Recibido: miércoles, 22 diciembre 2004
Matemáticas y papiroflexia
II. Papiroflexia modular: construcción
de poliedros
José Ignacio Royo Prieto
Departamento de Xeometría e Topoloxía
Universidade de Santiago de Compostela
e-mail:
Esta dirección de correo electrónico está protegida contra los robots de spam, necesita tener Javascript activado para poder verla
página web: http://xtsunxet.usc.es/royoprieto
1. Dos cositas sobre poliedros
Un poliedro se puede definir como un conjunto conexo de R3 formado por un número finito de polígonos planos que se juntan de una manera razonable. Aquí “razonable” quiere decir que cada lado de un
polígono pertenece exactamente a otro polígono del poliedro, y de manera que
los polígonos que concurran en cada vértice formen un circuito simple (para
evitar anomalías tales como el caso de dos pirámides unidas por el vértice).
Los polígonos son llamados caras, y
sus lados, aristas. Un poliedro es,
por lo tanto, una superficie cerrada (no diferenciable, pues tiene aristas y
vértices), y divide al espacio en dos partes: una no acotada y otra acotada a
la que llamaremos interior. El caso
más importante es el de los poliedros convexos, en el cual el interior es un
conjunto convexo (es decir, tal que el plano que contiene a una cara no penetra
en el poliedro), de modo que podemos definirlo en coordenadas cartesianas
mediante un sistema de desigualdades:
ai x + bi y
+ ci z ≤ di
( i = 1,
2, ..., C )
siendo C el número de caras. Ejemplos de poliedros son una caja de zapatos, una
pirámide, un cubo, un tetraedro...
|
|
|
Figura 1.
Dodecaedro y dodecaedro estrellado (Tomoko Fuse).
|
Los
poliedros más famosos son, sin duda, los llamados sólidos platónicos. Se
dice que un poliedro convexo es regular
si sus caras son polígonos regulares idénticos y si en cada vértice concurre el
mismo número de aristas. Sorprendentemente, tan sólo existen cinco: el
tetraedro, el cubo, el octaedro, el icosaedro y el dodecaedro. Este resultado
se atribuye a Teeteto (425-379 a.C.), de la escuela de Platón. Existen pruebas
elementales de este resultado, pero la forma elegante de hacerlo es utilizar la
famosa fórmula de Euler, de la que más adelante hablaremos. Platón en su libro Timeo (ap. 55-56) atribuye a cada uno de
estos sólidos uno de los cuatro elementos en el pasaje en el que describe la
creación del universo. Así, el tetraedro es el fuego, el octaedro, el aire, el
cubo es la tierra y el icosaedro, las moléculas de agua.
|
|
Finalmente, relata
cómo el Creador utilizó el dodecaedro para formar el universo. Esta es la razón
por la cual se les conoce como sólidos platónicos.
Los
poliedros son entes matemáticos que brotan de la forma más insospechada en
distintos ámbitos de nuestra vida:
desde las pirámides de Egipto hasta los cubos en los que cristaliza la
pirita, pasando por los balones de fútbol. Han fascinado a los matemáticos y
las matemáticas, que se han dedicado a su estudio desde la antigua Grecia, y
constituyen hoy en día motivo de investigación activa. Entre los muchos que
se han ocupado de su estudio cabría citar a Arquímedes, Kepler, Descartes,
Euler, Cauchy, Steinitz, Alexandrov, Weil, Coxeter, Schläffi y Banchoff,
dejándonos a muchos por el camino. Una referencia obligada sobre poliedros es
[Cox].
2. Papiroflexia modular
Como
hemos comentado antes, la papiroflexia modular consiste en hacer figuras
utilizando varios papeles que darán lugar a piezas individuales que
llamaremos módulos. Cada uno de
estos módulos posee solapas y bolsillos, que se usan para ensamblarlos entre
sí. Es usual representar de esta manera figuras geométricas, y que el plegado
de cada módulo sea sencillo. Los poliedros son la principal fuente de
inspiración de esta modalidad, aunque no la única.
