Recibido: viernes, 07 mayo 2004
Las
matemáticas que se esconden detrás de los instrumentos
Carlos Mederos Martín
Departamento de Matemáticas, IES Viera y Clavijo (La Laguna, Tenerife) y Fundación Canaria Orotava de Historia de la Ciencia
e-mail:
Esta dirección de correo electrónico está protegida contra los robots de spam, necesita tener Javascript activado para poder verla
Introducción
Si queremos
contemplar la Matemática como elemento de creación cultural, como una parcela
del conocimiento humano que ha influido notablemente en la formación de las
diferentes visiones del mundo que la humanidad ha tenido a lo largo de la historia,
debemos, en primer lugar, revisar las
aportaciones que en este sentido nos han legado, desde la Antigüedad, los
grandes filósofos. Podemos afirmar que uno de los grandes pilares en los que se
apoya la cultura occidental es el pensamiento de Platón. Si nos centramos en la
Filosofía de la Matemática, entonces la importancia de este filósofo es de
primera magnitud, dado que fue uno de los primeros que se planteó
sistemáticamente el estudio de la naturaleza de los entes matemáticos, tanto
desde el punto de vista ontológico (de qué manera existen) como del
epistemológico (cómo accede a ellos el conocimiento humano). Platón consideraba
que los objetos tratados por la Matemática existían realmente situándolos
fuera del mundo de las cosas sensibles, lo que les confería, de esta forma, la posibilidad de
producir conocimiento verdadero, dado que no son accesibles por medio de los
sentidos, siempre engañosos, sino por medio de la razón.
Pues bien, si
recorremos la obra de Platón encontraremos muchas citas dedicadas a destacar la
importancia de la Matemática, tanto en lo que se refiere a la formación de los
individuos (especialmente los gobernantes), como a su condición de vía para la
obtención de conocimiento cierto (independiente de los sentidos). Así,
encontramos en su diálogo El Filebo la siguiente frase con la que
nos centramos en el tema que nos ocupa:
Por la belleza de las formas lo
que entiendo no es lo que entendería el vulgo. Por ejemplo, la belleza de los
cuerpos vivos o su reproducción por el dibujo. Yo hablo de líneas rectas y
curvas, de superficies y sólidos que derivan de la recta y del círculo con
ayuda del compás, de la regla y de la escuadra. Estas formas no son como las
otras, bellas bajo ciertas condiciones, sino bellas siempre en sí mismas, por
naturaleza, y son una fuente de placer muy particular.
(Filebo, 51 c)
Platón parece
decirnos que hay dos tipos de belleza: la de los cuerpos vivos o su
reproducción por el dibujo, es decir, la belleza del Arte, accesible por medio
de los sentidos; y la belleza de las formas puras, obtenidas por medio de la
regla y el compás, es decir, la belleza de la Geometría, accesible solamente
por la razón. Estos dos tipos de belleza los podemos encontrar en los antiguos
instrumentos de medida: podemos hallar diseños dignos de los artistas más
refinados, al mismo tiempo que se hace uso de propiedades geométricas o de
relaciones matemáticas determinadas (relacionadas con la belleza de las formas). De esta forma, si pudiésemos entrar en el gabinete
geométrico de Le Clerc (Figura 1),
podríamos disfrutar de los dos tipos de belleza mencionados, siempre que usemos
la razón para desenmascarar la belleza relacionada con las formas puras
que normalmente se esconde detrás de la apariencia que percibimos por medio de
los sentidos; y, mientras tanto, nos encontraremos con el origen de muchos
conceptos matemáticos y su evolución a lo largo de la Historia, con grandes
problemas planteados en la sociedad y las soluciones aportadas por los
matemáticos; en definitiva, estaremos asimilando de forma práctica cómo la
Matemática ha participado en la creación de la Cultura, en unos casos, y, en
otros, cómo la cultura de determinada época ha influido en la creación
matemática; viendo, de esta forma, la relación Matemática-Cultura como una
relación de influencia mutua.
