Recibido: domingo, 31 de agosto de 2008
Arcos con geometría dinámica (GeoGebra), I
José Manuel Arranz, Rafael Losada, José
Antonio Mora y Manuel Sada
Equipo G4D
página web: http://geometriadinamica.es
En este artículo se propone el diseño de diez de los arcos utilizados en arquitectura con el programa de geometría dinámica GeoGebra. Para cada uno de ellos se ha intentado disfrazar las instrucciones de construcción con una guía en forma de secuencia animada que quiere parecerse en cierto modo a las utilizadas en las construcciones de Lego: partiendo de las piezas iniciales, unas pocas ideas visuales nos van acercando en pequeños saltos al resultado final. El lector podrá utilizar los applets para construir el arco propuesto con todas las funcionalidades de GeoGebra en su navegador.
Se incluye, además, una propuesta de trabajo comentada para la clase y las soluciones aportadas por dos grupos de alumnos de secundaria de edades comprendidas entre 12 y 14 años, uno de ellos en el IES Sant Blai de Alicante y el otro formado por los participantes en el proyecto ESTALMAT de la Comunidad Valenciana.
1.
Introducción
Arcos con geometría
dinámica se enmarca en un trabajo más amplio en el que se exploran las relaciones entre geometría y arte, que se puede encontrar en el portal colectivo del grupo
G4D [http://geometriadinamica.es].
Como equipo participamos en el Instituto GeoGebra de Cantabria [http://www.geogebra.org/IGI]
y en el proyecto Intergeo de la Unión Europea [http://www.inter2geo.eu/es],
entre cuyos objetivos se encuentra conseguir que los contenidos de geometría
dinámica sean cada vez más accesibles, se utilicen con mayor frecuencia y se
les pueda sacar mejor partido en la enseñanza de las matemáticas en Europa.
La idea de construir los arcos con geometría
dinámica surgió de los trabajos de José Manuel Arranz, quien en su página web http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/arcos/arcos.htm incluye una gran
colección de diseños.
En ella, José Manuel nos presenta cada arco junto con la secuencia de trabajo para diseñarlo.
1.1 Aspectos técnicos de los arcos
Un arco es un elemento utilizado en
arquitectura para unir dos pilares o dos muros con piezas pequeñas. De esta forma
podemos construir una edificación sobre un hueco: una casa, un puente o un
acueducto. Aquí tienes las imágenes de algunos arcos obtenidos de Wikipedia: el
Arco del Triunfo en París, el Monasterio de las Huelgas en Burgos y La Pedrera
en Barcelona, obra de Gaudí.
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Figura
1.
Arco
del Triunfo (París).
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Figura
2.
Monasterio de las
Huelgas (Burgos).
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Figura
3.
La
Pedrera (Barcelona).
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El problema que intenta resolver el
arco es descargar el peso de la construcción cuando va a recaer sobre una zona
hueca. Si no queremos que se rompa la edificación podemos diseñar una curva que
haga que el peso se dirija hacia los
laterales.
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Figura 4.
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Figura 5.
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Figura 6.
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1.2 Requisitos del sistema
Esta sección
usa applets de Java. Para poder visualizar e interactuar con las construcciones
se necesita tener la plataforma de Java versión 6 (o superior) [http://www.java.com/es] habilitada en el ordenador.
1.3 La construcción de arcos
En el applet tenemos el diseño de un arco ojival superpuesto a la imagen
de la puerta de la iglesia de San Pantaleón en Cuenca.
En la parte superior hay un deslizador llamado Construcción. Si movemos
el punto lentamente de izquierda a derecha veremos que el arco se borra por
completo y se inicia un proceso automático en el que van apareciendo
progresivamente tanto el arco como los elementos auxiliares en los que se apoya
su estructura. Más adelante se realizará la propuesta de construir diez arcos
distintos en la pantalla del ordenador con las orientaciones del applet y la
ayuda del navegador.
Hay un segundo deslizador designado por Distancia al vértice, que permite modificar el arco ojival para
poderlo ajustar a otra puerta distinta en la que la inclinación de los arcos
sea diferente. En los diseños se ha tenido la previsión de dejar algún elemento
móvil (normalmente uno o dos puntos) que nos permita después modificar las
curvas para que se puedan ajustar a otros arcos del mismo tipo, más o menos
estilizados.
