Recibido: sábado, 01 de marzo de 2008
¿Qué pasaría si...
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… un vitivinicultor, sabiendo que el sabor y el color se
concentran en la piel de la uva, quisiera cultivar una variedad que acentúe las
dos características? ¿Debería preferir una uva de grano más pequeño o de grano
más grande?
[La solución, en el próximo número]
Solución al problema anterior
…cortáramos un cubo con un plano? ¿Podríamos obtener un
triángulo semejante a cualquier triángulo dado?
Respuesta: Recordemos en primer lugar que
dos triángulos son semejantes si los cocientes de los lados correspondientes
son todos iguales a un número fijo. Por ejemplo, la Figura 1 muestra dos triángulos semejantes:
Figura 1.
Estos dos triángulos satisfacen las relaciones
Una vez hecha esta aclaración, la respuesta a la pregunta
es que no es posible obtener un
triángulo semejante a cualquier triángulo dado. Por ejemplo, veamos que este
proceso de cortar el cubo con un plano no nos puede dar un triángulo recto. En la Figura
2 se ve un posible corte.
Figura 2.
Los tres triángulos que aparecen en otras tantas caras
del cubo son rectos, por lo cual sabemos que se cumplen las siguientes
relaciones:
Si además queremos que se cumpla, digamos, la relación ,
usando las tres relaciones anteriores podemos escribir:
de donde resulta ,
lo cual está claro que no puede ser. Desde luego, llegaríamos a una
contradicción semejante si supusiéramos que el lado ó el es la hipotenusa del triángulo.
En este tema de cortar un cubo con un plano se pueden
hacer muchas otras preguntas. Por ejemplo, ¿es posible obtener triángulos
isósceles o equiláteros?, ¿es posible obtener un cuadrado o un rectángulo?, ¿se
puede tener una sección pentagonal o hexagonal?, ¿qué polígonos regulares se
pueden obtener?
Una manera divertida de experimentar es cortando patatas
en forma de cubos y luego cortando los cubos de diferentes maneras. Los cortes,
sumergidos en pintura, se convierten en sellos que pueden forman efectos
interesantes sobre una hoja de papel.
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Sobre la autora
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Josefina
(Lolina) Álvarez es Professor of Mathematics en New
Mexico State University (USA). Especialista en análisis
armónico y funcional,
se doctoró en Matemáticas por la Universidad de Buenos Aires
(Argentina),
bajo la dirección de A.P. Calderón. Ha ocupado diversos puestos
y cargos
académicos en la Universidad de Buenos Aires y en las
estadounidenses de
Princeton, Chicago, Florida Atlantic University y New Mexico.
Ha sido
investigadora del CONICET (Argentina). Miembro de la Unión
Matemática
Argentina, Mathematical Association of America y American
Mathematical
Society, formó parte del Committee on Committees de esta
última entre
1999 y 2002. Ha dictado numerosas conferencias en congresos y
sesiones
especiales e impartido seminarios en Alemania, Argentina,
Bélgica, Brasil,
Canadá, Colombia, España, Estados Unidos, México, Perú,
Polonia, Suecia y
Venezuela. Ha pertenecido y en varias ocasiones presidido los
comités
organizadores de distintos congresos y minisimposia. Ha ejercido como evaluadora para
prestigiosas revistas especializadas. Desde 2002 hasta 2007 ha
sido Editora Asociada del Rocky
Mountain Journal of Mathematics. Autora o coautora de
numerosos artículos
científicos y varias monografías en análisis armónico y
funcional y directora
de cinco tesis doctorales, ha desarrollado asimismo una intensa
actividad en el
campo de la educación matemática, habiendo recibido
diversos galardones a la excelencia docente.
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