Peter D. Lax:
Elementos de sus contribuciones a la matemática
Helge Holden
Department of
Mathematical Sciences
Norwegian University
of Science and Technology
e-mail: holden @ math.ntnu.no
página web: http://www.math.ntnu.no/~holden
1. Introducción
Peter D. Lax ha legado contribuciones seminales a varias ramas de la
matemática. Sus aportaciones entroncan con una larga tradición cuyo epicentro
es la interacción entre la matemática y la física. La física plantea desafíos
cuya resolución precisa de intuición. La matemática puede desvelar propiedades profundas y estructuras internas, mientras
que las demostraciones rigurosas establecen cimientos sólidos para el conocimiento.
John von Neumann, quien ejerció una influencia considerable en Lax, concluyó en
1945 que las herramientas eficientes de
cálculo a alta velocidad pueden ofrecernos, tanto en el campo de las ecuaciones
en derivadas parciales no lineales como en muchas otras áreas que son
ahora difíciles o cuyo acceso nos está
completamente prohibido, las pistas heurísticas necesarias para un progreso genuino
en todos los campos de las matemáticas.
Lax afirmó en 1986 que los matemáticos
puros y aplicados están hoy más unidos de lo que lo hayan estado nunca en los
últimos 70 años. Este
es el espíritu en el que Lax ha trabajado.
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En esta breve nota de divulgación nos centraremos en dos áreas,
ambas dentro de la teoría de ecuaciones diferenciales. Presentaremos aquí contribuciones de Lax en las que
los aspectos aplicados son dominantes y tienen consecuencias de gran alcance
para la sociedad moderna. Por tanto, y desafortunadamente, no discutiremos
sus aportaciones fundamentales al análisis clásico y a la teoría de
scattering, en particular el desarrollo de la bella teoría de scattering de Lax-Phillips.
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Figura 1. Peter D. Lax.
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El primer tema es la teoría de
ondas de choque. Las
ondas de choque se presentan en muchos fenómenos de la vida diaria. Las que mejor
se describen son las ondas de choque que provienen de aviones volando a
velocidades supersónicas, o de explosiones, pero tales ondas también aparecen
en fenómenos que involucran velocidades más pequeñas. Particular interés
reviste el flujo de hidrocarburos a
través de un medio poroso, o para ser más concretos, el flujo de petróleo en el
seno de un yacimiento. Se sabe que el petróleo y el agua no se mezclan, y la
interfaz entre las regiones con petróleo y con agua constituye lo que se define
matemáticamente como un shock. La dinámica de shocks es vital en la explotación
de hidrocarburos en yacimientos
petrolíferos. Incluso en fenómenos cotidianos como los atascos de tráfico en
carreteras fuertemente congestionadas experimentamos las ondas de choque cuando
hay acumulación de vehículos. Los shocks no se originan en las colisiones de
los coches, sino en las variaciones abruptas de la densidad de distribución de
los mismos.
El segundo tema procede de la teoría
de solitones. La teoría de solitones tiene una historia larga y complicada.
No obstante, ahora pertenece al corazón de la matemática pura y aplicada, y
tiene considerables consecuencias en varias áreas de la tecnología. La teoría
se originó en una parte oscura de la dinámica de fluidos. Sin embargo, con el
descubrimiento, entre otras cosas, de la formulación de estos problemas por
medio de los pares de Lax,
se hallaron nuevas y sorprendentes relaciones entre distintas áreas de la
matemática. Asimismo, la teoría de solitones presenta diversas aplicaciones en múltiples
áreas de la física, por ejemplo en teoría cuántica de campos y física del
estado sólido, y en la modelización
de sistemas biológicos. Por último, se están aplicando los solitones a la comunicación en fibra óptica.
Se puede consultar en [CH] una descripción
más extensa sobre las diversas facetas de las contribuciones de Peter Lax a la
matemática. En [AAR] aparece una
entrevista concedida por él, y el grueso de sus contribuciones puede estudiarse
en sus obras completas, de reciente publicación [MS].
