Recibido: viernes, 07 julio 2006

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Lennart Carleson, Premio Abel 2006

 

 

Fernando Pérez González

Departamento de Análisis Matemático

Universidad de La Laguna

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En el año 2001, el gobierno de Noruega  acordó instaurar el Premio Abel, con carácter anual, a fin de honrar la memoria de Niels Henrik Abel, el insigne matemático noruego que murió a la temprana edad de 26 años. Este galardón distingue fundamentalmente la labor desarrollada por un matemático y por ello, y por su cuantía económica, es considerado por muchos el equivalente al Premio Nobel de las Matemáticas. En la edición de este año 2006, el premio fue concedido al matemático sueco Lennart Carleson, quien lo recibió de manos de la reina Sonja de Noruega en un solemne acto celebrado el pasado 23 de mayo en la Universidad de Oslo.

 

 

Su vida

 

Lennart Axel Edgard Carleson nació el 18 de marzo de 1928 en Estocolmo. Estudió en la Universidad de Uppsala, por donde se doctoró en 1950 bajo la dirección del gran matemático sueco Arne Beurling.  A la temprana edad de 26 años obtuvo una cátedra en la Universidad de Estocolmo, regresando un año después a Uppsala donde también ganó una plaza de catedrático.  Desde unos años más tarde ha simultaneado sus professorships en la Universidad de California en Los Angeles, USA,  y en el Royal Institute of Technology  de  Estocolmo.

 

En el periodo 1968-84 fue director del Institut Mittag-Leffler de Djurshölm, al norte de Estocolmo. Gösta Mittag-Leffler construyó este majestuoso edificio a finales del siglo XIX como una residencia, una biblioteca y un lugar de reunión para la élite cultural y académica.  Carleson comprendió el potencial de todo el entorno, encontró la financiación adecuada e hizo todos los trámites que condujeron a la creación del Institut Mittag-Leffler como hoy lo conoce la comunidad matemática internacional, un lugar ideal donde los matemáticos pueden realizar  estancias cortas o largas al  objeto de desarrollar sus investigaciones.

 

Durante 23 años, desde 1956 hasta 1979, Carleson fue editor de Acta Mathematica, la muy prestigiosa revista cuya vida va a asociada al Institut Mittag-Leffler. En el periodo 1978-1982, Carleson fue presidente de la IMU (International Mathematical Union), y durante su mandato trabajó tenazmente para que la República Popular China estuviese representada en la IMU, lo que no era un hecho menor en esa época debido a motivos políticos.

 

 

Incluyendo la edición de este año en Madrid, en cuatro ocasiones Carleson ha sido invitado a los International Congress of Mathematicians (ICM), siendo en una ocasión conferenciante plenario, hecho éste que es altamente valorado por la comunidad matemática internacional.

 

Carleson es Doctor Honoris Causa por diferentes universidades y académico correspondiente de diversas academias. Ha recibido numerosas distinciones por su obra, como el Premio Leroy P. Steele de la American Mathematical Society en 1984, el Premio Wolf en 1992,  la Medalla de Oro de Lomonosov de la Academia Rusa de Ciencias en 2002 y la Medalla Sylvester de la Royal Society of London en 2003, galardones a los que en 2006 hay que añadir el que es considerado ya el número uno de los premios en Matemáticas, el Premio Abel.

  

 

Su obra

 

El jurado que le otorgó esta distinción  resume los méritos contraídos por Lennart Carleson  en sus  profundas y fundamentales contribuciones al análisis armónico y a la teoría de sistemas dinámicos regulares.

 

Si uno tuviese que separar a los matemáticos en dos categorías, aquellos que construyen teorías y los que resuelven problemas, sin la menor duda Carleson tendría que ser incluido en la segunda, por su vieja y bien ganada reputación al haber resuelto problemas difíciles por métodos enormemente complicados.  Esto lo explica el jurado con estas palabras:

 

Carleson está siempre por delante del resto del gran grupo. Él se concentra sólo en los problemas más difíciles y profundos. Y una vez que están resueltos, permite que otros invadan este nuevo reino que él acaba de descubrir, mientras  se mueve hacia otros dominios de la ciencia más lejanos y menos explorados.   