Figura 1. Gabinete geométrico de Le Clerc.
Grabado
de fines del siglo XVII. Museo Carnavalet, París.
En lo que sigue nos
centraremos en el estudio geométrico de dos instrumentos, el reloj de péndulo y el perspectrógrafo, con los que se
pretende poner de manifiesto, en el primer caso, cómo los matemáticos han
trabajado para resolver un problema cuya solución tuvo grandes implicaciones
culturales: la determinación de la longitud en el mar; y, en el segundo, cómo
los pintores y sus intentos de representar el espacio tridimensional sobre un
plano, lo que les llevó al estudio de la perspectiva, condujo a los matemáticos
a plantearse nuevas ideas, las cuales cristalizaron en una nueva geometría: la
Geometría Proyectiva.
El
reloj de péndulo
Durante los siglos
XVII y XVIII, uno de los más grandes problemas planteados a los científicos fue
la determinación de la longitud en el mar. De la solución de este problema
dependía la vida de los marineros y la economía de las naciones europeas,
basada, en gran medida, en las relaciones económicas con regiones muy alejadas.
La importancia de este problema era tal que se convirtió en objeto de
investigación de marinos, astrónomos, matemáticos, etc., y para su solución se
organizaron juntas oficiales y las monarquías europeas convocaron concursos
dotados con extraordinarios premios en los que participaron los más grandes
científicos del momento.
Figura 2. C. Huygens (i); portada de la primera
edición,
en 1673, del Horologium Oscillatorium
(d).
Uno de los más bellos
intentos de resolución de este problema se encuentra en el libro de C. Huygens Horologium
Oscillatorium, publicado en París en 1673 (Figura 2). Este libro está dividido en cinco partes; en la
primera se describen las características técnicas de un reloj de péndulo que,
combinando las maravillosas propiedades mecánicas y geométricas de la curva
cicloide, pudiese funcionar bien sobre un barco, ¡independientemente del
movimiento de éste debido al oleaje! Estas propiedades están descritas en las
restantes partes del libro, especialmente su tautocronía y la
determinación de su tangente en cualquier punto, evoluta, centros de
curvatura, etc.
La imagen de la Figura 3, extraída del Horologium
Oscillatorium, muestra el aspecto del reloj. Nos centraremos en la parte de
la imagen señalada como “Fig. II.”,
especialmente en las dos láminas metálicas entre las que oscila el péndulo.
Figura 3.
Pues bien, ¿qué
matemáticas se esconden detrás de este reloj? Para responder a esta pregunta
debemos hacer un recorrido por las propiedades de la cicloide, como hiciera
Huygens en su Horologium. Nos serviremos de una potente herramienta
relacionada con el software del tipo denominado Geometría Dinámica, como
es el programa Geometer's Sketchpad,
el cual nos permitirá reproducir las relaciones geométricas entre los distintos
elementos del instrumento que explican su funcionamiento.
1.
Definición de la
curva
La cicloide se
define como la trayectoria descrita por un punto de una circunferencia que
rueda sin deslizarse sobre una recta (Figura
4).
Figura 4.
2.
Propiedades geométricas
Si arrollamos un hilo alrededor de una curva como, por ejemplo,
la circunferencia de la Figura 5 y
luego lo desenrollamos, manteniéndolo siempre tenso y con un extremo fijo en el
punto Q, el otro extremo describe una curva. Si P es un punto de
esta curva, el punto A será su centro de curvatura
y el círculo de centro A y radio AP es el círculo
osculador, cuyo radio AP llamaremos radio de
curvatura. De esta manera, la circunferencia de partida puede ser
considerada como el lugar geométrico de los centros de curvatura de la curva
descrita por P, es decir, su evoluta.
Huygens prueba que la evoluta de una cicloide es otra
cicloide desplazada con respecto a la primera; es decir, que si atamos un hilo
en el punto A (Figura 6) cuya longitud sea igual a la mitad de la longitud de
la cicloide y lo desenrollamos, igual que antes, su extremo describirá una
cicloide del mismo tamaño.
