La idea de esta reflexión me surgió a partir de una
pregunta que suelo hacerme a menudo debido a mi condición de profesor de
matemáticas y a mi particular interés por el arte. Intentando descubrir
aquellas cosas que acaparaban la atención de mis alumnos, carentes en general
de cualquier forma de motivación hacia las matemáticas, todo parecía conducirme
a actividades artísticas: música, danza, literatura, dibujo, entre otros divertimentos.
Conocedor de que todas estas disciplinas contienen una base matemática, uno no
logra entender el porqué de ese desinterés por las matemáticas y ese entusiasmo
por las distintas parcelas del arte.
En efecto, ¿quién no se ha preguntado alguna vez por
qué algo nos parece bello o, simplemente, agradable a la vista? Desde tiempos
remotos, el hombre ha estudiado este enigma para finalmente decantarse por una
cuestión de proporciones, considerando que todo en la naturaleza está diseñado
siguiendo unas determinadas pautas de proporcionalidad.
Las matemáticas del arte...
El arquitecto e ingeniero romano Vitruvio, en su tratado De
Architecture (siglo I D.C.) sostenía que la relación más armoniosa entre
las partes de un todo se alcanza cuando la proporción entre la menor y la mayor
de las partes es la misma que entre la mayor y el total. Surge así la idea de
la sección áurea (tal como la definió
Leonardo da Vinci, 1452-1519), también
conocida como divina proporción (Luca Pacioli, 1445-1509), y del número de oro Φ, cuyo valor aproximado es 1.618033989... (de
forma exacta se puede representar por (√5 + 1)/2). Asimismo, se define el rectángulo dorado como aquel rectángulo
en el que el cociente de las magnitudes de sus lados es Φ. Se puede hablar incluso de triángulo dorado si un triángulo
isósceles tiene en la base ángulos de 72º y en el vértice de 36º. La divina
proporción aparece también en otras figuras geométricas, como pentágonos,
círculos y decágonos. Sin embargo, el rectángulo
dorado es el considerado como una de las formas geométricas más agradables
a la vista.
Arquitectos, escultores y pintores de todos los
tiempos han utilizado la sección áurea como método de composición de sus obras,
al observar en ella una agradable impresión de armonía y belleza. A modo de
ejemplo en arquitectura, se muestra en la Figura
1 el Templo de Dendur. Expuesto
actualmente en el Metropolitan Museum of Art, fue construido por el emperador
romano Augusto en honor de la diosa Isis. Como se puede ver claramente en la
imagen, los arcos del templo están alineados formando rectángulos decrecientes
que son proporcionales al número de oro.

|
Figura 2.
Estatua de niño.
Siglo IV-III A.C. Arte Helenístico.
|
La Figura 2 muestra un ejemplo de escultura de la Antigua Grecia,
donde ya la utilización de la sección áurea es evidente. Aunque en las
proporciones del niño no es trivial encontrar el número de oro, en cambio, la
figura se apoya en un soporte con dimensiones
doradas. Obsérvese que la inclusión del ave en la composición completa la
altura necesaria para obtener un rectángulo dorado.
En pintura, los grandes artistas han
expresado movimiento incorporando el rectángulo dorado en sus obras. El número
de oro expresa movimiento debido a que se mantiene en una espiral hasta el
infinito. Algunos han llevado a cabo
este principio ignorando las dimensiones clásicas de los bastidores que se han
venido utilizando hasta nuestros días y trabajando sobre formatos que
representen rectángulos dorados. La Tabla 1 contiene la numeración y las
dimensiones de los bastidores más utilizados en pintura, Figura, Paisaje y
Marina, y los correspondientes formatos
dorados.
