Recibido: jueves, 24 febrero 2005
La
divulgación de las matemáticas
Manuel
Calvo Hernando
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Las
matemáticas son también objeto de divulgación, aunque en mucha menor medida que
la física y la astronomía. Divulgar la investigación matemática es una tarea
difícil, por razones tanto objetivas como subjetivas dependientes de los modos
de pensamiento y del lenguaje y de las dificultades de transcodificación del
lenguaje matemático a la expresión cotidiana. Los físicos teóricos han tenido
más éxito en este empeño.
La tesis que
aquí sostenemos -las matemáticas pueden divulgarse- se prueba con los libros
publicados con destino a quienes no son matemáticos profesionales. Este es el
caso de Jean Dieudonné, autor de Pour
l'honneur de l'esprit humain. Les mathématiques aujourd'hui (Hachette,
1987), quien pertenecía al colectivo Bourbaki, del que fue portavoz y
donde escribió los textos una vez discutidos y aprobados por el grupo, con unas
10.000 páginas en su activo.
Para
Dieudonné, la experiencia demuestra que el público lee siempre con gusto los
informes sobre las ciencias de la naturaleza y tiene la impresión de sacar de
ellos información que enriquece su visión del mundo, mientras que los artículos
sobre las matemáticas actuales parecen estar escritos en una jerga
incomprensible y tratar de nociones demasiado abstractas para tener el más
mínimo interés.
Hay que
suponer, en todo caso, ese “bagaje mínimo” que implica haber cursado con
aprovechamiento las matemáticas del Bachillerato de Ciencias, las sociedades
que lo tengan. Y justamente la naturaleza de este bagaje es la fuente de las
dificultades de comprensión de las matemáticas actuales. Nada de lo que se
enseña en los liceos e institutos actuales en matemáticas ha sido descubierto
después de 1800 y no se enseña todo lo descubierto hasta esa fecha, afirma,
quizá con alguna exageración, Jean Dieudonné.
Todos sabemos
que las ciencias de la naturaleza han avanzado continuamente y de modo
extraordinario desde principios del siglo XIX y el público “culto” ha podido
seguir esta vertiginosa ascensión, un poco de lejos, sin duda, pero sin perder
el hilo, gracias a diversas simplificaciones inteligentes que conservan lo
esencial de las nuevas ideas.
En cuanto a la
divulgación matemática, el problema es que, por un lado, la mayoría de las
ciencias no necesita, incluso hoy, mucho más que las matemáticas clásicas, es
decir, los resultados conocidos hasta 1800, aproximadamente; y por otro, se ha
producido una verdadera mutación con la creación de nuevos “objetos matemáticos”
totalmente diferentes de los objetos “clásicos”, los números y las “figuras”, y
cuyo mayor grado de abstracción (ya no se apoyan en “imágenes” sensibles) han
alejado a quienes no veían su utilidad.
Quiero convencer al lector de buena voluntad
-afirma Dieudonné- de que este mayor
grado de abstracción no tiene en absoluto su origen en un deseo perverso de los
matemáticos de aislarse sin razón de la comunidad científica a través de un
lenguaje más hermético. Los matemáticos tenían que resolver los problemas
legados por la época “clásica” o provenientes directamente de las nuevas
adquisiciones de la física, y descubrieron que lo podían conseguir, a condición
de crear nuevos objetos y nuevos métodos, cuyo carácter abstracto era
indispensable para su éxito[1].
Para los
especialistas, el valor de las matemáticas se basa en el hecho de que sus
fórmulas pueden liberarse de lo específicamente humano y es el único idioma
universal. Miguel Sánchez-Mazas estaba entre quienes creían que esta ciencia es
el único lenguaje común del universo y que con ella -y sólo con ella- podría
establecerse comunicación con otros habitantes del sistema solar e incluso
podría crearse una suerte de lenguaje básico universal (matemático), intermediario
entre todos los idiomas hablados. En teoría, dos personas de cualquier origen o
lengua pueden tratar un problema aritmético, geométrico o algebraico con
parecida facilidad de comprensión. Y si seres de otros sistemas extrasolares
entraran en comunicación con nosotros, acaso no habría otro camino inicial que
el de los números para establecer una clave comprensible para unos y otros[2].