Otras propiedades geométricas interesantes se refieren a la
determinación de la tangente, dada la gran importancia que tiene ésta para el
estudio del movimiento sobre la curva. De hecho, el movimiento sobre la curva
se considera como movimientos elementales a lo largo de segmentos de tangente (Figuras 7 y 8):
3.
Propiedades mecánicas
La propiedad mecánica sobre la que Huygens centra su
atención es la tautocronía (Figura
9).
Figura 9.
En la
Proposición XXV del Libro II se prueba que el tiempo que tarda un cuerpo en
caer, por la acción de la gravedad, a lo largo de la cicloide, desde el punto P hasta el vértice V, es al tiempo que tarda un grave en caer, partiendo del reposo, a
lo largo del diámetro AV, como el
arco QFV es al segmento QV; es decir:
|
t[arco(PV)]
|
=
|
arco(QFV)
|
|
t[segm(AV)]
|
segm(QV)
|
En esta proporción la razón del segundo miembro es constante
(razón entre una semicircunferencia y su diámetro) y el denominador de la razón
del primer miembro también lo es (tiempo de caída a lo largo del diámetro del
círculo generador); por lo tanto, el numerador t[arco(PV)] debe serlo igualmente. Esto
significa que el tiempo de caída a lo largo de la cicloide es siempre el mismo,
independientemente de dónde se encuentre el punto P; es decir, esta curva es tautócrona.
4.
La síntesis: el reloj
Y he aquí la maravillosa síntesis de Huygens (Figura 10): combinando el hecho de
que la evoluta de una cicloide es una curva igual (desplazada) y la
extraordinaria propiedad mecánica que acabamos de ver, construyó un reloj cuyo
péndulo oscilaba siguiendo una trayectoria cicloidal que, al ser tautócrona, no
se veía afectada por los cambios de amplitud de sus oscilaciones debidos al
balanceo del barco como consecuencia del oleaje. ¡¡¡SUBLIME!!!
Figura 10.
El Perspectrógrafo
Hemos visto
hasta ahora un ejemplo de cómo los matemáticos participan, con sus creaciones,
en la solución de problemas planteados en la sociedad cuyas soluciones han
tenido una tremenda implicación cultural. Veremos a continuación un ejemplo de
lo contrario; es decir, cómo ciertas manifestaciones culturales han influido en
el desarrollo de la Matemática. Este es el caso de la pintura, en particular la
perspectiva, y el nacimiento de la Geometría Proyectiva. En efecto, si
comparamos una pintura medieval con un cuadro renacentista (Figura 11) vemos de inmediato que en cada uno de ellos
subyace una geometría diferente y, en consecuencia, es natural que nos preguntemos: ¿qué pasó durante este periodo de tiempo en
la Geometría?
Figura
11.
Durante el
Renacimiento en Europa, especialmente en
Florencia, los pintores
desarrollaron técnicas para representar el espacio tridimensional sobre una
superficie plana usando la geometría de Euclides, en consonancia con el resurgir
de las teorías de Platón que se produce en esta época, quien, como sabemos,
consideraba a la Geometría como la única vía para la obtención de conocimiento
cierto. En este sentido, son muy conocidas las obras de Leon Battista Alberti,
Piero de la Francesca, Leonardo da Vinci, etc. en las que podemos encontrar
algoritmos geométricos, destinados a los pintores, para la construcción de la
perspectiva. Estas construcciones dieron lugar a una serie de instrumentos
destinados a automatizarlas, de manera que pudiesen ser puestas en práctica incluso
por quienes no tenían conocimientos de geometría. Estudiando estos instrumentos
podemos encontrar el origen y seguir la evolución de nuevos conceptos
matemáticos, y acercarnos a la obra de quienes los impulsaron. Este es caso de
Girard Desargues y la Geometría Proyectiva.