Este número ya era utilizado tanto
en la antigua Grecia como en el antiguo Egipto para el diseño de edificios y
monumentos. Los egipcios creían que el número de oro era sagrado. Por lo tanto,
era muy importante en su religión y lo usaban para construir templos y lugares
relacionados con la muerte. Si las proporciones de sus edificios no estaban de
acuerdo con el número de oro, el fallecido no podría alcanzar el más allá o el
templo no sería agradable a los dioses. Además, los egipcios descubrieron que
estas proporciones eran también agradables a sus ojos, lo que suponía un valor
añadido a las obras correctamente realizadas. Aunque en aquella época no
conocían el concepto de número de oro, ellos lo utilizaban y lo denominaban número sagrado.
Mucho más tarde, en el año 1202, Leonardo de Pisa (más conocido por Fibonacci), un brillante matemático
italiano, investigó la rapidez con la que los conejos se podían reproducir en
circunstancias ideales. Supongamos que una pareja de conejos, un macho y una
hembra, acabados de nacer se colocan en el campo. Los conejos son capaces de
reproducirse a la edad de un mes, así que al final de su segundo mes una hembra
puede producir otra pareja de conejos. Supongamos también que nuestros conejos
nunca mueren y que cada hembra siempre produce una nueva pareja (un macho y una
hembra) cada mes a partir del segundo mes en adelante. Lo que Fibonacci se cuestionó fue qué número de
parejas existiría al cabo de un año. A finales del primer mes, se aparean, pero
aún existe una sola pareja. A finales del segundo mes la hembra produce una
nueva pareja, por lo tanto, tenemos dos parejas. A finales del tercer mes, la
hembra original produce una nueva pareja, pero la segunda hembra aún no puede
reproducirse, por lo que existen tres parejas en todo el campo. A finales del
cuarto mes, la pareja original ha generado otra nueva pareja y la segunda
hembra produce su primera pareja, lo que hace un total de cinco parejas.
nº
|
Figura
|
Paisaje
|
Marina
|
Dorado
|
0
|
18×14
|
18×12
|
18×9
|
18×11
|
1
|
22×16
|
22×14
|
22×12
|
22×13.5
|
2
|
24×19
|
24×16
|
24×14
|
24×15
|
3
|
27×22
|
27×19
|
27×16
|
27×16.5
|
4
|
33×24
|
33×22
|
33×19
|
33×20.5
|
5
|
35×27
|
35×24
|
35×22
|
35×21.5
|
6
|
41×33
|
41×27
|
41×24
|
41×25.5
|
8
|
46×38
|
46×33
|
46×27
|
46×28.5
|
10
|
55×46
|
55×38
|
55×33
|
55×34
|
12
|
61×50
|
61×46
|
61×38
|
61×37.5
|
15
|
65×54
|
65×50
|
65×46
|
65×40
|
20
|
73×60
|
73×54
|
73×50
|
73×45
|
25
|
81×65
|
81×60
|
81×54
|
81×50
|
30
|
92×73
|
92×65
|
92×60
|
92×57
|
40
|
100×81
|
100×73
|
100×65
|
100×62
|
50
|
116×89
|
116×81
|
116×73
|
116×71.5
|
60
|
130×97
|
130×89
|
130×81
|
130×80.5
|
80
|
146×114
|
146×97
|
146×89
|
146×90
|
100
|
162×130
|
162×114
|
162×97
|
162×100
|
Tabla
1. Dimensiones clásicas de los bastidores y de sus correspondientes
rectángulos dorados.
De esta forma, Fibonacci dedujo la sucesión de números
que lleva su nombre y que, en el ejemplo de los conejos, representa el número
de parejas al comienzo de cada mes: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
No es muy difícil darse
cuenta de que cada término de la sucesión se obtiene a partir de la suma de los
dos anteriores. Igual de fácil es comprobar que los cocientes de dos términos
consecutivos de la sucesión de Fibonacci
van tendiendo a un número fijo, que como por arte de magia no es otro que el
número de oro, es decir, 1.618033989... Matemáticamente, diremos que Φ es el
límite de la sucesión de Fibonacci.
Pero, ¿qué relación existe
entre esta forma ideal de reproducción de los conejos, definida mediante la
sucesión de Fibonacci, y el arte?
