Recibido: jueves, 16 junio 2005

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Paradojas con el azar

Santiago Fernández Fernández

Berritzegune de Bilbao-Abando

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¿Cómo osamos hablar de leyes del azar? ¿No es, acaso, el azar la antítesis de cualquier ley?
BERTRAND RUSSELL

1. Introducción

Desde un punto de vista filosófico, una paradoja es una declaración que tiene apariencia verdadera  pero que, analizándola en detalle, conlleva a una auto-contradicción lógica o a una situación que contradice el sentido común. En palabras simples, una paradoja es “lo opuesto a lo que uno considera cierto”.

 

Para muchos, una paradoja es algo que a primera vista parece ser falso pero que en realidad es cierto; o que parece ser cierto pero que en rigor es falso; o, sencillamente, que encierra en sí mismo contradicciones. Según la definición ordinaria, la paradoja es una afirmación aparentemente ilógica o contradictoria, que sin embargo encierra alguna verdad; es paradójico, por ejemplo, aseverar que el fracaso puede llevar al éxito.

 

Las primeras expresiones del término “paradoja” aparecieron como la palabra del latín paradoxum, pero es encontrada también en textos griegos como paradoxon.  Se encuentra compuesta por el prefijo para, que significa “contrario a” o “alterado”, en conjunción con el sufijo doxa, que significa “opinión”.

 

La teoría de la probabilidad es un campo de las matemáticas extremadamente rico en paradojas, verdades que chocan tan fuertemente con el sentido común, que son difíciles de creer aún después de habérsenos enfrentado con sus pruebas. Veamos algunas de las más famosas.

 

2. Paradojas probabilísticas

Quizá la mayor de todas las paradojas es que hay paradojas en matemáticas.
EDWARD KASNER Y JAMES NEWMAN

2.1 Paradoja de J. Bertrand

 

 

Dado un círculo y una cuerda sobre él, tomada al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la longitud de dicha cuerda sea mayor que el lado del triángulo equilátero inscrito en el círculo?

 

Primera solución. En la Figura 2,  llamamos P a uno de los extremos de la cuerda. El otro extremo, T, es elegido al azar sobre la circunferencia. Para que se verifiquen las condiciones del problema, el extremo T debe estar situado sobre el arco AB, siendo PAB el triángulo equilátero inscrito. Pero como AB mide la tercera parte de la longitud de la circunferencia, la probabilidad pedida es igual a 1/3.

 

Segunda solución. En esta solución se caracteriza el segmento AC por su distancia d al centro de la circunferencia. Sobre la Figura 3 (que corresponde al caso límite), esta distancia es OC.

 

Si el radio de la circunferencia  es r, tenemos en este caso OC = r sen 30º= r/2, y por lo tanto la distancia al centro no deberá exceder de r/2. Pero la distancia máxima de una cuerda al centro es r, por lo tanto la probabilidad pedida será:

 

P = (r/2)/r = 1/2.

 

 

 

Tercera solución. Si definimos  la cuerda por la posición de su punto medio, podemos concluir que  la cuerda será más larga que la pedida si dicho punto medio está situado en el interior del círculo concéntrico al original y cuyo radio es la mitad (el pequeño círculo rojo de la Figura 4).

 

 

 

Por tanto, la probabilidad buscada es la razón entre el área del círculo rojo y el área del círculo original, cuyo radio es r (Figura 5). Así, la respuesta es:

 

P = [ π · (r / 2)² ] / [ π · r² ] = 1/4.

 

¿Son correctos estos razonamientos?  Dice Jean-Louis Boursin [2] al respecto:

 

Si nos preguntamos cuál de estas soluciones es la buena, responderemos que las tres son correctas, pero que en realidad se refieren a tres problemas distintos; de un modo más preciso, se refieren a tres mecanismos diferentes de intervención del azar: el enunciado del problema no es lo bastante explícito en cuanto a esto. Por otra parte, sería imposible concebir unos dispositivos experimentales para hace intervenir el azar según uno u otro de estos tres modos.

 

Esta paradoja prueba que es posible la manipulación (¡sin ser conscientes de ello!) de espacios

probabilizables, debido a un enunciado demasiado vago. Desde luego, este aspecto no tiene que resultarnos raro; de hecho, en otros contextos más familiares está perfectamente asumido.

 

 

2.2 Paradojas con la transitividad (Paradoja de Blyth)

Nuestra manera de pensar tiene bastante asumido el concepto de transitividad. Lo empleamos frecuentemente: si A es más alto que B  y  B es más alto que C, entonces razonamos que A es más alto que C. Pero el siguiente caso ya no es tan claro.