Textos
sobre divulgación matemática
Parece que el problema de hacer comprensibles las matemáticas
al profano, incluso educado, sigue siendo insuperable.
Esta opinión desoladora aparecía en un informe de la Academia Nacional de
Ciencias de EE.UU., de 1968. Pero los científicos no se dan por vencidos. En
este mismo país, la Fundación Nacional de la Ciencia ha promovido un movimiento
para establecer qué posibilidades existen de difundir al gran público la
investigación matemática.
Matemáticos
consultados reconocen que existe una brecha muy amplia de comunicación entre
ellos y el público. Sus opiniones difieren, en cambio, sobre cómo y cuándo
podría cambiar esta situación. Una encuesta entre participantes del congreso
internacional celebrado en Vancouver (Canadá) permitió comprobar que las dos
terceras partes no tenían interés alguno en comunicarse con gente que no
estuviera en el campo de las matemáticas. El profesor Lynn Steen, a quien la
Fundación Nacional de la Ciencia había encomendado el estudio sobre el problema
de la comunicación entre los matemáticos y el público, expresó así su punto de
vista sobre esta actitud de los participantes en el congreso: Los
matemáticos ponen todo el acento y el entusiasmo en la tarea investigadora,
pero son incapaces de explicar, a quien no conozca el secreto, qué hacen o qué
buscan.
Aquello de que
saben investigar, pero no saben exponer queda claro con el testimonio de uno de
ellos, el destacado matemático Fritz John: No
me interesan la fama, la fortuna ni la aclamación del público; lo único que
deseo es la admiración envidiosa de mis colegas.
Ocurre, sin
embargo, que los pocos matemáticos que han sido capaces de explicar sus
trabajos al gran público han destacado por su capacidad y, muchas veces, su
genio. Para el matemático Ronald Graham esto no es una coincidencia: Los que realmente saben, también saben exponer.
La Fundación
Nacional de la Ciencia insistió en la necesidad de divulgar esta disciplina y
ha venido planteando un desafío, tanto a los matemáticos como a los
periodistas, para romper las barreras que separan esta ciencia del gran
público. Este reto alcanza a todos los que en el mundo estudian matemáticas y a
todos los que realizan una tarea de comunicación científica[3]. Paulos ha reflejado en sus
libros la preocupación por el hombre que él llama “anumérico” y que somos la
mayoría de la humanidad.
Cuatro
matemáticos españoles de hoy, los profesores Antonio Córdoba, Miguel de Guzmán
(recientemente fallecido), J. Ildefonso Díaz Díaz y Javier de Lorenzo, han expuesto
sus criterios sobre la divulgación de esta ciencia.
Córdoba: Matemáticas en la vida cotidiana
El profesor
Antonio Córdoba, de la Universidad Autónoma de Madrid, pone algunos ejemplos
sobre el uso cotidiano de las matemáticas: en medicina, tenemos el escáner, la
tomografía asistida por ordenador para la localización de tumores. En geofísica
se estudia la propagación de las ondas sísmicas aplicando las matemáticas para
obtener información sobre la estructura de la corteza terrestre: fallas,
yacimientos de mineral y bolsas de petróleo. Los espectrómetros de rayos X son
nuestros ojos para determinar la estructura espacial de las moléculas cristalinas.
Las matemáticas de las finanzas utilizan ecuaciones diferenciales y procesos
estocásticos para describir los mercados de derivados y futuros, etc.
La lista
podría hacerse muy larga, enorme. Son problemas muy interesantes que dan lugar
a matemáticas también de gran interés. Pero hay otro aspecto de más hondo
calado en la matemática: el empeño por la perfección de las formas del
pensamiento, el énfasis en las demostraciones rigurosas talladas en el diamante
de la lógica más estricta, y la derivación desde los primeros principios de las
teorías sobre la naturaleza, han producido frutos riquísimos a lo largo de la
historia y han dado lugar a revoluciones en nuestra concepción del espacio y
del tiempo[4].
