Recibido: lunes, 21 junio 2004; revisado: jueves, 04 noviembre 2004
Caos en
sistemas biológicos I
Néstor V. Torres
Departamento de Bioquímica y Biología Molecular
Universidad de La Laguna
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1. Introducción
La palabra “caos” ha estado
tradicionalmente asociada a los conceptos de “confusión” y “desorden”. De
hecho, el Diccionario de la Real Academia Española lo define como “aquel estado amorfo e indefinido que se
supone anterior a la ordenación del cosmos”. Esta misma acepción es la que
tiene en el Génesis, el primero de los libros bíblicos, que, en su segundo
versículo, dice: “La tierra era un caos
informe; sobre la faz del abismo, la tiniebla”.
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Figura 1. Póster de El
efecto
mariposa (2004).
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Sin embargo, desde hace más de tres
décadas, en el mundo científico se habla reiteradamente de Teoría del Caos (TC).
Hablar de Teoría, cuyo significado alude a un conjunto de leyes que sirve para
ordenar los conocimientos de una serie de fenómenos, y al mismo tiempo de Caos,
que significa y sugiere desorden, parece un oxímoron, una contradicción en sus
propios términos. ¿Tiene sentido hablar de una teoría del desorden, de una TC?
Es esta aparente paradoja la que la TC viene a resolver, mostrando que,
efectivamente, existe un orden subyacente en los aparentemente más desordenados
e impredecibles de los comportamientos naturales.
El concepto de caos, con su
inevitable referencia al orden subyacente en el desorden, resultó atractivo
desde el primer momento no sólo a la comunidad científica, sino al público en
general. Buena prueba de ello es el éxito que las metáforas sugeridas por esta
teoría han tenido, y sin duda seguirán teniendo, en la industria audiovisual. Como
ejemplo, baste citar algunas recientes producciones cinematográficas como El efecto mariposa (2004), o la
existencia de bandas musicales en cuyo nombre aluden a la TC a través de una de
las imágenes más sugestivas relacionadas con el caos, el denominado “efecto
mariposa”.
2.
Definición de caos determinista
¿Qué es la Teoría del Caos? La TC
puede ser definida como el estudio
cualitativo del comportamiento dinámico aperiódico mostrado por sistemas
deterministas no lineales. Así presentada, esta definición requiere algunas
explicaciones, necesarias para el no iniciado, si se quiere acceder a una
correcta comprensión de la misma.
En primer lugar, hay que precisar
que caos alude a sistemas dinámicos, es decir, aquellos que experimentan
variaciones en el tiempo. Si estas variaciones son tales que ninguna de las
propiedades o variables que caracterizan los cambios observados experimenta
repeticiones regulares de sus valores, la dinámica se dice que es aperiódica. Es fácil entender que un
sistema que muestre una dinámica aperiódica es esencialmente impredecible. Lo
que resulta admirable y sorprendente de la TC es que un comportamiento
aperiódico pueda ser interpretado en términos matemáticos y verificado en
sistemas sencillos. De hecho, veremos que, sistemas que se describen
matemáticamente mediante un conjunto sencillo de ecuaciones, manifiestan un
comportamiento tan complejo e impredecible como el que se observa en los
sistemas aleatorios.
Por otra parte, el término determinista alude al hecho de que
cualquier evolución futura del sistema es una consecuencia de las condiciones
en las que se encuentra éste en el instante inmediatamente anterior.
Precisamente, el impacto que la formalización del comportamiento caótico ha
tenido en la ciencia de nuestro tiempo, es consecuencia del hecho de que vino a
romper la concepción de la Naturaleza que se tenía desde los trabajos de Newton
(1643-1727) y Laplace (1749-1827). Las aportaciones de Isaac Newton están
estrechamente asociadas con el establecimiento del determinismo en la ciencia
moderna, mientras que el segundo, filósofo, físico y matemático francés,
enunció la máxima determinista por excelencia, al afirmar que el comportamiento
futuro de cualquier sistema podría predecirse si se conocieran con suficiente
exactitud los valores de las variables, parámetros y leyes que lo controlan.
