Royo Prieto es Doctor en Matemáticas por la Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea (UPV/EHU). Tras disfrutar de una Beca Postdoctoral de Formación de Investigadores del Gobierno Vasco/Eusko Jaurlaritza en el Departamento de Xeometría e Topoloxía de la Facultade de Matemáticas de la Universidade de Santiago de Compostela, actualmente es profesor laboral interino en el Departamento de Matemática Aplicada de la Escuela Superior de Ingeniería de la UPV/EHU. Ha dictado varias conferencias y escrito diversos artículos sobre matemáticas y papiroflexia, y coordina una sección sobre este tema en DivulgaMAT, portal de divulgación de las matemáticas de la Real Sociedad Matemática Española.