 

El jurado señala tres problemas especiales que Carleson ha solucionado, uno de los cuales se destaca sobre los otros dos: la convergencia de series de Fourier. Los otros dos problemas que el jurado estimó positivamente en su decisión fueron el problema de la corona y un problema en sistemas dinámicos relacionado con el atractor de Hénon. 

 

Convergencia de series de Fourier

 

Este es un problema de análisis armónico que el matemático francés Jean Baptiste Joseph Fourier formuló en 1807 ante la Academia Francesa de Ciencias, al afirmar que toda onda periódica se puede descomponer como suma infinita de senos y cosenos. Detrás de esta afirmación se  esconde  la idea intuitiva de que todo sonido resulta de la superposición de armónicos simples (senos y cosenos) convenientemente amplificados. Fourier era bastante impreciso en sus formulaciones, y sus ideas provocaron no poca controversia en la que se vieron envueltos Laplace, Lagrange, etc. Fue el matemático ruso Lusin quien vino a precisar el problema, escribiendo en un trabajo suyo publicado en 1913 que asumía que ese resultado era cierto, pero que no veía la forma de probarlo. A pesar de los diferentes intentos, nadie consiguió dar una prueba hasta que Carleson lo logró 160 años más tarde de haber sido formulado por Fourier, y la conjetura de Lusin pasó a ser el teorema de Carleson sobre la convergencia en casi todo punto de la serie de Fourier de una función de cuadrado integrable.

 

Debemos detenernos por un momento para advertir a los no expertos que una conjetura no es un teorema; no ha sido probada. Podemos decir que una conjetura es un truco o artimaña que  a veces utilizan los matemáticos cuando están convencidos de que algo es cierto pero no lo consiguen probar. Todos los ejemplos lo vienen a confirmar, e incluso en algunos casos se puede dar una prueba particular, pero no se consigue dar una demostración formal que valide el resultado globalmente.  En este caso, se plantea una conjetura que se publica en las mismas revistas que los artículos. Si el autor de la conjetura es afortunado, la conjetura llevará su nombre, incluso después de que alguna otra persona consiga probar el resultado.

 

La demostración del teorema de Carleson se mantuvo aislada durante treinta años dentro del análisis armónico, siendo sólo en la pasada década cuando los matemáticos han venido a entender la teoría de operadores que subyace en su demostración y han empezado a utilizar las ideas de Carleson para otros trabajos. El lector interesado es remitido a la magnífica monografía de J. Arias de Reyna.

 

El teorema de la corona y la medida de Carleson

 

Este problema se refiere a una cuestión en matemáticas puras que fue establecida como conjetura por el matemático japonés Kakutani a principios de los años cuarenta del siglo XX. Toma este nombre de la corona solar, el anillo de materia incandescente que rodea al sol y que sólo se puede observar cuando hay un eclipse total de sol. Que sepamos Carleson nunca estuvo interesado en la astronomía, pero probó su teorema de la corona, dando una demostración larga y llena de tecnicismos, que  más tarde pudo ser notablemente simplificada por otros matemáticos como Tom Wolf y Theodore Gamelin.  

 

Eclipse solar total observado el 11 de julio de 1991 en Hawai [Fotografía: S. Koutchmy, IAP-CNRS, Francia]

El problema de la corona considera ciertas funciones definidas en un disco. La frontera de este disco es una circunferencia. La cuestión es: si estas funciones tienen un comportamiento propio dentro del disco, ¿cuántos rizos, fibras o destellos se pueden levantar sobre la circunferencia? El teorema de Carleson da una respuesta a esta pregunta. Este resultado no tiene nada que ver con la astronomía; la analogía en la que el disco es el sol y la circunferencia frontera es la corona solar se establece simplemente por asociación con un fenómeno más conocido.