Guzmán: Romper el lastre de prejuicios
El profesor
Miguel de Guzmán, matemático y divulgador, confirma la necesidad de hacer
llegar de un modo asequible a un amplio segmento de la sociedad el sentido de
la actividad que la comunidad matemática realiza. Es algo necesario, dice, y
contribuirá sin duda a que se cumplan los propósitos siguientes:
- Romper el lastre de prejuicios que vamos arrastrando de una generación a otra en torno a la matemática y que, en muchos casos, es
causa de bloqueos en la mente de nuestros niños con respecto a esta disciplina.
- Mejorar las condiciones
culturales de muchas personas, abriéndoles los ojos a la realidad de la
cultura actual y haciéndoles capaces de proveerse de herramientas
indispensables para muchas de las actividades de las profesiones del
futuro.
- Conseguir que la sociedad
valore de modo adecuado el papel de la matemática hoy día, de tal modo que
pueda darse cuenta de que incluso muchos aspectos que podrían parecer
ociosos del quehacer matemático básico posiblemente tendrán su fruto
práctico en el futuro, como un somero conocimiento de la historia de las
ciencias y sus aplicaciones nos muestra.
Para Guzmán,
una divulgación de la matemática bien realizada puede tener, entre otros, los
siguientes objetivos:
a)
Compartir la belleza,
el poder de las matemáticas con un público amplio, tratando en muchos casos de
penetrar a través de las barreras tradicionales entre las dos culturas, mucho
más sólidas alrededor de las matemáticas que alrededor de cualquier otra
ciencia.
b)
Tratar de cambiar
actitudes hacia las matemáticas de muchos que necesitan tal cambio, con la
convicción profunda de que tales actitudes son altamente perjudiciales a la vez
para un sano desarrollo de la cultura y para el progreso de la matemática.
c)
Animar a más personas
a ser matemáticamente más activas, con la persuasión firme de que esto puede
conducir hacia una vida más plena intelectualmente y más satisfactoria.
d)
Estimular un
desarrollo de la actividad matemática en libertad, no por compulsión, tratando de
deshacernos de los muchos prejuicios infundados, hondamente arraigados entre
tantos niños y adultos en nuestra civilización.
La divulgación
de las matemáticas debe dirigirse a los siguientes estratos o sectores
sociales:
- Al público en general. Evitando tecnicismos, deberíamos tratar de transmitir en cuanto es
posible el impacto y los métodos del pensamiento matemático acerca de algunos
temas especiales: biografías de los matemáticos, tanto del pasado como
actuales; aplicaciones, ideas, hechos que deberían formar parte de la cultura
como el desarrollo de la concepción de estructura científica entre los
pitagóricos; el desarrollo del cálculo infinitesimal; el sentido, en relación
con la comprensión de los misterios de la mente humana, de algunos de los modernos
desarrollos de la matemática.
- Hay que dirigirse también a
los más jóvenes, con una sensibilidad correcta de sus posibles intereses y
motivaciones alrededor de este tema. Y debe estar a cargo de quienes saben
comunicarse con ellos para transmitirles su entusiasmo, a través de exposiciones,
competiciones, juegos, etc.
- Asimismo, debe dirigirse
esta divulgación a los estudiantes de educación secundaria, mostrándoles
los aspectos más importantes de la historia, la evolución y las
aplicaciones de cada uno de los temas con los que se ponen en contacto, a
través de las biografías de los hombres y mujeres más importantes en
matemáticas, mediante una presentación adecuada de los impactos culturales
de la matemática a lo largo de la historia de la humanidad.
- A los otros profesionales
dentro y fuera del mundo académico. Hay una multitud de aspectos de la
matemática que tal vez ellos no usan actualmente en su propio trabajo,
pero que podrían arrojar nuevas luces sobre su forma de afrontar los
problemas propios de su trabajo. Muchas de las soluciones más creativas
provienen de la aproximación a los problemas de un campo con las
herramientas de otro distinto.
- A los profesionales de las
matemáticas. El desarrollo de esta disciplina es tan intenso que resulta
rara la persona que pueda entender el lenguaje de dos o tres de los muchos
campos actuales de la matemática. También
los matemáticos formados en un cierto campo necesitamos que alguien nos
explique con un lenguaje adecuado las ideas que van teniendo más éxito en
otros campos, vecinos y no vecinos, con la convicción de que tales ideas,
por razón de la unidad en lo profundo de la matemática, puedan sernos de
utilidad para una comprensión más penetrante del propio campo en que
trabajamos[5].