Antes de retomar la discusión en detalle de los temas citados habremos
de explicar qué es una ecuación diferencial.
2. ¿Qué es una ecuación diferencial?
Para discutir las ecuaciones diferenciales, primero tenemos que
introducir la derivada. Cuando usted conduce su automóvil, puede medir la
distancia desde el punto de partida en el cuentakilómetros; conociéndola, su
posición está determinada. La distancia que recorre por unidad de tiempo se
llama velocidad y eso, naturalmente,
es lo que muestra el velocímetro. Matemáticamente, la velocidad no es otra cosa
que la derivada de la posición. Para expresarlo en términos matemáticos,
denotamos por x la posición del coche medida a lo largo de la
carretera desde cierto punto de partida. Depende del tiempo, t, por tanto
escribimos x = x(t). La velocidad, que denotamos v y que depende del tiempo, v = v(t), es el cambio de la posición durante un pequeño intervalo de tiempo, y matemáticamente
a esto lo llamamos la derivada
de x,
representándola x'(t). Es decir, v(t) = x'(t).
Si un pasajero del coche va anotando la velocidad en cada instante de
tiempo, debería ser posible calcular la posición del coche en cada momento si
sabemos la hora y lugar en que comenzó el viaje. Con más precisión, si
conocemos el punto de partida x0 y sincronizamos los relojes para empezar en t =
0, de modo que x(0)
= x0 , y conocemos v(t) para todos los t, deberíamos ser capaces de calcular la posición x como función
del tiempo t, es decir, determinar x(t). Para elucidar esta cuestión hemos de resolver una ecuación
diferencial, a saber, x'(t) = v(t).
Las ecuaciones diferenciales no son otra cosa que ecuaciones que
involucran derivadas. Podría pensarse que estamos haciendo un mundo de un
pequeño problema. Resulta, sin embargo, que todas las leyes fundamentales de la
naturaleza se pueden expresar como ecuaciones diferenciales, como muestra la
lista siguiente:
- Gravitación
(ley de Newton),
- Mecánica
cuántica (ecuación de Schrödinger),
- Electromagnetismo
(ecuaciones de Maxwell),
- Relatividad
(ecuaciones de Einstein),
- Movimiento
de gases y fluidos (ecuaciones de Navier-Stokes).
El movimiento de los planetas, los ordenadores, la luz eléctrica, el
funcionamiento del GPS (Global
Positioning System) y el cambio del clima pueden todos describirse mediante
ecuaciones diferenciales.
Continuemos con un ejemplo más complicado que el de la posición y
velocidad de los coches. Considere el calor de la habitación donde se halla
sentado. Designemos por T = T(x,y,z,t) la temperatura en cada punto (x,y,z) del espacio
e instante de tiempo t. Suponiendo que el calor fluye de las áreas
calientes a las frías de forma proporcional a la diferencia de temperaturas,
que no se disipa (lo cual significa que la habitación está aislada del
exterior), y que no hay fuentes de calor, se puede entonces concluir que la
distribución de temperatura está determinada por la que se denomina ecuación
del calor, que toma la forma:
Tt
= Txx + Tyy + Tzz .
Aquí, Tt
significa la derivada de T
con respecto a la variable t
mientras Txx
representa la derivada de la derivada, ambas con respecto a
la variable x,
y así con el resto de los términos. ¡Incluso los problemas sencillos dan lugar a ecuaciones
diferenciales difíciles! Suponiendo que la distribución inicial de temperaturas
es un dato, es decir, que conocemos T(x,y,z,t) para t = 0, nos dicta la intuición que deberíamos poder
determinar la temperatura en instantes posteriores. Esto se conoce como un problema de valor inicial. Probar esta
afirmación y describir un método para calcular la temperatura de manera
efectiva constituye el desafío matemático. Este es, en términos generales, el
problema. Sin embargo, las ecuaciones que conforman el núcleo de las contribuciones
de Lax a las ecuaciones diferenciales son considerablemente más difíciles que
la ecuación del calor.