Supongamos que tenemos tres candidatos a la presidencia A, B y C. Una encuesta indica que 2/3 del electorado prefieren a A antes que a B, y que 2/3 del electorado prefieren a B antes que a C. ¿Se deduce de esto que la mayoría de votantes prefiere a A antes que a C?

Claramente no, es un caso típico en el que se incumple la transitividad.

Pues bien, resulta que la teoría de la probabilidad abunda en paradojas de este tipo, que a veces ponen en un aprieto al sentido común. Una de ellas es la siguiente.

Consideremos cuatro dados  cúbicos A, B, C y D (Figura 6),

 

 

Figura 6.

 

siendo sus seis caras las siguientes:

 

Dado A: ( 0, 0, 4, 4, 4, 4 )         Dado C: ( 2, 2, 2, 2, 7, 7 )

Dado B: ( 3, 3, 3, 3, 3, 3 )         Dado D: ( 1, 1, 1, 5, 5, 5 ).

 

Ahora seleccionamos dos dados y los lanzamos, quien mayor puntuación obtenga gana. Así, por ejemplo, si los dados son A y B, la probabilidad de que A gane a B es 2/3. De igual modo la probabilidad de que B gane a C es 2/3; la probabilidad de que C gane a D es igual a 2/3 y, por último, D gana a A con probabilidad 2/3. Para calcular estos resultados se puede seguir el siguiente razonamiento, veámoslo con el último caso:

 

 

Figura 7.

 

 

Por tanto, la probabilidad de que D gane a A es: (1/2) + [ (1/2) · (1/3) ] = 2/3.

 

Resumiendo los resultados obtenidos:

 

A gana a B

B gana a C

C gana a D

D gana a A

 

Desde luego es la ley de la no transitividad: siempre hay algún dado que gana a otro y a su vez es ganado por otro. ¿No resulta paradójico?

 

 

2.3 Paradoja de Yule-Simpson

 

Algunas veces pueden suceder cosas alarmantes en probabilidad:

 

Una hipótesis puede ser ratificada en varios estudios independientes, pero falseada en un estudio global.

 

Un ejemplo es la llamada paradoja de Yule-Simpson. Para comprenderla analicemos la siguiente situación:

 

Sobre una mesa hay un sombrero blanco y otro sombrero rojo, conteniendo bolas. El blanco tiene 5 bolas negras y 6 bolas blancas, mientras que el rojo contiene 3 bolas negras y 4 bolas blancas. Encima de otra mesa hay otros dos sombreros, del mismo modo: uno blanco y otro rojo, el blanco conteniendo 6 bolas negras y 3 blancas, y el rojo 9 bolas negras y 5 bolas blancas.

 

Nos acercamos a la primera mesa con la intención de sacar una bola negra. ¿Debemos sacar una bola del sombrero blanco  o del rojo? Obviamente del blanco, pues la probabilidad es igual a 5/11 (en el sombrero blanco) y 3/7 (en el sombrero rojo).

 

Ahora nos acercamos a la segunda mesa, con el mismo propósito. Nuevamente es mejor sacar una bola del sombrero blanco, pues la probabilidad es 6/9 (en el sombrero blanco) y 9/14 (en el sombrero rojo).

 

Resumiendo: en las dos mesas es más conveniente introducir la mano en el sombrero blanco para conseguir sacar una bola negra.

 

Sin embargo, si juntamos las bolas que están en los sombreros blancos y hacemos lo propio con las bolas que están en los sombreros rojos, llegamos a una nueva situación:

 

Sombrero blanco = {11 bolas negras y 9 bolas blancas}

Sombrero rojo = {12 bolas negras y 9 bolas blancas}

 

Y en esta situación, sin embargo, es más fácil sacar una bola negra del sombrero rojo.

 

¿No te parece paradójico?

 

 

Figura 8.

En la literatura científica esta paradoja se conoce como el efecto Yule-Simpson, pues fue estudiada por E. Simpson en 1951 y por  el estadístico británico G.U. Yule en 1903. La  aparente paradoja describe la desaparición de una asociación o comparación significativa de dos variables cuando los datos son desagregados por grupos. También suele decirse que el efecto global puede no representar lo que realmente pasa dentro de los aspectos locales o parciales.

2.4 Paradoja de Monty

El problema de Monty Hall es un problema de probabilidad que está inspirado por el concurso televisivo estadounidense Let's Make a Deal. Su nombre proviene del nombre del presentador, Monty Hall. El enunciado del problema es el siguiente:

Supón que estás en un concurso, y se te ofrece escoger entre tres puertas: detrás de una de ellas hay un coche, y detrás de las otras, cabras. Escoges una puerta, digamos la nº. 1, y el presentador, que sabe lo que hay detrás de las puertas, abre otra, digamos la nº. 3, que contiene una cabra. Entonces te pregunta: “¿No prefieres escoger la nº. 2?”. ¿Es mejor para ti cambiar tu elección?