Para apreciar la existencia de la sucesión de Fibonacci en el arte, debemos prestar mucha atención a la belleza,
a las proporciones y al ritmo continuo.
Los rectángulos cuyos lados miden dos números
consecutivos de Fibonacci y que se
componen de cuadrados de lados números de Fibonacci,
se llaman rectángulos de Fibonacci (Figura 3). La Figura 4 muestra cómo se puede dibujar una espiral uniendo los
cuartos de circunferencias correspondientes a cada cuadrado. Esta espiral se
denomina espiral de Fibonacci.
Muchos ejemplos de aplicación del número de oro
aparecen en las estructuras de plantas y animales. Concretamente, la divina
proporción se puede observar en el caso del dedo humano, donde el cociente entre
las longitudes de la primera falange y la segunda, y el de la segunda y la
tercera, se aproximan bastante al número de oro. Igualmente, el ombligo divide
la altura del cuerpo humano en la proporción áurea. Leonardo da Vinci estudió estas proporciones del cuerpo humano, como
muestra su dibujo del Hombre de Vitruvio
(Figura 5). Se trata de un retrato
realizado de tal forma que el cociente de la distancia desde el ombligo al
límite superior de su cabeza y la distancia desde las plantas de sus pies a su
ombligo, sea igual a Φ. Sin embargo,
sería Luca Pacioli, bajo la
influencia benéfica del artista Piero della Francesca, quien escribiría
un libro acerca de Φ, llamado De divina proportione, que fue ilustrado
con dibujos de modelos que había hecho su amigo Leonardo da Vinci.
Más recientemente, pintores de la talla de G. Seurat (1859-1891) y P. Mondrian (1872-1944), entre otros,
aplicaron estas herramientas matemáticas para realizar sus cuadros. Del
primero, en la Figura 6, se muestra La parade, pintado en su característico
estilo puntillista. Esta pintura contiene varios ejemplos de rectángulos dorados.
La obra de Mondrian, por otra parte,
lejos de cualquier interés por la reproducción del mundo material, se centra en
expresar su concepción de máxima armonía y equilibrio. Para ello utilizó líneas
negras horizontales y verticales que encerraban bloques de colores puros:
blanco, rojo, azul o amarillo. Este estilo se denominó Neo-Plasticismo. En el
ejemplo de la Figura 7 (Place de la Concorde), Mondrian usa rectángulos dorados que se
superponen. Al menos los tres indicados son apreciables a simple vista.
El número áureo es esencialmente
bidimensional, pero tiene un análogo tridimensional, el número plástico, cuyo valor aproximado es 1.3247179572447460 ... y que puede ser representado
exactamente como


.
El número plástico fue descubierto en 1928 por el arquitecto y monje benedictino
Hans van de Laan, quien lo empleó como base para la escala que lleva su nombre,
en la que se apoyó para la construcción de la capilla de la abadía benedictina
de St. Benedictusberg (Figura 8). El número plástico resuelve las ecuaciones p+1=pk y p1=pr con k=3 y r=4, mientras que el número áureo lo hace para k=2 y r=1. Se llaman números mórficos aquellos números p>1 para los cuales es posible encontrar dos números naturales k y r de manera que se
cumplan ambas condiciones. Tanto el número plástico como el número áureo son
números mórficos. De hecho, Arts, Fokkink y Kruijtzer, de la Universidad Técnica
de Delft, han demostrado en su artículo Morphic
numbers que la
sección áurea y el número plástico son los dos únicos números mórficos que
existen.