En condiciones ideales, lo que se quiere al enfrentarse a una ecuación
diferencial es que el problema esté bien propuesto, en el sentido de que:
- el problema debería poseer
por lo menos una solución (existencia
de soluciones),
- el problema no debería
exhibir más de una solución (unicidad
de soluciones),
- la solución debería ser
estable frente a perturbaciones (estabilidad).
Las dos
primeras condiciones indican que el problema debería admitir una única
solución; la tercera establece que cambios pequeños en los datos iniciales sólo
deberían dar lugar a cambios pequeños en las soluciones. Desafortunadamente,
las ecuaciones diferenciales normalmente carecen de soluciones que se puedan
expresar mediante fórmulas, por lo que habría que añadir a nuestra “lista de
los deseos” el que deberíamos ser capaces de hallar un modo de calcular la
solución. Habitualmente los problemas son muy complejos y se requieren
ordenadores de alta velocidad para determinar una solución aproximada o
numérica. Las soluciones de las ecuaciones diferenciales pueden ser muy
complicadas y no existe una teoría matemática unificada que abarque a todas las
ecuaciones diferenciales, o al menos a la mayoría. La mayor parte de las
ecuaciones diferenciales son no lineales, donde la suma de dos soluciones no es
una solución, lo que complica mucho más la situación. Clases distintas de
ecuaciones diferenciales precisan métodos bastante diferentes entre sí. No
obstante, incluso a este nivel de generalidad, Lax nos ha legado dos resultados
considerablemente útiles que figuran en todos los manuales del área. El teorema de Lax-Milgram proporciona una
condición que garantiza la existencia de una única solución en todas las
ecuaciones diferenciales que puedan describirse mediante un problema
variacional abstracto. El principio de
equivalencia de Lax establece que para un problema de valor inicial bien
propuesto, cualquier método numérico consistente es estable, si y sólo si, es
consistente. Sin ir más lejos, el principio de equivalencia se aplica a la
ecuación del calor.
En este punto
es conveniente divagar por un momento sobre la interacción entre la matemática
y los ordenadores. Peter Lax siempre ha sido un acérrimo defensor de la importancia
de éstos para la matemática y viceversa, sosteniendo que el impacto de los ordenadores con gran velocidad de cálculo, tanto en
la matemática pura como en la aplicada, es comparable al papel de los
telescopios en astronomía y al de los microscopios en biología.
La construcción lógica de los ordenadores y de sus sistemas operativos es de
naturaleza matemática. Pero, además, los ordenadores sirven de laboratorios a
los matemáticos donde experimentar con sus ideas. Se pueden descubrir nuevas
relaciones matemáticas, y las hipótesis y conjeturas pueden ser rechazadas o
resultar más verosímiles tras el empleo del ordenador. Lax ha puesto como
ejemplo al gran matemático G.D. Birkhoff, quien dedicó toda una vida a tratar
de probar la hipótesis ergódica. Si Birkhoff hubiera tenido acceso a un
ordenador y hubiera contrastado la hipótesis en él, se habría percatado de que
no puede ser cierta en general. En un nivel más técnico, la resolución de
problemas de la tecnología moderna asociados a la simulación de sistemas tan
complejos como aviones, plataformas petrolíferas o el tiempo atmosférico no
sólo precisan poderosos ordenadores, sino también el desarrollo de nuevos y
mejores algoritmos matemáticos. Es incuestionable que, en términos generales,
el desarrollo de ordenadores de alta velocidad (hardware) y el de nuevas técnicas numéricas (software) han contribuido por igual al rendimiento total que
observamos en las simulaciones. El propio Peter Lax ha realizado importantes contribuciones
al desarrollo de nuevos métodos matemáticos que nos han capacitado para
comprender y simular importantes fenómenos.