 

La prueba de Carleson del teorema de la corona es también un ejemplo de cómo la solución de un problema tiene efectos sobre otros problemas. Una medida es una forma de asignar un número no negativo a un conjunto dado. Por ejemplo, podemos definir la medida de un intervalo de números reales como su longitud, o la medida de un conjunto plano como su área. En su demostración Carleson necesitaba medir la longitud de ciertas curvas que construyó en el disco, e introdujo una medida con este propósito. Esta nueva medida, conocida hoy como medida de Carleson, ha resultado ser tremendamente útil en otros muchos campos de la matemática.

 

Sistemas dinámicos y el atractor de Hénon

 

El  trabajo más reciente que el jurado tuvo en cuenta para la concesión del Premio Abel se origina en el periodo 1985-1991 y concluye en el trabajo de Carleson y Benedicks de 1991.  Este trabajo cae dentro del área de los sistemas dinámicos. A modo de motivación del mismo, hemos de retrotraernos hasta 1960 y al famoso MIT, el Massachussets Institute of Technology, donde el meteorólogo Edward Lorenz trabajaba en crear buenos modelos que ayudasen a la predicción meteorológica. Lorenz tenía un ordenador, que hoy no dudaríamos en calificar de extremadamente primitivo, con el que hacía sus enormes cálculos. Hablando grosso modo, las técnicas de predicción del tiempo suponen la consideración de leyes físicas, concretadas en sus oportunas ecuaciones y con unas condiciones iniciales que se corresponden con la fuerza del viento, grado de humedad, presión atmosférica, etc. en un instante determinado. Usando esta descripción, se calculan los valores de estos mismos parámetros para un intervalo de tiempo próximo, luego para otro intervalo después de éste, luego para  el que le sigue, etc.,  hasta que finalizamos con la predicción para mañana. Lorenz tuvo que reducir su modelo a sólo tres parámetros, a cada uno de los cuales les daba sus valores y luego “arrancaba la máquina”.

 

La historia cuenta que Lorenz trató un día de continuar con la tarea que había interrumpido el día anterior. Comenzando más o menos a la mitad de donde lo había dejado, introdujo los números relevantes y puso la máquina a funcionar. De entrada todo coincidía con las observaciones del día anterior, pero repentinamente los valores comenzaron a desviarse; al principio sólo un poco, y luego muy rápidamente. El modelo había predicho algo completamente distinto de lo que había hecho el día anterior. ¿Qué podía ocurrir? Las ecuaciones eran las mismas, el punto de partida el mismo, el ordenador el mismo, pero la respuesta era diferente.

 

La explicación era que los valores de los parámetros no coincidían. Lorenz redondeó hasta la cuarta cifra decimal cuando empezó el segundo día. Esto significaba que las condiciones iniciales eran ligeramente diferentes, pero ¿podía una diferencia del orden de diezmilésimas provocar una catástrofe? Se suele dar por sentado que pequeñas diferencias en los datos de entrada dan lugar a ligeras diferencias en los resultados, pero este no era el caso aquí. La razón es que el proceso estaba basado en repeticiones sucesivas donde el resultado previo hacía de premisa en el siguiente. Una pequeña desviación ligeramente modificada en cada paso podría llevarnos hasta lo desconocido después de muchos pasos. Lorenz había descubierto el fenómeno conocido en meteorología como efecto mariposa,  a saber, el simple movimiento de las alas de una mariposa en Beijing en marzo puede provocar que los huracanes de agosto en el Atlántico Norte tomen una derrota completamente diferente a la habitual.   

 

Dejando al margen los aspectos meteorológicos y físicos del descubrimiento de Lorenz y centrándonos en la matemática que encierra, hemos de decir que no fue difícil, con la ayuda de potentes ordenadores, crear ilustraciones del sistema de Lorenz, aunque ello no proporcionó información sobre las estructuras matemáticas que podía haber detrás, ni apuntó visos de que alguien pudiera encontrarlas.   