1.4 La propuesta de trabajo
Hay diversos
tipos de arco dependiendo de la curva que utilicemos para cerrarlo. Cada archivo
contiene dos figuras: en la de la izquierda hay una imagen del arco construido y,
a la derecha, otra preparada para ser diseñada por el lector. Las
construcciones se han realizado con GeoGebra, tomando como fondo una imagen de
ese arco utilizado en una edificación real.
La figura de la izquierda admite animación, como
ya vimos en el arco ojival: si desplazamos hacia la derecha el deslizador Construcción, vemos aparecer las indicaciones del
diseño. En primer lugar desaparece el arco, y comienzan a aparecer nuevos
elementos que son las pistas para la construcción geométrica de la curva.
a)
El punto medio y el segmento que une ese punto con uno
de los extremos.
b)
El segmento comienza a girar alrededor del punto medio
anterior describiendo un arco.
c)
Continúa el arco.
d)
El arco está completo.
e)
Desaparecen los elementos accesorios para quedarnos
únicamente con la curva.
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Figura 9a.
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Figura 9b.
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Figura 9c.
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Figura 9d.
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Figura 9e.
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No se pide la reproducción de ese
movimiento, sólo la construcción del arco. Sobre la imagen de
la derecha se puede componer la curva a partir de las herramientas de la parte
superior (sólo se han seleccionado algunas
de las que ofrece GeoGebra). Si se prefiere trabajar con el programa
GeoGebra, previamente hay que instalarlo en el ordenador. Se descarga
gratuitamente en la siguiente dirección: http://www.geogebra.org/cms. Cuando el programa está
instalado, al hacer una doble pulsación sobre el applet, se abrirá el programa con
el archivo que se ha creado.
En varios de los arcos hay un
segundo deslizador que deja algún elemento libre para ser accionado. En el caso
del arco rebajado tenemos un segundo deslizador titulado Se rebaja que indica cuánto se ha bajado el centro para que el arco
no se eleve demasiado. Para verlo mejor, es interesante dejar el deslizador Construcción en una posición
intermedia:
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Figura 10a.
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Figura 10b.
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Figura 10c.
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2.
Arcos con GeoGebra
2.1.
Arco de medio punto
El arco de medio punto utiliza media
circunferencia para descargar los pesos que recaen en el espacio vacío. Comenzó
a ser utilizado en Mesopotamia durante el tercer milenio a.C. y sigue siendo
utilizado en la actualidad. Hemos elegido la imagen de una ventana de la
iglesia de Santa Eulalia en Susín, Biescas, Huesca.
Otros ejemplos:
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Figura
12. Castillo de la Mola (Novelda, Alicante).
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Figura
13. Palacio de Godoy (Cáceres).
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Figura
14. El Partal de la Alhambra (Granada).
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2.2.
El arco rebajado
El arco
rebajado se construye cuando no hay suficiente espacio en la parte superior
para el arco de medio punto. La solución consiste en colocar el centro del arco
más abajo que el anterior. La encontramos en la Casa Pagola en
Calahorra, La Rioja.
Otros ejemplos:
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Figura
16. Puente Viejo sobre
el río
Génave (Jaén).
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Figura
17. Puente sobre el río Órbigo, Fuente
La Vizana (Alija
del Infantado, León).
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Figura 18. Puerta Baja de la
muralla de
Daroca (Zaragoza).
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2.3.
Arco ojival
Está compuesto por dos arcos de
circunferencia simétricos. Utilizaremos una fotografía de la
iglesia de San Pantaleón en Cuenca.
Otros ejemplos:
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Figura 20.
Catedral de Palencia.
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Figura
21. Iglesia de
San Lorenzo
(Ciudad Real).
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2.4. Arco de herradura
Fue muy utilizado en el arte
visigodo y en el hispano musulmán. Está
compuesto por dos pequeños arcos de circunferencia a los lados y un gran arco
central en la parte superior. Lo veremos en la iglesia de San Pedro de Balsemao en Lamego, Portugal.
Otros ejemplos:
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Figura 23.
Mezquita de Córdoba.
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Figura 24.
Monasterio de las Claras
(Tordesillas,
Valladolid).
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2.5. El arco apuntado
Está formado por cuatro arcos de
circunferencia de 60º que se colocan sobre los lados exteriores de triángulos
equiláteros. Lo estudiaremos en el convento de Santo Domingo en Estella,
Navarra.