3. Ondas de choque
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En 1859, Bernhard
Riemann (1826-66), el gran matemático alemán, se ocupó del siguiente
problema: se tienen dos gases a diferentes presiones en un cilindro,
separados por una fina membrana. ¿Qué sucede cuando se retira la membrana?
Este problema, que ha terminado llamándose el problema de Riemann, ha resultado ser una cuestión muy
complicada. El comportamiento de los gases se describe bien mediante las
ecuaciones de Euler, que adoptan la forma:
ρt + (ρν)x = 0,
(ρν)t + (ρν2 + P)x = 0,
Et + (v(E+P)) x = 0,
P = P(ρ),
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Figura 2. Bernhard Riemann.
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donde ρ, v,
P y E representan
la densidad, velocidad, presión y energía del gas, respectivamente. Es este un
sistema de ecuaciones verdaderamente intrincado, cuyo caso general permanece
sin resolver a día de hoy.
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Las
ecuaciones de Euler constituyen un caso especial de la clase de ecuaciones
diferenciales denominadas leyes
hiperbólicas de conservación. Las soluciones de estas ecuaciones son muy
complicadas, como muestran las ilustraciones. Son fundamentales en varias
áreas de la ciencia aplicada, ya que expresan la conservación de una
cantidad. Los ejemplos abundan, pues se conservan la masa, el momento y la
energía en sistemas aislados. Además de la cinética de gases, las
aplicaciones comprenden el flujo de petróleo en yacimientos. Un ejemplo menos
obvio es el de la dinámica de coches en una carretera fuertemente
congestionada, sin accesos ni salidas; la magnitud que se conserva en este
caso es el número de automóviles.
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Figura
3. Flujo de un gas
en
torno a tres cilindros.
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El meollo del
problema de las ecuaciones hiperbólicas, no importa si tratan de la circulación
de automóviles o del flujo de petróleo en yacimientos, es que la solución
desarrolla singularidades, o discontinuidades, denominadas shocks. Los shocks corresponden a transiciones críticas en la
presión o la densidad. Los métodos numéricos establecen, con enorme dificultad,
aproximaciones de estas soluciones, siendo sus propiedades matemáticas muy
complicadas. Los modelos matemáticos admiten más de una solución, y el
principio de selección que permite distinguir la solución físicamente relevante,
conocido como la condición de entropía,
resulta muy complicado. Sin ir más lejos, el propio Riemann se equivocó y
eligió la solución incorrecta. La velocidad del shock fue determinada por el
ingeniero escocés Rankine y por el matemático francés Hugoniot, mientras que fue
Peter Lax quien en 1957 dio con un criterio sencillo, ahora conocido como la condición de entropía de Lax, que
selecciona la verdadera solución física en sistemas generales de leyes
hiperbólicas de conservación. Los shocks admisibles se denominan shocks de Lax. La solución del problema
de Riemann se denomina actualmente el teorema
de Lax, que es la piedra angular de la teoría de leyes hiperbólicas de
conservación. Su solución ha propiciado una investigación más profunda sobre
nuevas condiciones de entropía aplicables a otros sistemas. En particular, el
nuevo teorema fundamental de existencia para el problema de valor inicial
general, debido a Glimm, tiene en el teorema de Lax uno de sus pilares
fundamentales.
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Una vez que
se ha escogido la solución en base a un principio de elección, todavía hay
que calcularla. A este respecto, Peter Lax ha introducido dos de los esquemas
numéricos estándar para la resolución de las leyes hiperbólicas de
conservación, a saber, los denominados esquemas
de Lax-Friedrichs y de Lax-Wendroff. Estos esquemas sirven de patrón para
contrastar otras técnicas numéricas, y a la vez como punto de partida para el
análisis teórico.