Entre ambos construyen un modelo del universo similar a un juego de billar en el
que el comportamiento de los planetas es la consecuencia matemática de las
fuerzas y leyes que operan sobre ellos, hasta el punto de que es posible
predecir no sólo su comportamiento futuro sino el pasado también, como si de
una película se tratara. Desde el trabajo de estos autores, el determinismo
constituye uno de los más importantes conceptos de la ciencia de nuestro
tiempo.
Por último, un sistema es no lineal cuando los efectos no son
proporcionales a las causas, es decir, cuando el sistema no obedece a patrones
predecibles. Durante siglos, las matemáticas y la física sólo se desenvolvieron
con seguridad en el ámbito lineal: ecuaciones lineales, funcionales lineales,
álgebra lineal o programación lineal eran, y son, bien comprendidos. Pero los
problemas no lineales son más difíciles de estudiar, debido, precisamente, a
que los sistemas de este tipo no se comportan de manera “directa” y, por tanto,
no pueden resolverse con las técnicas tradicionales.
Sin embargo, el mundo real es
raramente lineal. Afrontar el análisis y descripción de la naturaleza no lineal
con los recursos de las matemáticas fue el gran reto que numerosos científicos
y matemáticos abordaron a lo largo del siglo XIX, una de cuyas consecuencias
más radiantes es la TC.
3.
Un ejemplo de caos: el atractor de Lorenz
Una vez presentado y definido el concepto de caos determinista, podemos avanzar
algo más en su comprensión por la vía del estudio de un ejemplo de referencia. El primer “investigador” de la TC
propiamente dicho fue un meteorólogo, Edward Lorenz. Lorenz había iniciado en
la década de 1960, una serie de investigaciones dirigidas a resolver el
problema de la predicción meteorológica. Para ello, diseñó un modelo matemático
simplificado, basado en tres ecuaciones diferenciales, bien conocidas en el ámbito de la física
de fluidos.
El modelo
simplificado de Lorenz consiste en el siguiente sistema de ecuaciones:
Estas ecuaciones son ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones
diferenciales son un tipo especial de ecuaciones que utilizan una rama de las
matemáticas denominada cálculo. Son muy
útiles como herramientas de modelado de sistemas físicos, aunque la búsqueda de
sus soluciones debe hacerse, en la mayor parte de los casos, con la ayuda de los
computadores. Las ecuaciones diferenciales tienen distintas soluciones, todas
ellas dependientes de las condiciones iniciales. O, dicho de otra manera: puesto
que las ecuaciones diferenciales constituyen
un modelo del sistema, conocer la evolución futura de éste requiere conocer su
estado actual.
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Figura 2. Edward N. Lorenz.
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Así pues, el modelo de Lorenz
consiste en un conjunto de tres ecuaciones diferenciales en la que cada uno de
los términos ,
,
indica lo que varían cada una de las variables
como consecuencia de las relaciones que se dan entre ellas y los parámetros del
sistema .
No es este el lugar para entrar a describir con detalle el sentido físico de
cada uno de los términos. Bastará con decir que la variable representa la velocidad de rotación de un
cilindro de masa gaseosa; ,
la diferencia de temperatura en los extremos del cilindro; ,
la desviación de la temperatura del sistema. En cuanto a los parámetros, está relacionado con la viscosidad y la
conductividad térmica de la masa de aire; ,
con la diferencia de temperatura entre la parte superior e inferior de la
columna; y ,
con la altura y anchura de la misma.
La representación que, en un espacio
tridimensional los valores de las variables ,
,
adoptan con el tiempo, a partir de unos valores
iniciales dados y para ciertos valores de los parámetros, da como resultado la
imagen que se muestra en la Figura 3, conocida como el atractor de Lorenz. La representación de
las órbitas seguidas, (secuencia de valores de ,
,
para cada instante de tiempo) configura una
imagen tridimensional, asociada a la dinámica caótica del sistema que se
denomina atractor extraño. En éste
puede observarse que las trayectorias se pliegan sobre sí mismas, confinadas en
una región del espacio, moviéndose infinitamente sin pasar nunca por el mismo
sitio, sin cruzarse nunca.
4.
Propiedades del caos
La comprensión de la esencia del
caos requiere la descripción de sus propiedades más significativas. Sin duda, la más llamativa de todas, es la conocida
como extrema sensibilidad a las condiciones
iniciales.