 

En 1976 el astrónomo Michel Hénon  presentó una versión simplificada del sistema de Lorenz.  El sistema dinámico discreto de Hénon tenía dos importantes ingredientes: requería de cálculos mucho más sencillos que el de Lorenz y, como el Lorenz, presentaba un atractor extraño.

 

El sistema de Hénon viene descrito por una aplicación T del plano en el plano definida por

 

T(x,y) = (1 + y – 1.4x² , 0.3x).

 

La aplicación de Hénon especifica un modo de saltar de un punto a otro del plano. Partiendo de un punto dado, pueden ocurrir varias cosas. Podemos saltar más y más en la dirección de un punto particular, podemos terminar saltando alrededor de un número finito de puntos, o podemos desaparecer en el infinito. Pero también es posible que acabemos en una zona de donde no podamos escapar y dentro de la cual experimentemos un comportamiento aparentemente caótico, saltando en todas direcciones. Una zona así se denomina atractor extraño: atractor por la tendencia a permanecer en ella, y extraño porque la aplicación muestra un comportamiento irregular o caótico después de que hayamos entrado en dicha zona.

 

Carleson y Benedicks presentaron una demostración formal del hecho de que el mundo es exactamente tal como pensamos que es, que un atractor extraño existe.  Nada imprevisto va a ocurrir incluso haciendo millones y millones de iteraciones, y una vez que entremos en la cuenca atractora permaneceremos en ella sin poder escaparnos.

 

 

A modo de conclusión

 

Siendo inmensa la aportación que Lennart Carleson ha hecho a la Matemática por haber probado los importantes resultados que ha obtenido,  hay que señalar rápidamente que no son menos importantes las ideas, técnicas y mecanismos que hay detrás de sus demostraciones. A través de Fernando Soria, analista de la Universidad Autónoma de Madrid, he conocido un comentario de Michael Christ, destacado matemático de la Universidad de California en Berkeley, sobre el análisis armónico ante una audiencia en la que no todos eran especialistas. En su charla puso una transparencia en la que aparecía una gran montaña  y una línea que la serpenteaba. Este es el teorema de Carleson, dijo, una montaña inexpugnable. No importa llegar a la cima; basta con saber que hay un camino abierto que otros podemos usar. 

 

 

Referencias

 

Premio Abel 2006

 

Página oficial del Premio Abel

 

Series de Fourier

 

J. Arias de Reyna: Pointwise convergence of Fourier series. Lecture Notes in Mathematics, 1785. Springer-Verlag, 2002.

L. Carleson: On convergence and growth of partial sums of Fourier series. Acta Mathematica 116 (1966), 135-157.

P. Falstad: Applet de Java sonoro que muestra la utilización de las series de Fourier para expresar una función en términos de las frecuencias o armónicos que la componen.

Grupo de Sistemas, Señales y Control, Johns Hopkins University: Applet de Java que muestra aproximaciones por series de Fourier a una señal periódica, continua en el tiempo, y los correspondientes espectros de magnitud y fase.

Maths Online Gallery, Universität Wien: Applet de Java en el que el usuario puede elegir los primeros 21 coeficientes de una serie de Fourier y observar la gráfica de la función resultante.

 

El teorema de la corona

 

L. Carleson: Interpolation by bounded analytic functions and the corona problem. Annals of Mathematics 76 (1962), 547-559.

 

La aplicación de Hénon

 

M. Benedicks, L. Carleson: The dynamics of the Hénon map. Annals of Mathematics 133 (1991), 73-169.

B.G. Adams: Applet de Java para el atractor de Hénon.

M. Cross: Applet de Java para mostrar el comportamiento caótico de la aplicación de Hénon.

Oracle ThinkQuest: Ilustración del carácter fractal del atractor de Hénon.

 

	Sobre el autor
	Fernando Pérez González es catedrático de Análisis Matemático y actualmente decano de la Facultad de Matemáticas de la Universidad de La Laguna. Sus líneas de investigación se enmarcan en el análisis complejo y funcional, y más precisamente en la teoría de espacios de funciones analíticas.