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Figura
4. Explosión de la presión de un gas en una caja.
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De hecho, el
esquema de Lax-Friedrichs fue empleado por la matemática rusa O. Ole
nik en su demostración
constructiva de la existencia y unicidad de soluciones para la ecuación de
Burgers sin viscosidad. Otro resultado de considerable utilidad es el teorema
de Lax-Wendroff, que establece lo siguiente: si un esquema numérico para una
ley hiperbólica de conservación no lineal converge a un límite, tenemos
entonces la certeza de que dicho límite define una de las soluciones de la
ecuación. Lax demostró, en colaboración con Glimm, profundos resultados sobre
la disipación en el tiempo de las soluciones de los sistemas hiperbólicos de
leyes de conservación.
Los resultados
de Peter Lax en la teoría de leyes hiperbólicas de conservación son fecundos.
Han resuelto antiguos problemas, estimulando una nueva y extensa investigación
en este campo, en tanto que todavía se mantienen en el núcleo de la disciplina.
4. Solitones
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La teoría de
solitones se remonta a agosto de 1834, cuando el ingeniero escocés John Scott
Russell (1808-82) realizó la siguiente observación: cabalgando a caballo a lo
largo de un canal cercano a Edimburgo, contempló una barcaza mientras era
remolcada por dos caballos a lo largo del canal. Cuando la embarcación
efectuó una parada, una onda solitaria surgió de la proa, y Scott Russell fue
capaz de seguirle la pista durante más de un kilómetro. Al contrario de lo
que se podría esperar, la onda no se dispersó y su forma subsistió sin
alteraciones. Fascinado completamente por el fenómeno, que mucha gente había
visto con anterioridad sin apreciar su peculiaridad, Scott Russell estudió
las ondas que durante muchos años denominó ondas solitarias.
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Figura 5. J. Scott Russell.
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Sus
observaciones resultaron ser controvertidas y varios científicos eminentes,
como Airy o Stokes, fueron escépticos con las mismas. Sin embargo, con la
deducción de un modelo para ondas de agua
por parte de los matemáticos holandeses Korteweg y de Vries en 1895, las cuales,
de hecho, eran capaces de reproducir este comportamiento, las ondas solitarias
se establecieron como un verdadero fenómeno, aunque bastante especializado, de
la naturaleza. El modelo que obtuvieron se conoce en la actualidad como las ecuaciones de Korteweg de Vries, KdV
para abreviar. Para simplificar una larga historia, las ecuaciones KdV se desvanecieron
en el olvido por largo tiempo, y sólo fue tras el renovado interés de Zabusky y
Kruskal en 1965 cuando se reavivó la atención en ellas.
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A través de
su análisis por medio de simulaciones numéricas, descubrieron que las KdV
admiten soluciones que interactúan como partículas pueden
colisionar e interactuar sin cambiar de forma.
Zabusky y Kruskal bautizaron a estas soluciones como “solitones”, pues
exhibían propiedades de tipo-partícula como electrones, protones, etc. (Figura 7). Ahora se hacía patente que
la ecuación poseía una profunda estructura y acreditaba potencial para
aplicaciones en áreas diversas. En un artículo de 1967 que hizo época, Gardner, Greene, Kruskal y Miura
descubrieron un método ingenioso, llamado la transformada de scattering inverso, para resolver la ecuación de
KdV.
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Figura
6. Reescenificación moderna de la onda
solitaria.
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Figura 7. Dos solitones, dibujados en tres momentos
diferentes.
El
grande sobrepasa al pequeño. Sus formas se preservan.
Aunque
resultaba claro que el método constituía un tour-de-force,
estaba altamente sintonizado con las peculiaridades de la ecuación. Diversos
“milagros” contribuyeron a que el método funcionara. Como parte del mismo,
estudiaron una ecuación lineal asociada en la que varias cantidades importantes
permanecían sin alteración, o invariantes, con respecto a la evolución del tiempo. Peter Lax entra en
escena. Se centró en las propiedades de invarianza de los problemas lineales y
describió un par de operadores lineales, conocidos ahora como pares de Lax,
que desvelaron el mecanismo interno de la transformada de scattering inverso.
