Recibido: jueves, 13 diciembre 2007
¿Qué pasaría si...
Pinche sobre una fórmula para ampliarla. Vuelva a pinchar sobre ella para reducirla, o pinche manteniendo pulsada la tecla [shift] para reducir todas las que permanezcan ampliadas.
... cortáramos un cubo con un plano? ¿Podríamos obtener un triángulo
semejante a cualquier triángulo dado?
[La solución, en
el próximo número]
Solución al problema anterior
... nos preguntáramos si habrá un número menor que 
que también sea estrictamente mayor que todos
los números en nuestra “torre exponencial” de
junio? ¿Existirá tal número?
Respuesta: No, no hay ningún número menor que con esa propiedad. Esta es una afirmación
bastante profunda, que para ser probada con todo rigor requeriría una buena
dosis de matemática. Vamos a intentar dar una idea lo más intuitiva posible,
saltándonos algo del rigor.
Comencemos por recordar que habíamos formado la torre
exponencial empezando con y definiendo
.
Usando el Principio de Inducción, probamos que todos los números así formados
son .
Por otra parte, los valores aproximados que obtuvimos para ,...,
parecen indicar que los números crecen con .
En efecto, podríamos volver a usar el Principio de Inducción para demostrar
que para todo
.
Tenemos entonces una familia infinita de números que crecen con pero se mantienen por debajo de un número
fijo, en este caso . Si imaginamos a los números desplegados a lo largo de una recta, parece
bastante intuitivo el pensar que tiene que haber un número no superior a y mayor que todos los ,
hacia donde estos números convergen. Esta idea se basa en el llamado Axioma de
Completitud de los números reales, que en términos informales dice que no hay “agujeros”
en la recta, en el sentido de que cada punto corresponde a un número real.
Puedes leer una presentación cuidadosa de estas ideas en http://ific.uv.es/mathepth/es/apuntes/metodosII.pdf.
En términos matemáticos, no sólo tiene que haber un
número, llamémoslo ,
tal que para todo
,
sino que, además, para cada número debe de haber un valor del subíndice
tal que
para .
Aparece aquí la idea de límite de los números
,
cuando va a infinito.
Entonces, volviendo a leer la pregunta que hemos
contestado negativamente, veremos que nuestra respuesta quedará justificada si
mostramos que es en nuestro caso .
Es posible demostrar que tomando el límite cuando va a infinito en la relación , el número cuya existencia hemos establecido debe
verificar la relación .
El gráfico de la función :
parece indicar que
cuando
. En efecto,
, y también
.
El valor que estamos buscando no puede ser
porque
sabemos que para todo
.
Entonces tiene que ser
,
como queríamos.
Quizá te estés preguntando si todo este argumento es
realmente necesario para justificar nuestra respuesta. Parecería que la
pregunta, tan simple en apariencia, debería tener una respuesta igualmente
sencilla.
Por ejemplo, ¿no podríamos mostrar directamente que para
cada número hay un número
que es mayor que ? Esto nos daría una respuesta bien directa.
El problema con este enfoque es la definición de los números . No tenemos una fórmula que nos dé el valor
de para cada .
Lo único que sabemos es que empezando con ,
los números se calculan uno después del otro por medio de
la fórmula, llamada de recurrencia, .
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Sobre la
autora
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Josefina
(Lolina) Álvarez es Professor of Mathematics en New
Mexico State University (USA). Especialista en análisis armónico y funcional,
se doctoró en Matemáticas por la Universidad de Buenos Aires (Argentina),
bajo la dirección de A.P. Calderón. Ha ocupado diversos puestos y cargos
académicos en la Universidad de Buenos Aires y en las estadounidenses de
Princeton, Chicago, Florida Atlantic University y New Mexico. Ha sido
investigadora del CONICET (Argentina). Miembro de la Unión Matemática
Argentina, Mathematical Association of America y American Mathematical
Society, formó parte del Committee on Committees de esta última entre
1999 y 2002. Ha dictado numerosas conferencias en congresos y sesiones
especiales e impartido seminarios en Alemania, Argentina, Bélgica, Brasil,
Canadá, Colombia, España, Estados Unidos, México, Perú, Polonia, Suecia y
Venezuela. Ha pertenecido y en varias ocasiones presidido los comités
organizadores de distintos congresos y minisimposia. Ha ejercido como evaluadora para
prestigiosas revistas especializadas. Desde 2002 hasta 2007 ha sido Editora Asociada del Rocky
Mountain Journal of Mathematics. Autora o coautora de numerosos artículos
científicos y varias monografías en análisis armónico y funcional y directora
de cinco tesis doctorales, ha desarrollado asimismo una intensa actividad en el
campo de la educación matemática, habiendo recibido
diversos galardones a la excelencia docente.
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