A estas alturas uno podría
confundirse peligrosamente con este impresionante curriculum que a lo largo de
la historia ha ido acumulando el número de oro. Pensar que esta, que no es
poca, constituye toda la aportación de las matemáticas al arte, dista mucho de
la realidad. Concretamente en el siglo pasado han sido muchas y novedosas las
contribuciones del pensamiento matemático al arte. El arquitecto Le Corbusier (1887-1965) desarrolló una
herramienta de medida que llamó Modulor,
basada en el cuerpo humano y en proporciones matemáticas (Figura 9). Le Corbusier
pensaba que las mejores dimensiones se podrían elegir más fácilmente si las
pudiéramos ver, si las pudiéramos evaluar con las manos extendidas, no
simplemente imaginándolas. Así, la arquitectura debería proporcionar a nuestros
sentidos corporales y a nuestro espíritu y mente, una coexistencia armoniosa:
el hombre en su entorno.
Por otra parte, V. Vasarely (1906-1997), principal exponente del Op-art, llenó sus diseños artísticos de
figuras geométricas que danzaban en su mundo abstracto mediante el uso certero
de colores complementarios, e incluso con contrastes de blanco y negro, que
magistralmente imprimía un cierto dinamismo (Figura 10). Toda una lección de geometría.

Figura
9. El Modulor (Le Corbusier).
Pero, si de geometría se trata, no
podemos excluir aquí la cristalografía
matemática, que constituye una de las aplicaciones más importantes de la
geometría elemental a la física. En particular, los grupos infinitos
bidimensionales son los grupos de simetría de diseños que se repiten, como los
que se ven en tapices o en los pisos de baldosa. El cristalógrafo E.S. Fedorov demostró en 1891 que no
existen sino diecisiete de esos grupos de isometrías. Estos grupos fueron
redescubiertos en 1924 por G. Pólya y P.
Niggli. En la Tabla 2 se han
enumerado los generadores de todos los grupos. Los símbolos empleados para
denotarlos son los de las Tablas Internacionales de Cristalografía de Rayos X.
Los grupos p1 y p2 son dos de los grupos discretos de isometría más sencillos
de los diecisiete en los que intervienen dos traslaciones independientes.
El desarrollo del arte que consiste
en llenar un plano con un motivo que se repite alcanzó su clímax en la España
del siglo XIII, cuando los árabes aplicaron los diecisiete grupos en sus
intrincados diseños decorativos de la Alhambra. Su inclinación hacia los
diseños abstractos provenía de la estricta observancia del Segundo Mandamiento.
El artista holandés M.C. Escher
(1898-1972), que carecía de esos prejuicios, aplicó con gran ingenio estos
grupos al servirse de formas animales para sus regiones fundamentales. Por
ejemplo, el grupo de simetrías de Los
jinetes a caballo (Figura 11)
parece a primera vista del tipo
p1, generado por una traslación
horizontal y otra vertical. Pero si ignoramos la diferencia entre las áreas
claras y oscuras obtenemos el grupo pg, más interesante al
ser generado por dos reflexiones paralelas en deslizamiento.
Símbolo
|
Generadores
|
p1
|
dos traslaciones
|
p2
|
tres semigiros
|
pm
|
dos reflexiones y una traslación
|
pg
|
dos reflexiones paralelas en
deslizamiento
|
cm
|
una reflexión y una reflexión
paralela con deslizamiento
|
pmm
|
las reflexiones en los cuatro lados
de un rectángulo
|
pmg
|
una reflexión y dos semigiros
|
pgg
|
dos reflexiones perpendiculares en
deslizamiento
|
cmm
|
dos reflexiones perpendiculares y
un semigiro
|
p4
|
un semigiro y un cuarto de giro
|
p4m
|
las reflexiones en los tres lados
de un triángulo de ángulos iguales a 45º, 45º, 90º
|
p4g
|
una reflexión y un cuarto de giro
|
p3
|
dos rotaciones que recorren 120º
|
p3m1
|
una reflexión y una rotación que
recorre 120º
|
p31m
|
las reflexiones en los tres lados
de un triángulo equilátero
|
p6
|
un semigiro y una rotación que
recorre 120º
|
p6m
|
las reflexiones en los tres lados
de un triángulo de ángulos iguales a 30º, 60º, 90º
|
Tabla 2. Los 17 grupos espaciales de
la cristalografía bidimensional.