 

Esa pregunta ha generado un intenso debate y han sido muchas las publicaciones al respecto.  La respuesta se basa en suposiciones que no son obvias y que no se encuentran expresadas en el planteamiento del problema. La respuesta correcta parece contradecir conceptos básicos de probabilidad y por tanto se puede considerar como una paradoja. Pero, veamos la solución, que se basa en tres suposiciones básicas:

 

a)       el presentador siempre abre una puerta,

b)      la escoge entre las restantes después de que el concursante escoja la suya, y

c)       tras ella siempre hay una cabra.

 

Como podemos ver, estas suposiciones no se encuentran explícitamente en el enunciado.

 

La discusión del problema nos lleva a siguiente solución: si el concursante mantiene su elección original entonces gana si escogió originalmente el coche (con probabilidad de 1/3), mientras que si cambia, gana si escogió originalmente una de las dos cabras (con probabilidad de 2/3). Por lo tanto, el concursante debe cambiar siempre su elección.

 

Para convencernos de esta solución pensemos que en vez de tres puertas hubiese diez y tras la elección original el presentador abre ocho de las restantes para mostrar que tras de ellas hay cabras. Si el concursante no cambiase su elección ganaría el coche sólo si lo ha escogido originalmente (1 de cada 10 veces), mientras que si la cambia, ganaría si no lo ha escogido originalmente (y por tanto es lo que resta tras abrir las ocho puertas), ¡9 de cada 10 veces!

 

 

2.5 Paradoja de San Petersburgo

Es, seguramente, la paradoja más famosa de la teoría de la probabilidad, propuesta por Nicolás Bernoulli en el año 1713. Posteriormente fue modificada y estudiada por su sobrino Daniel Bernoulli. El trabajo se publicó en Transactions de la Academia de San Petersburgo. Se puede encontrar un desarrollo extenso en Se puede encontrar un desarrollo extenso en [14]. El problema en su origen tiene, más o menos, el siguiente planteamiento:

Se lanza al aire una moneda hasta que salga cara. Si sale a la primera la banca paga al jugador 1 moneda. Si sale por primera vez la cara a la segunda tirada, la banca le paga 2 monedas. Si sale por primera vez la cara a la tercera tirada, la banca le paga 4 monedas... ¿Cuál debería ser la apuesta del jugador a la banca de modo que ni el jugador ni la banca tengan ventaja de ninguna clase por más que se prolongue el juego?

 

El problema se  puede resolver fácilmente en términos de esperanza matemática de ganar: la probabilidad del evento aparece cara en la tirada n es de 

 

1/2^n-1 (1/2) = 1/2ⁿ.

 

La esperanza de ganar es, pues, la  suma de la serie infinita

 

1/2 + 2(1/2)² + 4(1/2)³ + 8(1/2)⁴ +...+ 2^n-1(1/2)ⁿ +...= 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 +...+ 1/2 +...= ∞ .

 

Así, en honor a la igualdad, el juego no debería tener  lugar.

 

Desde el punto de vista didáctico ilustraremos el problema mediante una partida entre Ana y Juan. La partida se compone de pequeñas “secuencias de lanzamientos” de una moneda. Cada secuencia consiste en que Ana lanza una moneda tantas veces como sea necesario para obtener una cara. Terminada la secuencia, Ana paga a Juan una cantidad fija (digamos 1000 euros), y Juan paga a Ana una cantidad igual a 2k, siendo k la tirada en que ha aparecido la primera cara. Y vuelta a empezar otra partida.

 

Es decir, a modo de ejemplo:

• Si sale la primera cara al primer lanzamiento, Ana paga 1000 euros y Juan paga 2 euros.
• Si sale la primera cara al segundo lanzamiento, Ana paga 1000 euros y Juan paga 4 euros.
• Si sale la primera cara al tercer lanzamiento, Ana paga 1000 euros y Juan paga 8 euros.
• ?
• Si sale la primera cara al décimo lanzamiento, Ana paga 1000 euros y Juan  paga 1024 euros.

Si observamos Ana sólo recuperará su dinero en las secuencias en que la primera cara aparece a partir del décimo lanzamiento. Pero cada vez deberá abonar 1000 euros.