De hecho, esta fue la clave para que
Lorenz detectara la dinámica caótica en su modelo. En un momento dado, este
investigador quiso reproducir una trayectoria que previamente había obtenido,
pero en lugar de iniciar la secuencia a partir de los valores iniciales, se
propuso hacerlo a partir de un punto intermedio. Para ello, introdujo en el
programa de integración numérica los valores de las variables en ese instante
de tiempo. Lo que observó entonces le sorprendió, por inesperado: la nueva
trayectoria se desviaba hasta acabar en un punto totalmente distinto del
original. Esto se ilustra en la Figura 4.
Lo ocurrido, descubrió poco después,
fue consecuencia de que en lugar del valor exacto de las variables, que
previamente habían sido calculadas hasta la sexta cifra decimal, sólo introdujo
en el programa ¡las tres primeras! En cualquier sistema no caótico, esto hubiera
tenido efectos indetectables, o ninguno en absoluto, sobre su evolución temporal. El
hecho de que, en este caso, una variación en la cuarta y quinta cifras decimales
(totalmente fuera del alcance de cualquier procedimiento de medida experimental)
tuviera consecuencias tan dramáticas en la evolución del sistema, era algo nunca
visto antes.
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Figura 4. Extrema sensibilidad a las condiciones
iniciales.
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Este efecto es el conocido como efecto mariposa: la diferencia entre los
valores iniciales de las dos curvas es tan pequeña que es comparable al aleteo
de una mariposa. O, dicho de otra manera, en el contexto de los estudios de
predicción metereológica de Lorenz: “El
aleteo de una mariposa hoy provoca un cambio minúsculo en el estado de la
atmósfera. Con el tiempo la evolución de la atmósfera es tal, que diverge
extraordinariamente del que hubiera tenido de no haberse producido tal aleteo,
de manera que puede llevar a que se genere, al cabo de un mes, un huracán
en Florida, que no hubiera ocurrido de no ser por el aleteo. O, que no se
produzca un tornado que, si no es por el aleteo, hubiera tenido lugar”. Este
fenómeno, común en la TC, se conoce como sensibilidad
a las condiciones iniciales: basta un pequeño cambio en éstas para que el
comportamiento a largo plazo sea totalmente diferente. Y puesto que es
imposible medir con tan alto grado de precisión ninguna variable, la conclusión
es que es imposible predecir la evolución futura de este tipo de sistemas,
particularmente a largo plazo.
Otra de las
propiedades del caos determinista es la ubicuidad. Se viene observando la presencia del
fenómeno caótico en un gran número de sistemas de la más variada procedencia,
entre los que no son los menos importantes los biológicos, y que
desarrollaremos con detalle más adelante. Una interesante cuestión que se puede
plantear aquí es, cuál es la razón de que, a pesar de su ubicuidad, el caos
determinista haya sido descubierto y detectado hace relativamente poco tiempo.
Alguna de las razones que pueden explicar este hecho, tiene que ver precisamente
con los computadores. Los cálculos
implicados en el estudio del caos son repetitivos, tediosos y se requieren por
millones. Esto ha impedido que se avanzara en este campo hasta que los
computadores, con su inmensa capacidad de cálculo, fueron accesibles. En este
sentido, los computadores son para los estudiosos del caos, como los microscopios para el biólogo: sin ellos,
no es posible la exploración fina del caos. Pero, además, es preciso tener en cuenta que, por sus características,
es difícil distinguir el comportamiento caótico del simplemente aleatorio.
La tercera propiedad significativa del caos determinista, es la existencia de
un camino universal hacia el caos. La aparición del comportamiento caótico
responde a unas pautas comunes, independientemente del tipo de sistema del que
se trate. Fue Mitchell Feigenbaum quien, en 1978, demostró la existencia de este
“orden interno”, la existencia de una ruta universal hacia el caos. Esta ruta consiste en un
incremento exponencial de la complejidad de la respuesta dinámica del sistema a
medida que se varía alguno de los parámetros del mismo. Dicha respuesta pasa
sucesivamente por fases de comportamiento periódico oscilatorio en las que el
periodo de oscilación se incrementa exponencialmente hasta llegar a la
situación de periodo infinito, es decir, caos.