Aparte
del valor artístico y estético de la papiroflexia modular, su interés para
con las matemáticas es doble:
|
|
Figura 2.
Sólidos platónicos.
|
|
1)
Nos permite la
representación física de entes abstractos. En este sentido, tiene el mismo
interés que puede tener un programa de ordenador que dibuje poliedros, si
bien es mucho más revelador tener en la mano un icosaedro, palparlo y
girarlo, que verlo en una pantalla donde simulamos su giro.
|
|
Para este fin, hay también recortables y figuras de
plástico, aunque a decir verdad, las posibilidades prácticas de representar
poliedros con origami son mucho mayores que con recortables.
2)
Tanto en el diseño
como en el plegado y ensamblaje de los módulos, se experimentan de una forma
muy sencilla las propiedades de los poliedros tales como grado de un vértice,
regularidad y simetría, ya que en su diseño intervienen de forma decisiva los
conceptos de arista, índice, cara, vértice, y otros más sofisticados como
dualidad, colorabilidad, característica de Euler-Poincaré e incluso curvatura
(en el sentido que veremos más adelante).
|
|
|
Figura 3.
Octaedro con el módulo giroscopio.
|
|
|
|
En este apartado vamos a ver diversos tipos de módulos y de
poliedros, y analizaremos la enjundia matemática que acompaña a su diseño y su
hechura. A medida que vayamos viendo modelos, nos irán surgiendo cuestiones matemáticas
que nos harán acercamos a diversos resultados matemáticos sobre poliedros.
3. Familias de módulos
Se
puede hacer una clasificación de los modulares, fijándonos en la estructura del
poliedro que forman, o mejor dicho, dependiendo de en qué se fije uno para
describir un poliedro: los vértices, las aristas o las caras. ¿Qué es, al fin y
al cabo, un tetraedro? Podemos definirlo como cuatro vértices equidistantes, o
como seis segmentos dispuestos de una determinada manera, o como cuatro caras
triangulares. En una vuelta de tuerca sorprendente, un cubo puede definirse
como un tetraedro estrellado. Todo esto es fácil de experimentar con la
papiroflexia. Según esto, distinguimos tres tipos de módulos:
1)
Módulos basados en las aristas. Suelen ser los de ensamblaje más sólido. Cada módulo
corresponde a una arista, lo cual hay que tener en cuenta a la hora de
diseñarlos. Por lo general, suelen presentar caras perforadas, que nos permiten
ver el interior.
2)
Módulos basados en las caras.
Parece lo más natural, pero no siempre es lo más fácil de diseñar en
papiroflexia. Los empalmes suelen ser más débiles, lo cual se debe a que las
caras se juntan entre sí de dos en dos, mientras que las aristas se juntan de
más en más en cada vértice.
3)
Módulos basados en los vértices. Los más importantes son de tipo giroscopio (ver [SAG]).
Muy versátiles y resultones. Dentro de este tipo, se pueden clasificar por el
grado: los que agrupan aristas de 3 en 3, de 4 en 4...
4. Módulos de tipo Sonobè: poliedros estrellados
Son
probablemente los módulos más populares y se deben al japonés Mitsunobu Sonobè.
Estos módulos se juntan de 3 en 3 para formar una pirámide con base un
triángulo equilátero y con ángulos rectos en el vértice. Son, por lo tanto, muy
adecuados para construir poliedros estrellados cuyas caras son triángulos
(icosaedro estrellado, octaedro estrellado...).
|
|
Podemos
considerar que estos módulos pertenecen a la familia de las caras, pero no
sólo los podemos usar con caras triangulares: podemos juntarlos de 4 en 4,
obteniendo como base un cuadrado y sobre él, lo que podríamos denominar una
estrellación de segunda especie (cuatro pirámides cuyas bases no caen en un
plano). De la misma manera, juntándolos de diversas maneras podemos obtener
polígonos con estrellaciones muy barrocas, donde las caras aparecen de una
manera más especial, pero con su sentido artístico y estructural (ver [Kasa]).
|
|
Figura 4.