 

Curiosamente Ana podría entrar pagando por tanda no ya 1000 euros, sino 1000000 euros o cualquier cantidad. Su ganancia a la larga es segura. ¿Cómo entender de los resultados del análisis lo que predice el sentido común? La clave está en la pequeñísima probabilidad que tiene Ana de ganar si sólo se juega un número pequeño de tandas.

 

 

2.6 Paradoja de los dos perritos

 

Exponemos aquí dos aparentes paradojas, que no lo son tanto.

 

a)       Una persona tiene dos perritos. Al menos uno de ellos es macho. ¿Qué probabilidades hay de que ambos sean machos?

b)       Una persona tiene dos perritos, uno blanco y el otro negro. El perro blanco es macho. ¿Qué probabilidad hay de que ambos sean machos?

 

La solución del apartado a) suele llevar a la respuesta incorrecta de 0,5; mientras que la buena solución es 0,333 (1 de cada 3). Para entenderla podemos simular la situación mediante el lanzamiento de una moneda (cara = macho = C y cruz = hembra = +). Los resultados posibles son: CC; +C; C+; ++, y de los tres casos posibles únicamente uno de ellos es el favorable.

 

La solución del apartado b) suele llevar igualmente a una respuesta errónea. Muchos piensan que la solución es la misma que el problema anterior (1/3), pues para ellos el color no importa. Sin embargo, la respuesta correcta es 0,5 como fácilmente  se puede comprobar.

 

 

2.7 Paradoja de las  tres cómodas (de R. Smullyan)

 

Un joyero tiene tres cómodas en su casa; cada una de ellas contiene dos cajones. En una de las cómodas, cada cajón contiene un rubí. En otra de las cómodas, cada cajón contiene una esmeralda. Y  en la tercera cómoda, uno de los cajones contiene un rubí y el otro una esmeralda. Si elegimos una de las tres cómodas al azar y al abrir uno de los cajones encontramos un rubí, ¿qué probabilidad hay de que el otro cajón de la misma cómoda contenga también un rubí?

 

Muchos razonan del siguiente modo: una vez abierto el cajón he encontrado un rubí, así que la cómoda de las dos esmeraldas queda descartada. Esto significa que o se ha dado con la cómoda mixta o con la cómoda que contiene los dos rubís; por tanto, la probabilidad pedida es igual a 1/2. ¿Es correcto el razonamiento? Claramente no, pues la probabilidad pedida es igual a 2/3. Pero seguro que el lector sabrá razonar bien y llegar al buen resultado.

 

Referencias

[1]        E. Borel: Las probabilidades y la vida. Muy Interesante, 1986.

[2]        J.L. Boursin: Las estructuras del azar. Martínez Roca, 1958.

[3]        M.S. de Mora: Los inicios de la teoría de la probabilidad, siglos XVI y XVII. Servicio Editorial de la Universidad del País Vasco, 1990.

[4]        J. Díaz Godino et al.: Azar y probabilidad. Síntesis, 1987.

[5]        A. Engel: Probabilidad y estadística, Tomo 1. Mestral, 1988.

[6]        N. Falleta: Paradoxicon. Doubleday and Co., 1983.

[7]        D. Freedman, R. Pisani, R. Purves, A. Adhikari: Estadística. Antoni Bosch, 1993.

[8]        M. Gardner: Paradojas. Paradojas que hacen pensar. Labor, 1983.

[9]        M. Gardner: Viajes por el tiempo y otras perplejidades matemáticas. Labor, 1988.

[10]      Gurupedia: Simpson's paradox, http://www.gurupedia.com/s/si/simpsons_paradox.htm.

Paradoja de Yule-Simpson, b).

[11]      I. Hacking: La domesticación del azar. Gedisa, 1991.

[12]      V. Kashyap: The Monty Hall problem, http://astro.uchicago.edu/rranch/vkashyap/Misc/mh.html. Paradoja de Monty.

[13]      R. Smullyan: El enigma de Sherezade. Gedisa, 1998.

[14]      Stanford Encyclopedia of Philosophy: The St. Petersburg paradox,

http://plato.stanford.edu/entries/paradox-stpetersburg. Paradoja de San Petersburgo.

[15]      Stanford Encyclopedia of Philosophy: Simpson's paradox, http://plato.stanford.edu/entries/paradox-simpson. Paradoja de Yule-Simpson, a).

[16]      J.M. Valderas, E. Olmedo, L. Franco: La paradoja de Bertrand: un problema y varias soluciones. [Disponible en http://www.personal.us.es/olmedo/Paradoja%20de%20Bertrand.pdf].

[17]      Paradoxes of probability, http://home1.gte.net/deleyd/random/probprdx.html. Paradojas generales sobre probabilidad.