Cuando el par de Lax satisface la
relación de Lax resulta ser equivalente a la ecuación de Kdv. Para precisar
mejor la relación, escribamos en primer lugar la ecuación de KdV, que adopta la
forma:
ut − 6 u ux
+ uxxx = 0.
El par de Lax,
L, P,
viene dado por los operadores:
L = −∂x2 + u,
P = −4
∂x 3 + 3
u ∂x + 3 ux ,
bajo la condición
de que se satisfaga la relación de Lax:
Lt − (PL − LP) = ut − 6 u ux + uxxx = 0.
El par de Lax
se construye para que el a priori
complejo operador diferencial del primer miembro de la igualdad, se reduzca a
la ecuación KdV. Ecuaciones del tipo de la de KdV se denominan completamente integrables.
A la vista de
esta profunda y sorprendente revelación, resultaba claro que la transformación
de scattering inverso no se limitaba a la ecuación KdV, y que entonces habría
que examinar los pares de Lax de otras
ecuaciones diferenciales de la física matemática. Además de la formulación curvatura cero de Zakharov y Shabat,
otras de las ecuaciones importantes de la física matemática resultaron ser
completamente integrables: por ejemplo, la ecuación “sine-Gordon”, la ecuación
de Schrödinger no lineal, el sistema masivo de Thirring, la ecuación de
Boussinesq, la ecuación de Kadomtsev-Petviashvili y la red de Toda, por citar
unas pocas.
Las
propiedades peculiares de estas ecuaciones han tenido inmensas consecuencias en
varias áreas de la matemática y la física, así como en diversos campos de la
tecnología. Un ejemplo debe ser mencionado en este punto. Se ha experimentado
con el uso de solitones para la comunicación de alta velocidad en fibra óptica.
La señal digital se codifica usando “ceros” y “unos”, y los “unos” se pueden representar
mediante solitones. Una propiedad clave de los solitones es que son
excepcionalmente estables a grandes distancias. Esto suministra una capacidad
de comunicación por fibra óptica considerablemente más elevada. Además, la
teoría de solitones ha desvelado nuevas relaciones, hasta ahora desconocidas,
entre varias ramas de las matemáticas.
Epílogo
Lax se
considera a sí mismo un matemático tanto puro como aplicado. Su consejo a los
matemáticos jóvenes se recoge en: recomiendo
decididamente que todos los matemáticos noveles prueben fuerzas en alguna rama
de la matemática aplicada. Es una mina de oro de problemas profundos que
aguardan avances tanto conceptuales como técnicos. Despliega una enorme variedad,
a la medida de cada estilo, y ofrece la posibilidad de formar parte de una gran
empresa tanto tecnológica como científica. ¡Buena cacería!.
Reconocimientos
Los retratos
de Riemann y Scott Russell proceden del MacTutor History of Mathematics
Archive. La figura del solitón está tomada de la Solitons
Home Page. Las
simulaciones fueron facilitadas por K.-A. Lie (SINTEF) y X. Raynaud (NTNU).
Referencias
[CH] The Wolf
Prize to P.D. Lax. En: The
Wolf Prize in mathematics, Vol. 2 (S.S. Chern, F. Hirzebruch, eds.). World Scientific, Singapore (2001), pp. 219-262.
[AAR] P.D. Lax. En: More mathematical people (D.J. Albers,
G.L. Alexanderson and C. Reid, eds.). Hartcourt Brace Jovanovich Publishers, Boston (1990), pp.
139-158.
[MS] P.D. Lax: Selected papers,
Vols. I, II (A.J. Majda and P. Sarnak, eds.). Springer, New York, 2005.