Icosaedro estrellado con módulos Sonobè.
|
5. Coloración
Un
reto interesante sobre el módulo Sonobè consiste en colorear sus caras de una
forma coherente. Para abordar esto, nos será útil el concepto de grafo de un poliedro.
5.1. Grafo de un poliedro
Sin
querer ser demasiado preciso, un grafo
es un complejo finito de vértices y aristas. Un grafo es plano si se puede dibujar en R2 de modo que las
aristas no se corten, tan sólo pueden juntarse en los vértices. En un grafo consideraremos
vértices, aristas y caras.
Llamaremos grado de un vértice al
número de aristas que concurren en él. A todo poliedro podemos asociarle de forma
fácil un grafo plano. Basta tomar una cara y realizar una suerte de proyección
estereográfica en el plano. Por supuesto, consideramos la componente no acotada
como una cara.
Una
ventaja de los grafos es que nos permiten estudiar los poliedros de una forma
más fácil que representándolos en el espacio.
|
|
|
|
Figura 5.
Grafos de los sólidos platónicos.
|
5.2. Coloración de isocaedros
|
|
Entendemos
por una buena coloración la
asignación de colores a los vértices, aristas o caras de modo que cumplan
alguna regularidad, por lo general, del tipo de que elementos contiguos tengan
colores distintos.
Para
pensar en una coloración del icosaedro estrellado con módulos Sonobè, habrá
que conseguir su grafo a partir del de nuestro icosaedro, sin más que unir en
cada uno de sus triángulos el punto medio con sus vértices. El grafo que así
obtenemos es el de un triacontraedro. Como éste es dual del icosidodecaedro,
nos basta colorear las aristas de éste último. Si nos fijamos en los módulos
de Sonobè, además tenemos que por cada módulo, coloreamos dos aristas
“contiguas” del icosaedro estrellado. Esto nos sugiere construir seis
circuitos de colores de la forma en que vemos en la Figura 6, obteniendo seis “círculos máximos” sobre el
icosaedro estrellado. Volviendo al módulo de Sonobè, si quiero hacer una
coloración con tres colores, he de elegir los circuitos máximos de dos en
dos, y en los puntos de cruce de ambos circuitos, dejar que pase el uno sobre
el otro, y el otro sobre el uno. De esta forma, obtenemos un arlequinado del
icosaedro estrellado Sonobè tal que en cada vértice se unen los tres colores.
Como vemos, para colorear un icosaedro estrellado hay que pensar en un
icosidodecaedro.
|
|
|
|
|
|
Figura 6. Seis
ciclos en un
icosidodecaedro. Grafo del
triacontaedro.
|
5.3. Dualidad
Otro
concepto que se puede representar con la papiroflexia es la dualidad de
poliedros. Dado un poliedro, podemos tomar los puntos medios de cada cara, y
unir los de caras contiguas. Sorprendentemente, mediante este procedimiento
obtenemos un nuevo poliedro. Para comprender mejor la idea, vamos a expresarla
con grafos: se construye el dual de un grafo como el grafo que tiene como
puntos los puntos medios de cada cara, y que tiene como aristas las aristas que
resultan de unir los puntos pertenecientes a caras contiguas, atravesando las
aristas originales. Poliedros duales corresponden a grafos duales. La relación
“ser duales” es recíproca.
De
este modo, se puede comprobar que el dual del tetraedro es el mismo tetraedro,
el dual del icosaedro es el dodecaedro, y el dual del cubo es el octaedro. En
papiroflexia podemos representar esa dualidad valiéndonos de que los módulos de
tipo arista del dodecaedro tienen agujeros, además de usar un material
transparente como lo es el acetato.
|
|
|
|
Figura 7.
Dualidad icosaedro-dodecaedro.
|
Figura 8.
Cinco tetraedros intersecados.
|
6. Cinco tetraedros intersecados
Vamos
a construir un objeto muy venerado por matemáticos y papiroflectas. Si tomamos
en un dodecaedro cuatro vértices equidistantes, obtendremos un tetraedro. Como
tenemos exactamente veinte vértices, podemos insertar cinco tetraedros en el
dodecaedro. Este objeto se puede construir en papiroflexia, y constituye un
complejo y entretenido rompecabezas (ver [Hull1]).