Actualmente, el físico y matemático
británico R. Penrose ha desarrollado
una red de rombos no periódica que incorpora la idea de la sección dorada y una
simetría basada en reflejar cinco veces los rombos en diferentes direcciones.
La red se compone de dos tipos de rombos, unos con ángulos de 36º y 144º, y otros
con ángulos de 72º y 108º (Figura 12).
Cuando se malla un plano atendiendo a las direcciones de Penrose, la proporción
de rombos del primer tipo frente a los segundos es justo el número de oro. Todo
este pensamiento, aún en estado embrionario, está siendo utilizado por artistas
modernos para componer sus obras.
En definitiva, podemos concluir que el papel de las
matemáticas en el arte ha sido y es evidente, pero, a la vez, de alguna manera
imperceptible para los sentidos del espectador. Por ello, hasta aquí no he
pretendido más que despertar un enfoque más, el matemático, al contemplar una
obra de arte, que se puede complementar con la información obtenida desde otros
puntos de vista, y ayudarnos a comprenderla mejor.
...Y el arte de las matemáticas
En contrapunto, cuando pensamos en las matemáticas
como un medio para expresar ideas nos acercamos a la definición de esta ciencia
como arte.
El
matemático, como el pintor o el poeta, es un constructor de diseños. El hecho
de que sus diseños sean más permanentes que los de los otros se debe a que
están hechos con ideas. Estos diseños han de ser bellos: las ideas, como los colores
o las palabras, deben relacionarse de manera armoniosa. La belleza es la
primera prueba: no hay lugar permanente en el mundo para las matemáticas feas.
G.H. HARDY: A
MATHEMATICIAN'S APOLOGY (1940)
El proceso de construcción y desarrollo de todo el
pensamiento matemático ha seguido y sigue un esquema muy concreto: idea,
composición y difusión. En la idea inicial debiera surgir un prodigio lleno de
originalidad y creatividad, generalmente como respuesta a un problema previo.
Este momento es el más importante, aunque frecuentemente sea olvidado en las
contribuciones matemáticas actuales. Según J.L.
Kelley (Writing Mathematics,
1991): aparte de formatos y estilos,
cuando se escribe matemáticas se hace para decir algo. En otras palabras: el
número de ideas dividido por el número de páginas debe ser positivo. Aunque
irónicamente expresado en lenguaje matemático, la afirmación anterior nos
alerta de que, si bien las matemáticas no deben ser feas, no pueden dejar de
ser lo que son, matemáticas.
La segunda parte del proceso consiste en convertir
esa idea en una composición con significado propio. Aquí, como en cualquier
parcela del arte, interviene la habilidad y el ingenio del autor. Éste, con una
paleta cargada de proposiciones, lemas, teoremas, corolarios, etc., debe
realizar una pieza suficientemente interesante a la vista (y revista) de los grandes sabios para que sea publicada.
Pocos lo consiguen: la ley de Lotka afirma que el número de personas que
producen n artículos es proporcional a 1/n2. Actualmente, la tendencia general es
la de documentos concisos, directos y claros, siguiendo la norma de que no
existe señal más hermosa que una simple frase declarativa. Por ello, aunque no
es fácil, todos los escritores deben aprender el arte de preparar un resumen
que contenga la información esencial de sus trabajos. No debemos olvidar que
estos pequeños artículos de investigación son los que, definitivamente,
permanecen como las auténticas referencias de las ideas desarrolladas.
Como última etapa, el fenómeno de la difusión de los
conocimientos alcanzados en estas publicaciones resulta imprescindible.
Difícilmente las matemáticas podrían avanzar y crecer al ritmo de los tiempos
que corren sin ser transmitidas a toda la comunidad susceptible de recibir esa
información, desde científicos y docentes, a estudiantes de todos los niveles. Permítanme
que ilustre la pauta a seguir en este final de trayecto con el siguiente
fragmento de una carta de M. Faraday
a su amigo B. Abbott en 1813: la pronunciación no debiera ser rápida ni
precipitada, ni, consecuentemente, ininteligible, sino lenta y deliberada,
transmitiendo las ideas del profesor e infundiéndolas con claridad y amenidad
en las mentes de la audiencia.