Las
construcciones geométricas de la perspectiva pretenden que el observador de un
cuadro ?vea? el espacio tridimensional representado sobre un plano (el cuadro);
en consecuencia, es natural que estas construcciones se basen en las teorías
imperantes sobre la naturaleza de la visión humana. Ya en la Antigüedad,
Euclides había escrito un libro de naturaleza geométrica, La Optica, en
el que explicaba que la visión se basaba en la emisión por el ojo (un único
ojo) del observador de un haz de rayos visuales tales que al incidir en
los objetos formaban la imagen de éstos. De esta manera, la representación de
un objeto en perspectiva no es sino una sección de este haz de rayos (Figura 12). Esta teoría de la visión
originó construcciones geométricas como las descritas por Leon Battista Alberti
en su libro De Pictura, publicado en Florencia en 1435, o las de Piero
de la Francesca, autor del tratado De prospectiva pingendi (ca. 1475). Los intentos de
reproducir estas construcciones por medio de artilugios mecánicos fueron el
origen de muchos instrumentos, como el
mostrado en la Figura 13.
Uno de estos
instrumentos es el perspectrógrafo, que consiste básicamente en una
serie de regletas articuladas (polígono articulado) de tal manera que cuando el
extremo de una de ellas recorre el contorno de un objeto, el extremo de otra,
provisto de un lápiz, dibuja el objeto en perspectiva. La Figura 14 muestra dos ejemplos de este instrumento: el
primero atribuido al jesuita, matemático y filósofo italiano Mario Bettini
(1582-1567) y el segundo al matemático, astrónomo, físico y filósofo suizo Jean
Henri Lambert (1728-1777).
Si comparamos estos dos perspectrógrafos, como hicimos con
la pintura medieval y la renacentista, veremos que las geometrías subyacentes
son diferentes: el primero es una variante del pantógrafo, cuya única función es dibujar una imagen semejante
al objeto real, conservando la forma del mismo tal como lo ve el artista, es
decir, el instrumento reproduce la visión
del pintor; sin embargo, en el segundo se observa una transformación que
cambia la forma del objeto y que no conserva los ángulos, ni las distancias, ni
el área, ni el paralelismo, por lo que podemos intuir que este instrumento no
incumbe a la geometría euclídea. En resumen, en el primer caso la geometría del
espacio a representar es la misma que la del instrumento; mientras que en el segundo,
el instrumento se rige por una geometría “diferente”. Si el perspectrógrafo de
M. Bettini, como ya se dijo, reproduce la visión,
el de Lambert reproduce la perspectiva. Esto nos lleva a pensar que algo cambió en la
geometría en el periodo de tiempo transcurrido entre la vida de estos dos
personajes.
Figura 14. Perspectrógrafos de Bettini (i) y Lambert (d).
Para seguir la traza de este cambio es necesario acudir a la
obra del ingeniero y matemático francés Girard Desargues (1591-1661). Desargues
fue un hombre eminentemente práctico, que orientó la mayoría de sus
publicaciones a mejorar el rendimiento del trabajo de los constructores y
artistas liberales. Con esta intención publicó obras sobre la talla de piedras,
la construcción de relojes de sol, la enseñanza de la música, etc. También fue
un estudioso de la perspectiva, sobre la que compuso un tratado en el que usa
la geometría para formular, en términos matemáticos, las reglas de la
perspectiva que habían sido desarrolladas por los pintores y arquitectos del
Renacimiento.