Para
resolverlo, hay que fijarse en las mil y una simetrías de este objeto. La clave
para la construcción consiste en que si tomamos cualesquiera dos de estos
tetraedros, un vértice de uno de ellos sale exactamente por el medio de una
cara del otro, y lo mismo, pero intercambiando los papeles, ocurre en la parte
opuesta. Con este objeto se puede visualizar que el grupo de rotaciones del
dodecaedro es un grupo alternado de cinco letras. Esto resulta de que al girar
el dodecaedro estamos intercambiando los cinco tetraedros entre sí.
Hay
otras composiciones realizables con papiroflexia, como los cinco octaedros que
hay insertados en un icosidodecaedro. En cambio, la composición de cinco cubos
que hay en un dodecaedro presenta una dificultad añadida, pues las aristas de
esos cubos se intersecan, y no podríamos usar la técnica de los módulos tipo
arista que hemos usado para los tetraedros.
|
|
|
Figura 9.
Icosaedros truncados con módulos de vértices y aristas.
|
7. Balones de fútbol o fullerenos
7.1. El objeto
Si
miramos con atención un balón de fútbol, veremos que está formado por hexágonos
y pentágonos, de modo que en cada vértice se juntan dos hexágonos y un
pentágono. Podemos contar con cuidado y
comprobar que tiene 12 pentágonos. Contar los hexágonos del balón parece más
complicado, pero podemos valernos de su estructura: si contamos por cada
pentágono sus cinco hexágonos adyacentes, obtenemos 60 hexágonos, pero cada uno
de estos, al tocar a 3 pentágonos, lo hemos contado 3 veces, de modo que en
realidad hay 20 hexágonos. El balón de fútbol es un poliedro semirregular (son como los regulares,
pero usando dos tipos de polígonos; hay sólo 13 y se llaman arquimedianos), y su auténtico nombre es
icosaedro truncado.
7.2. Fullerenos
Un
fullereno es un poliedro formado por pentágonos y hexágonos, de modo que todos
los vértices son de grado 3. Su nombre está puesto en honor al arquitecto
Richard Buckminster Fuller (1895-1983), que construyó un pabellón esférico
futurista con esa estructura en la Exposición Universal de Montreal de 1967.
Más tarde, se ha llamado fullereno a la tercera forma alotrópica del carbono
(las otras dos son el diamante y el grafito), y ha resultado ser una forma
extraordinariamente estable, descubierta en 1985 y cuyo descubrimiento fue
merecedor de un premio Nobel. Las moléculas del fullereno usual tienen 60
átomos de carbono colocados en los vértices de un balón de fútbol, pero hay
muchos más fullerenos. Para construir fullerenos de papiroflexia es muy adecuada
la pieza en zig-zag de Tom Hull (ver [Hull1]), pues cada módulo representa una
arista y las aristas se juntan de tres en tres (Figura 12).
7.3. Característica de Euler
Una
de las propiedades más valiosas de los poliedros es una fórmula atribuida a
Euler, aunque anteriormente Descartes había encontrado una fórmula equivalente,
que apareció 200 años después de ser escrita, entre los papeles de Leibniz. Es
el siguiente y bonito teorema:
Teorema (Fórmula de Euler).
Sea un poliedro homeomorfo a una esfera con V vértices, A aristas y C caras. Entonces, se
cumple la fórmula:
V − A +
C = 2.