Díaz: Las matemáticas son ideas
No es frecuente
que un catedrático de matemáticas dedique una parte de su discurso de recepción
en la Academia a la divulgación de la ciencia y al periodismo científico. El
profesor J. Ildefonso Díaz Díaz lo hizo. El título del discurso era El mundo de la ciencia y las matemáticas del
mundo.
En un mundo
tan influido por la matemática, en sus aspectos científico y tecnológico, ¿por
qué esta ciencia básica no trasciende hasta el gran público? La divulgación de
las matemáticas no es tarea sencilla, por no decir muy difícil. Los artificios
técnicos de esta ciencia, su formalismo y simbolismo, sus tecnicismos a veces
desconcertantes, enmascaran su naturaleza. Incluso personas con estudios
superiores están convencidas de que no son capaces de entender casi ningún
razonamiento matemático.
Las matemáticas no son solamente símbolos y cálculos,
dice el profesor Díaz Díaz. Esto no es
más que el equivalente de las notas y del pentagrama en la música. Las
matemáticas son ideas, es decir, el estudio de esas ideas, de sus relaciones y
extensiones. La buena matemática no se contenta sólo con proporcionar
soluciones a numerosos problemas: trata de comprender por qué se dan tales
soluciones, por qué adoptan formas concretas, y todo ello valorando la economía
del pensamiento. Esto es lo que la hace profunda y bella al mismo tiempo.
El académico
recuerda que algunas recientes incursiones de científicos en el campo de la
divulgación han sido, de hecho, verdaderos best
sellers, como los libros de Hawking o Penrose. Y deben recordarse los
famosos estudios sobre la psicología de la creación matemática, debidos a
Poincaré, Hadamard y Birkhoff. En el campo de las matemáticas, son pocos los
intentos por divulgar al gran público el papel fundamental que la matemática
está desempeñando en el progreso de otras ciencias y de la tecnología. Ahora
que el programa espacial norteamericano ha vuelto a la actualidad con la
exploración de Marte, es lástima que no se haga ninguna referencia a la
contribución matemática en esta complicada empresa. Lo mismo sucede en temas
tan dispares como el diseño de coches, aviones, trenes de alta velocidad,
tecnología médica, técnicas audiovisuales, etc.
Ante la
consulta verbal que formulamos al profesor Díaz Díaz, si pueden las
dificultades de una ciencia justificar su desconocimiento por el público, su
respuesta fue: La
ignorancia científica más imperdonable no es la de la población normal, sino la
que muestran, incluso alardeando de ello, algunas personas con responsabilidades
públicas o con un gran poder de mimetismo en la sociedad. Desgraciadamente,
esta actitud contagia a un gran número de ciudadanos.
También en
comunicación personal al autor de este artículo, el profesor Díaz Díaz se
formula una pregunta de gran importancia en este contexto: ¿Puede una persona sin formación matemática contribuir a la difusión,
divulgación y progreso de la matemática?
La respuesta
del catedrático y académico es afirmativa. Cuando una persona no profesional de
la matemática se acerca a ella puede ser capaz de sembrar la curiosidad con
mayor acierto si cabe que un profesional. Este es el caso, por ejemplo, del
poeta y filósofo alemán Hans Magnus Enzensberger, quien ha tenido un éxito
editorial insospechado con su libro El
diablo de los números y deja con ganas de “saber más” a un número de
personas muy superior al que estaría al alcance de un profesional de la
matemática.
La sociedad
actual requiere un cuidadoso y permanente análisis de los conocimientos
científicos mínimos en cada nivel educativo. Un pretendido bombardeo de la
ciencia sería innecesario y, de hecho, claramente imposible. Paradójicamente,
en la era de la comunicación multimedia, nunca se ha dado una menor capacidad
de discernimiento para el ciudadano medio. Uno de los problemas de nuestra
época es la saturación de la información. Sin embargo, los medios de
comunicación de masas uniformizan sus mensajes y sus contenidos. ¿Cómo y qué
seleccionar? ¿Cómo sintetizar? ¿Cómo lograr unos criterios personales, una
cultura, en armonía? Son preguntas que asaltan a numerosas personas y cuya
respuesta se escapa del mundo de la educación, la investigación y hasta de la
cultura humanista para depositarse en manos del periodista[6].
