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     ISSN: 1699-7700

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La conjetura de Poincaré Imprimir E-Mail
Escrito por Redacción Matematicalia   
sábado, 29 de septiembre de 2007
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LA CONJETURA DE POINCARÉ. Jules Henri Poincaré (1854-1912) fue el fundador de la topología, rama de las matemáticas que estudia las deformaciones continuas. Una deformación continua permite transformar una superficie en otra estirándola o comprimiéndola sin rasgarla, romperla o unir puntos inicialmente separados. Dos superficies que pueden transformarse una en la otra mediante deformaciones continuas se dicen homeomorfas, y desde una óptica topológica son indistinguibles. Para decidir cuántas superficies topológicamente diferentes existen se hace necesario clasificarlas atendiendo al número de agujeros que presentan. Fue Poincaré quien ideó las teorías necesarias para abordar esta cuestión, definiendo los grupos fundamentales y de homología, conceptos que impulsaron el desarrollo de otra rama de las matemáticas denominada topología algebraica.

El propósito de Poincaré era el de conseguir clasificar todas las superficies cerradas (que dividen al espacio en dos regiones separadas) y acotadas (que se inscriben en una región limitada del espacio), no sólo en el espacio tridimensional, sino también en dimensiones superiores. En matemáticas, a las superficies cerradas y acotadas en espacios de dimensión finita se les denomina compactas. A finales del siglo XIX se sabía que la esfera era la única superficie compacta que no presentaba ningún agujero (entendiendo que cualquier otra superficie con esa característica es homeomorfa a la esfera). Poincaré se planteó estudiar la validez de este resultado en el espacio de dimensión cuatro, en el que las superficies pasan a denominarse variedades, enunciando en 1904 su célebre conjetura: “En el espacio de dimensión cuatro, la única variedad tridimensional compacta y sin agujeros es la esfera”.

En el año 2000, la conjetura de Poincaré fue considerada por el Clay Mathematics Institute de Cambridge (Massachussets) como uno de los siete problemas matemáticos abiertos más relevantes, los llamados Problemas del Premio del Milenio, por cuya solución la entidad concede un millón de dólares. Los trabajos de investigación publicados en los años 2002 y 2003 por el matemático ruso Grigori Perelman han permitido probar la conjetura un siglo después de ser enunciada. En el Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en Madrid en agosto de 2006, Perelman fue galardonado por la Unión Matemática Internacional con la medalla Fields, considerada el premio más importante a escala mundial en el ámbito de las matemáticas.

Más información:

[Viñetas cortesía de J. Morgan]

 
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