Podemos
comprobar esta fórmula con los sólidos platónicos, con el balón de fútbol y con
los poliedros estrellados que hemos visto aquí. Esta fórmula también la cumplen
los grafos planos. De hecho, la propiedad es topológica: si hacemos cualquier
triangulación sobre una esfera o sobre un espacio homeomorfo, se seguirá
cumpliendo la fórmula. Se puede asociar a cada espacio topológico “razonable”
un número, llamado característica de
Euler-Poincaré, que se define como la suma alternada de sus números de
Betti. Es un invariante topológico importantísimo, y generaliza la suma
alternada que antes hemos expresado como “vértices menos aristas más caras”. En
este sentido, la fórmula de Euler dice ni más ni menos que la característica de
Euler-Poincaré de la esfera es 2. Con la característica de Euler-Poincaré es
fácil probar, por ejemplo, el teorema de Teeteto sobre los cinco sólidos
platónicos.
|
|
Volviendo
a nuestros fullerenos, si llamamos H
al número de hexágonos y P
al número de pentágonos, podemos calcular cuántos vértices, aristas y caras
hay. Explícitamente,
|
V
=
|
5P
+ 6H
|
;
|
|
A
=
|
5P
+ 6H
|
;
|
|
C
=
|
P + H .
|
|
3
|
|
2
|
|
Si
sustituimos ahora en la fórmula de Euler, obtenemos fácilmente
|
5P
+ 6H
|
−
|
5P
+ 6H
|
+ (P
+ H) = 2
|
|
3
|
2
|
|
|
Figura
10.
Construcción
de fullerenos.
|
y
concluimos P=12, de modo que, sea lo grande que sea el fullereno, las
condiciones que le hemos puesto fuerzan a que haya siempre 12 pentágonos, si
bien no hemos obtenido ninguna condición sobre los hexágonos. De hecho, podemos
interpretar el dodecaedro como un fullereno sin hexágonos. Un método para
generar fullerenos es truncar un icosaedro (tiene 12 vértices, de donde
obtenemos los 12 pentágonos) y subdividir las caras triangulares en nuevos
triangulitos más pequeños. Calculando el dual de este grafo, obtenemos un nuevo
poliedro que es un fullereno.
Cabe
preguntarnos si estas construcciones son meramente topológicas, es decir, si
los grafos que construimos tienen una realización en un poliedro convexo real.
No tenemos aparentemente ninguna razón para pensar que para todo grafo vaya a
suceder eso. Es clara la existencia de un poliedro “esférico” que realice cada
grafo, pero otra cosa es que las caras que obtengamos sean planas. Aunque
nuestros fullerenos podamos construirlos efectivamente con papiroflexia (ver [Hull1]),
a uno le podría quedar la duda de si está construyendo poliedros “de verdad” o
si es la flexibilidad del papel la que nos los permite construir, no yaciendo
cada cara en un plano. Para responder a esta cuestión, tenemos el siguiente y
clásico:
Teorema (Steinitz).
Un grafo representa a un poliedro convexo de R3 si, y sólo si, es
plano y 3-conexo.
La
propiedad de ser 3-conexo significa que hay que quitar por lo menos tres
vértices al grafo plano para dividirlo en dos componentes conexas. Así que como
nuestros fullerenos tienen grafos planos y 3-conexos, nos quedamos tranquilos.
Otra cuestión es saber cuándo un grafo se puede realizar como un poliedro
inscribible en una esfera. Esta cuestión se conoce como Problema de Steinitz, y ha obtenido recientemente respuestas
parciales con métodos de geometría computacional.
8. Toros modulares
Un
toro es el nombre matemático por el que se conoce a la superficie de un
flotador o un donut. Viene del griego
τορεω, que significa agujero,
perforar.
Vamos
a ilustrar el interés matemático de la construcción de un toro de papiroflexia
con una anécdota personal. La historia empieza al conseguir una foto en Internet
de un toro modular, diseñado por el italiano Roberto Gretter con las mismas
piezas zig-zag de Hull. Como con los fullerenos, podemos contar cuántos
pentágonos y hexágonos iban a ser necesarios. La característica de
Euler-Poincaré del toro es 0, con lo cual, aplicando la fórmula de Euler para toros:
V − A +
C = 0,
y
sustituyendo con el número H de
hexágonos y P de pentágonos,
obtenemos:
|
5P + 6H
|
−
|
5P + 6H
|
+ (P + H) = 0
|
|
3
|
2
|
y
de aquí P =
0, con lo que llegamos a que no se puede construir un toro
con hexágonos y pentágonos de 3 en 3, esto es una restricción topológica. Sin
embargo, al toro de la Figura 11 claramente se le adivinan pentágonos en la parte
exterior. El error consistió en no haberse percatado de que, además de
pentágonos y hexágonos, el toro por la parte interna tenía heptágonos.