Finalmente, no sé si después de esta exposición se
podrá estar en condiciones de responder a la pregunta con la que iniciaba esta
discusión. Cierto es que, si bien el arte en general es algo que a toda la
humanidad nos ha interesado desde las pinturas de las cavernas, las matemáticas
han sido siempre observadas con cierto respeto y desde lejos por la mayoría,
dejándola en manos de algunos elegidos.
No obstante, el arte puede servirnos como un nuevo mecanismo de acercamiento de
las matemáticas a esa masa de gente que las aborrece. ¿Acaso no cambiaría su
actitud si entendiera que sin las matemáticas el arte no tendría la dimensión
que hoy tiene, y que sin arte, gran parte de las matemáticas no se habría
desarrollado?
Referencias
J. Aarts, R. Fokkink, G. Kruijtzer:
Morphic numbers. NAW 5/2, no. 1 (2001), 56-58. [Disponible
en http://www.math.leidenuniv.nl/~naw/serie5/deel02/mrt2001/pdf/archi.pdf].
C. Alsina: Geometría
cotidiana: placeres y sorpresas del diseño. Rubes, 2005.
M. Emmer: La perfección visible:
matemática y arte. Artnodes, Universitat
Oberta de Catalunya (2005). [Disponible en http://www.uoc.edu/artnodes/esp/art/emmer0505.pdf].
M. Ghyka: The Geometry of Art and Life. Dover,
1977.
G.H. Hardy: A Mathematician's Apology. Cambridge
University Press, 1940.
N.J. Higham: Handbook of writing for the Mathematical
Sciences. SIAM,
1998.
V. Kandinsky: La gramática de la creación: el futuro de la
pintura. Paidós, 1987.
V. Kandinsky: De lo espiritual en el arte. Paidós,
1996.
V. Kandinsky: Punto y línea sobre el plano: contribución
al análisis de los elementos pictóricos. Paidós, 1998.
J.L. Kelley: Writing mathematics. En Celebrating 50 years of Mathematics
(J.H. Ewing, F.W. Gehring, eds.) Springer-Verlag, 1991.
Le Corbusier: El Modulor. Gustavo Gili, 1983.
A.J. Lotka: The frecuency
distribution of scientific productivity. Journal
of the Washington Academy of Sciences, 16 (1926), 317-323.
J. Monterde: Arquitectura y matemáticas. La
geometría al servicio del
arte: de Gaudí a Gehr. Mètode, Universitat
de València, 2005. [Disponible en http://www.uv.es/metode/anuario2004/59_2004.htm].
E. Pedoe: La geometría en el arte. Gustavo Gili, 1978.
E. Steegmann, J. Acebillo: Las medidas en arquitectura. COAC, 1983.
L.P. Williams (ed.): The Selected Correspondence of Michael
Faraday. Cambridge University Press, 1971.

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Sobre el autor
|
Gustavo
Montero García es Doctor Ingeniero Industrial y Catedrático de
Matemática Aplicada de la Universidad de Las Palmas de Gran Canaria. Ha
participado en más de 15 proyectos de investigación, en varios de ellos como
investigador principal. Posee alrededor de 40 publicaciones entre libros,
capítulos de libros y artículos en revistas de reconocido prestigio, así como
más de 110 comunicaciones presentadas a congresos y jornadas. Ha dirigido 8
tesis doctorales. Ha figurado en distintos comités editoriales y ha sido
miembro del comité organizador de diversos congresos. Periódicamente es
revisor de 5 prestigiosas revistas internacionales. Es miembro seleccionado
por la ANECA para comisiones en al área de Tecnológicas y cuenta con dos
sexenios por su actividad investigadora.
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