Recibido: martes, 06 noviembre 2007
¿Qué pasaría si...
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...nos preguntáramos si habrá un número menor que 
que también sea estrictamente mayor que todos
los números en nuestra “torre exponencial” de abril?
¿Existirá tal número?
[La solución, en
el próximo número]
Solución al problema anterior
...construyéramos una “torre exponencial”
de la siguiente manera? El primer número es ; el segundo número es ; el tercer número es ;
en general,
¿Cuán grandes se hacen estos números a medida que crece?
Respuesta: Para todo ,
es estrictamente menor que .
Para entender esta respuesta, es bueno que comencemos por
ver qué valores toman estos números .
Una calculadora nos lo puede decir aproximadamente:
De acuerdo con esta lista, los números parecen crecer más y más lentamente, empezando
con el valor ,
y parecen aproximarse a .
La calculadora ha sido muy útil al darnos esta información. Pero ¿cómo podemos
estar seguros de que los nunca llegan a o lo sobrepasan? Ni la calculadora ni el
ordenador más poderoso nos van a dar la respuesta, pues sin importar la
cantidad de valores que comprobemos, siempre nos quedará un número infinito de
casos. Es necesario entonces que probemos matemáticamente que para todo Para ello usaremos un método de prueba que se
llama Principio de Inducción, y que
dice lo siguiente:
Supongamos tener un enunciado que depende de un parámetro
que toma todos los valores . En nuestro caso, el enunciado es “ para todo
”. Llamemos a este enunciado. Si podemos probar la
veracidad de las siguientes dos afirmaciones:
1)
se cumple;
2)
si se cumple, también se cumple para cualquier ,
entonces el enunciado se cumple para todo .
Veamos que en nuestro caso estas dos afirmaciones son
ciertas.
La afirmación dice que
.
Esto es claramente cierto porque .
Supongamos ahora que para un fijo indeterminado, .
Tenemos que probar que también .
Recordemos que, por definición, .
Usando nuestra suposición sobre ,
podemos decir que .
O sea, .
Como hemos comprobado que las dos afirmaciones son
ciertas, el Principio de Inducción nos permite concluir que para todo
.
Una pregunta muy natural es ¿por qué el Principio de
Inducción es verdad? No me voy a meter en camisa de demasiadas varas intentando
dar una respuesta rigurosa. La puedes ver, con ejemplos y comentarios, en el
artículo http://mate.dm.uba.ar/~spuddu/inducc.pdf.
Una explicación intuitiva de por qué este principio
funciona es la siguiente: ¿cómo podrías convencerte de que eres capaz de subir
las escaleras de un edificio de muchísimos pisos? Pues podrías decirte que
puedes subir al primer piso, y que desde cada uno de los pisos puedes subir al
siguiente.
Por cierto, esta analogía se puede aplicar a nuestra
“torre exponencial”, que podemos pensar como un edificio infinitamente alto,
donde cada nueva potencia es otro piso.
Podríamos terminar aquí con la torre, pero como dicen que
los matemáticos no sabemos parar, aquí os dejo con el próximo ¿Qué pasaría si ...? que habéis visto al
tope de esta página: ¿habrá un número menor que que también sea estrictamente mayor que todos
los números ...
Ya veremos qué pasa...
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Sobre la
autora
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Josefina
(Lolina) Álvarez es Professor of Mathematics en New
Mexico State University (USA). Especialista en análisis armónico y funcional,
se doctoró en Matemáticas por la Universidad de Buenos Aires (Argentina),
bajo la dirección de A.P. Calderón. Ha ocupado diversos puestos y cargos
académicos en la Universidad de Buenos Aires y en las estadounidenses de
Princeton, Chicago, Florida Atlantic University y New Mexico. Ha sido
investigadora del CONICET (Argentina). Miembro de la Unión Matemática
Argentina, Mathematical Association of America y American Mathematical
Society, formó parte del Committee on Committees de esta última entre
1999 y 2002. Ha dictado numerosas conferencias en congresos y sesiones
especiales e impartido seminarios en Alemania, Argentina, Bélgica, Brasil,
Canadá, Colombia, España, Estados Unidos, México, Perú, Polonia, Suecia y
Venezuela. Ha pertenecido y en varias ocasiones presidido los comités
organizadores de distintos congresos y minisimposia. Ha ejercido como evaluadora para
prestigiosas revistas especializadas. Desde 2002 hasta 2007 ha sido Editora Asociada del Rocky
Mountain Journal of Mathematics. Autora o coautora de numerosos artículos
científicos y varias monografías en análisis armónico y funcional y directora
de cinco tesis doctorales, ha desarrollado asimismo una intensa actividad en el
campo de la educación matemática, habiendo recibido
diversos galardones a la excelencia docente.
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