Considerando esto, la fórmula de Euler nos proporciona:
|
5P + 6H + 7Hp
|
−
|
5P + 6H + 7Hp
|
+ ( 5P + 6H + 7Hp ) = 0
|
|
3
|
2
|
con
lo que la condición es que P=Hp,
esto es, que haya el mismo número de heptágonos que de pentágonos. Con ese
dato, y calculando que hubiera 10 pentágonos en la composición, es un
entretenido rompecabezas construir un toro modular.
|
|
Como
vemos, la discusión matemática previa al diseño es exclusivamente topológica
(hemos utilizado el género de la superficie que queremos conseguir). No hemos
obtenido un poliedro, pues salta a la vista que las caras que tenemos no son
planas. No obstante, la enjundia de este modelo no es sólo topológica, sino
también geométrica.
Podemos
fijarnos en que el toro tiene los 10 pentágonos por fuera y los heptágonos
por dentro. Sabemos que el toro usual con la métrica usual tiene curvatura
positiva por fuera (se asemeja a un balón), negativa por dentro (se asemeja a
una silla de montar) y como la curvatura es una aplicación continua, se tiene
que anular entre medio.
|
|
Figura 11. Toro modular.
|
De
hecho, por fuera, los pentágonos están rodeados de hexágonos, lo cual nos puede
recordar al balón de fútbol. Ciertamente, la coloración del toro está en
función de la curvatura: roja allá donde es positiva, morado donde es negativa,
y amarillo cuando más se acerca a cero.
La
razón por la cual nuestro toro modular adquiere esta curvatura no es
topológica, sino geométrica, y de hecho se debe a la forma que tienen los
módulos que estamos empalmando. Al formar un heptágono con los módulos zig-zag,
vemos que adquiere por sí solo curvatura negativa; al plegar un hexágono, se
puede posar tranquilamente sobre una mesa (curvatura cero); y al plegar un
pentágono, las aristas adquieren curvatura positiva. Al analizar los empalmes
de los módulos, vemos que forman pirámides que tienen como base un triángulo
equilátero, y se unen desde la mitad del lado, como se ve en la Figura 12. Si
ponemos seis triángulos de esa manera, montan perfectamente. Si ponemos sólo
cinco, nos falta un poco de ángulo para completar 2π radianes. Eso que
falta se puede interpretar como el exceso
de ángulo en un punto interior del pentágono, y es lo que proporciona la
curvatura positiva. Cuando ponemos siete triángulos, en vez de faltar, sobra
ángulo, y eso es porque en el interior hay curvatura negativa.
|
|
|
|
Figura 12. Pentágono y hexágono con
módulos
zig-zag de Hull.
|
Figura 13. Dominio
fundamental para un toro
de
105 piezas (Sarah Belcastro).
|
Un
interesante reto consiste en diseñar toros con este mismo módulo usando la
menor cantidad de piezas posible. El toro
de Gretter tiene 555 piezas. Tom Hull y sus alumnos han diseñado diferentes
modelos de 240, 105 y 81 piezas, llegando al límite de lo físicamente
constructible. En vez de heptágonos, se usan octógonos y decágonos para dar
curvatura negativa (cuanto menos piezas, menor tendrá que ser la curvatura,
intuitivamente). La fórmula de Euler nos dice que tiene que tener el doble de
pentágonos que de octógonos, y si usámos decágonos, hay que usar 4 veces más
pentágonos que decágonos.
Referencias
[Cox] H.S.M.
Coxeter: Regular polytopes. Dover,
1973.
[Hull1] T. Hull: Origami mathematics, http://kahuna.merrimack.edu/~thull/origamimath.html.
[Kasa] K. Kasahara, T. Takahama: Origami para expertos. Edaf, 2000.
[SAG] L. Simon, B. Arnstein, R. Gurkewitz: Modular
origami polyhedra. Dover, 1999.