2.6. El arco conopial
Es un arco de cuatro centros que en
la parte central invierte el arco hacia arriba colocando el centro en la parte
superior, con ello consigue formar un vértice. Lo veremos sobre una imagen de
la Cartuja de Sevilla.
Otros ejemplos:
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Figura
27.
Catedral de
Murcia.
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Figura
28. Iglesia de Santa María Magdalena
(Torrelaguna,
Madrid).
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2.7. El arco carpanel
El arco carpanel es un arco rebajado
con tres centros; dos de ellos se utilizan para formar pequeños arcos en los
extremos, por lo que adquiere una forma redondeada. Lo vamos a estudiar en la
portada de una casa de Palma de
Mallorca.
Otros ejemplos:
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Figura
30. Cáceres.
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Figura 31.
Hospital de Nuestra Señora de los Milagros (Guadalcanal, Badajoz).
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Figura
32. Puerta de Loreto (Orihuela, Alicante).
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2.8.
El arco trebolado
Está
formado por tres arcos de circunferencia que reproducen el perfil de un trébol.
Lo tenemos en el Mihrab de la Mezquita de Córdoba.
Otros ejemplos:
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Figura
34. Catedral de
Santiago de
Compostela.
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Figura 35. Mezquita de Córdoba.
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2.9.
El arco tudor
Es un arco rebajado que se construye
a partir de cuatro centros: dos de ellos, de radio más pequeño, sirven para
redondear los extremos, mientras que los otros dos tienen el centro en la parte
inferior y se unen en la mediatriz. Se ha construido sobre una imagen de
una de las puertas del Taj Mahal en la India.
Otros ejemplos:
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Figura
37. Mezquita del Imam (Isfahan, Irán).
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Figura
38. Puente Khaju (Isfahan, Irán).
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Figura 39.
Taj Mahal (Agra, India).
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2.10. El arco rampante
Es asimétrico y está formado por dos arcos de 90º, uno con mayor radio que
el otro, mientras que la suma de los dos radios es igual al segmento AB. Lo
encontramos en las puertas traseras de la iglesia de la Magdalena junto al
castillo de la Mola en Novelda, Alicante.
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Sobre los autores
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El equipo G4D [http://geometriadinamica.es] está formado por José Manuel Arranz, Rafael
Losada, José Antonio Mora y Manuel Sada. Miembros del equipo
Intergeo para la difusión de la geometría dinámica y del Instituto GeoGebra
de Cantabria, coordinan la sección Geometría Dinámica y Matemáticas
Interactivas del portal DivulgaMAT.
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José Manuel Arranz San José [http://roble.pntic.mec.es/jarran2]
es profesor de Matemáticas del IES Europa de Ponferrada (León), profesor
asociado de Matemáticas de la Universidad de León y autor de las webs Geometría Dinámica-Cabri II y Geometría Activa, que ha recibido varios
premios. Ha sido asesor de Matemáticas del Centro de Profesores de Ponferrada
y miembro del consejo asesor de la revista SUMA.
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Rafael Losada
Liste [http://www.iespravia.com/rafa/rafa.htm]
es profesor de Matemáticas en el IES de Pravia (Asturias). Autor de La
Programación de Matemáticas con Recursos Interactivos, coordina la sección de Música y Matemáticas de DivulgaMAT. Está certificado
por el International GeoGebra Institute como GeoGebra Institute Trainer
asociado al Instituto GeoGebra de Cantabria.
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José Antonio
Mora Sánchez
[http://jmora7.com] es profesor
de Matemáticas en el IES Sant Blai de Alicante. Ha sido asesor para la
Reforma del Sistema Educativo en la Comunidad Valenciana (1985-88) y asesor
de Matemáticas del Centro de Profesores de Alicante (1990-95). Miembro del
equipo T3, dedicado a la introducción de las NNTT en la enseñanza
de las matemáticas, pertenece al comité asesor de la revista UNO y al consejo
de redacción de la revista SUMA.
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Manuel Sada Allo [http://recursos.pnte.cfnavarra.es/~msadaall/geogebra/ index.htm]
es profesor de
Matemáticas del IES Zizur. Actualmente trabaja como asesor de Matemáticas del
Centro de Apoyo al Profesorado de Pamplona (Navarra). Es autor de las webs Recursos informáticos y audiovisuales para
el aula de Matemáticas y Ejemplos
diversos de webs interactivas de Matemáticas con GeoGebra.
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