Lorenzo: El estilo matemático
El profesor
Javier de Lorenzo se ha preocupado de las relaciones entre matemáticas y
expresión escrita, sea como escritor o como divulgador. Para este estudioso de
la matemática, el lenguaje de creación en esta ciencia se corresponde con las
formas habituales: ensayo, diario personal y carta.
El ensayo se
publica en revistas y se desarrolla en un breve esquema, sin llevar a veces un
mínimo de demostración de las proposiciones que enumera.
El diario
matemático se suele utilizar como borrador, como cuaderno de notas y también
pensando en una futura publicación, en vida del autor o después de muerto. Como
ejemplo de borrador De Lorenzo cita el de Richard Dedekind, pero considera como
modelo el borrador de Gauss. En vida, muchas veces se permitió este gran matemático
afirmar que teorías nuevas, incluso revolucionarias, le eran conocidas desde
muchos años atrás. El clima creado por las revelaciones de quien fue
considerado princeps mathematicorum
ha quedado reflejado en una carta de Legendre a Jacobi, de 30 de noviembre de
1827. Al publicarse los borradores de Gauss, se demostró que todo lo que había
dicho era cierto.
En los siglos
XVI y XVII, los matemáticos se ponen en contacto personal mediante la carta, a
pesar de la existencia de la imprenta. El intercambio epistolar se convierte en
fuente de información. La enorme correspondencia de Euler nos permite, por
ejemplo, conocer mejor su vida y sus métodos de trabajo.
Para Javier de
Lorenzo, el lenguaje expositivo se encuentra, básicamente, en el ensayo o
memoria y en el libro. Al tercer nivel expresivo, De Lorenzo lo llama lenguaje
de divulgación y adopta, en general, la forma de libro de texto o de
iniciación. Al estar destinado a un público más amplio, sus notas deben ser la
claridad, la sencillez, la concisión. Este nivel de divulgación se convierte en
clave del progreso matemático, pero no se trata de divulgación para el público.
El profesor De Lorenzo subraya que la obra matemática exige tanto del que
escribe como del que lee. Éste, el lector matemático, ha de “recrear” la obra,
sea del nivel que sea, que tiene en sus manos, y ha de ser él quien cubra las
lagunas del texto, los reiterados “de inmediato”, “es evidente”, “se obtiene”, “el
lector comprobará”... que jalonan las demostraciones completas de las
proposiciones que se enuncian[7].
Grandes
divulgadores de la matemática
Las
matemáticas han progresado como otras grandes disciplinas, pero estos avances
pocas veces llegan al público, quizá porque sean pocos los cultivadores de esta
ciencia que hayan publicado reflexiones sobre su disciplina y que aporten,
además, su experiencia personal. Siempre resulta interesante la lectura de los
numerosos artículos de Poincaré sobre la ciencia. G.H. Hardy, de una generación
más próxima, escribió al final de su vida una Apología muy interesante, en la que aparece continuamente la
persona que hay detrás del matemático.
Nos
permitiríamos añadir a dos matemáticos del siglo XX, Norbert Wiener y
Paul Erdös. El primero escribió su autobiografía en dos tomos: Ex prodigio. Mi infancia y juventud (1953)
y Soy un matemático (1956). En el
prefacio del tomo segundo, el gran científico, creador del vocablo cibernética, subraya su preocupación por
explicar a un público no demasiado interesado en la ciencia, y que carece de
conocimiento técnico sobre esta materia, el desarrollo de ideas que son
fundamentalmente científicas. En el segundo tomo, Wiener nos informa de que
antes había escrito otro libro para consumo general: una descripción más
popular de la cibernética, la utilización
humana de los seres humanos.
El otro matemático que evocamos es el húngaro
Paul Erdös (1913-1996), que recorrió el mundo para difundir esta ciencia y
plantear públicamente algunos problemas. Fue un niño prodigio. A los cuatro
años descubrió los números negativos y a los cinco, el tiempo que tardaría un
tren en llegar al Sol. Las matemáticas fueron su vida y tuvo la virtud de
popularizarlas. Pero, además, publicó unos 1.500 resultados, casi tantos como
Euler, y se han contabilizado unos 500 co-autores con los que colaboró. Como a
la mayoría de los grandes matemáticos a Erdös le encantaba jugar, y de hecho
inició su carrera profesional resolviendo los problemas de la revista Közepiscolai Matematikai Lapok[8].