En 1639 Desargues publica un pequeño tratado sobre las
cónicas titulado Brouillon project d'une atteinte aux événements des rencontres
du cône avec un plan [Borrador de un
ensayo que trata de los resultados de los encuentros de un cono con un plano],
en el que considera las cónicas como las diversas formas de ver una
circunferencia en perspectiva. En efecto, los rayos visuales que parten del ojo
del observador y que inciden en el círculo forman un cono, que seccionado por
un plano (el cuadro de los pintores renacentistas) determina una sección cónica
que no es sino la ?forma? con la que se ve la circunferencia desde la posición
en la que se encuentra el observador. Cambiando las posiciones del observador
(vértice del cono) y de la sección (el cuadro) se pueden obtener las diversas
cónicas: elipse, parábola, e hipérbola. Algunas propiedades de las diferentes
secciones cambian, pero otras permanecen invariantes. Estas últimas son las que
Desargues estudia con especial interés, dando lugar a una nueva visión de las
cónicas, diferente a la de Apolonio (262-190 a.C.), para el que cada cónica se
estudiaba por procedimientos particulares, de forma que lo más significativo
eran las diferencias y no las propiedades comunes.
Una de las
ideas más brillantes de Desargues está relacionada con la historia del infinito
en Matemáticas. Estudiando la perspectiva se da cuenta de que las rectas
paralelas se transforman en rectas concurrentes en un punto del horizonte, lo que, a primera vista, nos
obliga a pensar que el hecho de que dos rectas sean paralelas o concurrentes no
es una propiedad común a las diferentes secciones de una proyección. Para
evitar esto, Desargues asigna a cada recta un punto del infinito, de manera que dos rectas paralelas son las que
tienen este punto en común. Así, las rectas concurrentes se corresponden con
rectas concurrentes, teniendo en cuenta que si dos rectas son paralelas –esto
es, se cortan en el punto del infinito–,
su imagen perspectiva serán dos rectas que se cortan en un punto del horizonte;
es decir, el horizonte es la representación del conjunto de todos los puntos
del infinito (la recta del infinito).
Otro aspecto
interesante de la consideración de las cónicas expuesta es el hecho de que
parece inconcebible que se puedan asimilar al círculo, curva cerrada, otras no
cerradas y con ramas infinitas como la parábola; sin embargo, una parábola, que
es una curva abierta, puede transformarse mediante la perspectiva en una
elipse, que es una curva cerrada, al unirse las ramas infinitas en un mismo
punto del horizonte que representa, a
distancia finita, la recta del infinito común a todos los planos horizontales.
La obra de
Desargues, incomprendida por sus contemporáneos, fue objeto de duras críticas.
Del Brouillon project solamente
imprimió cincuenta ejemplares que repartió entre sus “amigos” para que pudiesen
discutir sus tesis. El libro se perdió, hasta que en 1854 el geómetra Chasles
encontró una copia manuscrita por uno de los amigos de Desargues, Philippe de
La Hyre. En 1950 se encontró un ejemplar original en la Biblioteca Nacional. El
texto de este libro contiene muchos neologismos y términos tomados de la
botánica, lo que dificulta enormemente su comprensión. Si a esto añadimos el auge experimentado por la Geometría Analítica
de Descartes, debido a los espectaculares resultados obtenidos, comprenderemos
el poco éxito alcanzado por Desargues, cuyas ideas tendrán que esperar casi dos
siglos más para ser desarrolladas. Aun así, después de 1639 estudia algunos
problemas de perspectiva. Su amigo el grabador Abraham Bosse (1611-1678)
intenta dar a conocer las ideas de Desargues y publica en 1648 la Manière
universelle de M. Desargues pour practiquer la perspective, en el que
estudia la teoría de la polar de un
punto respecto a un círculo, extendiéndola, por proyección, a todas las
cónicas. En este tratado encontramos también el célebre Teorema de Desargues (Figura
15):
Si dos triángulos están en
perspectiva desde un punto, sus pares de lados correspondientes se cortan
respectivamente en tres puntos que están alineados.
Teorema que,
por cierto, se seguirá cumpliendo aunque los lados de los triángulos sean
paralelos; siempre que admitamos, como Desargues, que las rectas paralelas se
cortan en el punto del infinito, de forma que los tres puntos de corte
de los tres pares de lados están sobre la recta del infinito, es decir, están
alineados. Si tenemos en cuenta que cuando los dos triángulos tienen los lados
correspondientes paralelos entonces son semejantes, es decir, cumplen el
Teorema de Tales, podemos afirmar que
este último teorema es un caso particular del de Desargues.
Pues bien,
estas ideas se pueden encontrar escondidas, ocultas, en el perspectrógrafo de
Lambert, de manera que si estudiamos su funcionamiento y analizamos cómo
transforma diferentes objetos geométricos estaremos tratando con los orígenes
de la Geometría Proyectiva. En la Figura
16 se presenta una reconstrucción de este instrumento, junto con una
simulación realizada con el Geometer's Sketchpad.
Figura 17.
Algunas de las
ideas de Desargues pueden ser observadas por medio de la simulación del
perspectrógrafo de Lambert. Por ejemplo,
podemos “ver” las cónicas como las diferentes maneras de representar una
circunferencia en perspectiva.
Figura
18.
Si tenemos un
haz de rectas paralelas (rectas que contienen al punto P de la Figura 17),
vemos que sus transformadas son un haz de rectas concurrentes en el punto F;
es decir, F será el transformado del punto del infinito. Considerando otro
haz de rectas paralelas cualesquiera, su punto del infinito se transformará en
otro punto F ′ de
la recta horizontal que pasa por F; en consecuencia, podemos afirmar que esta
recta horizontal, llamada recta límite, es la imagen de la recta del infinito (Figura 18).
Figura
19.
Y, para
terminar, volvamos al Teorema de Desargues. Este teorema, enunciado en el
plano, se refiere a una propiedad de los triángulos proyectivos; a saber, si las rectas que pasan por los vértices
homólogos de dos triángulos se cortan en un punto, entonces las prolongaciones
de los lados homólogos se cortan en tres puntos que están alineados (Figura 19).
Figura
20.
La demostración
de este teorema no es, desde luego,
trivial; tampoco es difícil. Pero ¿qué ocurre si lo “vemos” con la geometría
del perspectrógrafo (Figura 20)?
Figura
21.
Sencillamente,
el Teorema de Desargues se refiere a un triángulo y a su transformado mediante
el perspectrógrafo; es decir, se refiere a un triángulo visto en perspectiva.
Figura
22. La Flagelación de Cristo (ca.
1453), de P. de la Francesca.
En la Figura 21 vemos que un triángulo
situado en el plano horizontal, visto desde el punto V, determina un haz de rayos visuales en forma de pirámide. Si
cortamos esta pirámide por un plano vertical, se produce una sección que no es
sino la representación del triángulo en perspectiva.
Y todo esto lo
había visto Piero de la Francesca cuando pintó La Flagelación de
Cristo (Figura 22); pero tuvo que atraer la atención de
algunos geómetras, como Girard Desargues, para que lo pudiésemos ver todos los
demás.
Referencias
L.B.
Alberti: Sobre la Pintura. Traducción anotada e ilustrada por J. Dols Rusiñol. Fernando
Torres, Editor. Valencia, 1976.
C.B.
Boyer: Historia de la Matemática. Alianza Universidad Textos, Madrid,
1986.
P.
de la Francesca: De la perspective en peinture. Traducido al francés y anotado por
J.- P. Le Goff. In Media Res, París, 1998.
G.
Galilei: Consideraciones y demostraciones
matemáticas sobre dos nuevas ciencias. Edición preparada por C. Solís y J. Sádaba. Editora
Nacional, Madrid, 1981.
C.
Huyghens: Horologium oscillatorium. Traducido del latín y comentado por
J. Peyroux; editado por el autor. Burdeos, 1980.
M.
Kline: Mathematics for the Nonmathematician. Dover,
Toronto, 1967.
H.
Michel: Les instruments des sciences dans l'art
et l'histoire. Société Française du Livre. París,
1966.
J.L.
Montesinos:
Historia de las
matemáticas en la enseñanza secundaria. Síntesis, Madrid,
2000.
J.
Navarro de Zuvillaga: Imágenes
de la perspectiva.
Siruela, Madrid, 1996.