Acabamos de
citar a Leonhard Euler, un gran científico divulgador nacido en Basilea en 1707
y muerto en San Petersburgo -desde donde Catalina II le había llamado- en 1783.
Matemático excepcional, que publicó en vida 473 memorias y algo fuera de su
producción habitual: Letres à une
princesse d'Allemagne sur quelques sujets de physique et de philosophie,
escritas directamente en francés. Su enorme correspondencia nos permite conocer
mejor su vida y sus métodos de trabajo[9].
Debe
recordarse a un importante cultivador de esta ciencia, que murió hace más de un
siglo: el francés José Díaz Gergonne, no sólo gran matemático sino historiador
de esta ciencia y fundador de Annales de
Mathematiques, primera revista puramente matemática del mundo (Javier de
Lorenzo, 1959).
Concluimos
esta selección con un texto de Ian Stewart, uno de los mejores divulgadores
actuales de la matemática, autor de numerosos libros y que publica artículos en
muchas revistas (tanto especializadas como de gran audiencia). Ofrecemos unos
textos tomados del prólogo de uno de sus libros traducidos al castellano, De aquí al infinito[10].
¿Qué
son las matemáticas? ¿Para qué sirven? ¿Qué están haciendo ahora los
matemáticos? ¿No estaba todo hecho hace mucho tiempo? En todo caso, ¿cuántos
números nuevos se pueden inventar? ¿Son las matemáticas actuales simplemente
algo que consiste en efectuar enormes cálculos, siendo el matemático algo así
como un empleado del zoológico empeñado en alimentar a sus preciosos
ordenadores? Si no es así, ¿qué son las matemáticas sino los excesos
incomprensibles de unos cerebros superdotados que tienen la cabeza en las nubes
y los pies colgando de los altos balcones de una torre de marfil?
Las
matemáticas son todo esto y nada de ello. En su mayor parte son completamente
diferentes. No son lo que la gente supone. Incluso cuando parece que fueran lo
que se supone que son, basta con volver la espalda un momento para que ya hayan
cambiado. Ciertamente no se limitan a ser un cuerpo de conocimiento
inconmovible, su desarrollo no se reduce a inventar números nuevos y sus
zarcillos ocultos invaden todos los aspectos de la vida moderna.
Las
matemáticas están cambiando a gran velocidad. El propio libro de Ian Stewart,
publicado en 1987, ha tenido que recoger, en las ediciones sucesivas, varios
descubrimientos fundamentales. Durante los diez últimos años se ha demostrado
el teorema de Fermat, el caos y los fractales han sobrepasado los límites que
tenían en sus orígenes y otras cuestiones han tenido que pasar por “retiradas
estratégicas”.
Una
característica de la ciencia de finales del siglo XX es que se están
desvaneciendo las fronteras tradicionales entre las distintas disciplinas. En
matemáticas, ya no es lógico dividirlas en álgebra, cálculo, geometría, etc.
Muchas áreas de investigación matemática se ven ahora enriquecidas por el
contacto activo y directo con las ciencias aplicadas.
Vivimos en un
mundo que cada vez es más matemático. A veces se piensa que las matemáticas son
un arte, pero yo creo que las pautas del pensamiento matemático están más cerca
de la ciencia. Las matemáticas constituyen una de las piedras angulares del
esfuerzo científico, y la ciencia y su legado tecnológico nos afectan a cada
uno de nosotros incluso de algunas maneras que no entran dentro de lo que
conocemos, o podemos conocer.
La dificultad
para divulgar estos temas al gran público parece basarse en las características
propias del lenguaje matemático, cuyas palabras tienen un solo significado,
exacto, preciso y específico. Trasladar
las matemáticas a un lenguaje corriente -dice el matemático alemán Johannes
Wagner- es tan difícil como traducir la
poesía china[11].
Sin embargo,
hay poesía china traducida, y algo puede hacerse para divulgar las matemáticas.
En próximas colaboraciones añadiremos a lo dicho hasta ahora algunos posibles
caminos.
