Recibido: martes, 04 septiembre 2007
¿Qué pasaría si...
Pinche sobre una fórmula para ampliarla. Vuelva a pinchar sobre ella para reducirla, o pinche manteniendo pulsada la tecla [shift] para reducir todas las que permanezcan ampliadas.
...construyéramos una “torre exponencial”
de la siguiente manera? El primer número es ;
el segundo número es ;
el tercer número es ;
en general,
¿Cuán grandes se hacen estos números a medida que n crece?
[La solución, en el próximo
número]
Solución
al problema anterior
...quisiéramos calcular la longitud de la “hipotenusa” en
este “triángulo” rectángulo?
¿Qué fórmula obtendríamos?
Respuesta: La longitud de la “hipotenusa” es
igual a la suma de las longitudes de los otros dos lados. Aquí va la
justificación.
Indiquemos las tres longitudes con a, b, c, como se ve en la Figura
1:
Figura 1.
Independientemente de cómo construyamos los escalones que
forman el “lado” c, la suma de las longitudes de todos los segmentos
verticales debe ser igual a b; de la misma manera, las longitudes de todos los segmentos
horizontales debe darnos a. ¡O sea que
c = a + b !
Observemos que esto no puede cumplirse en ningún triángulo
rectángulo (Figura 2),
Figura 2.
pues por una parte tendríamos a + b = c, mientras que el teorema de Pitágoras nos diría que
a2 + b2 = c2.
O sea,
a2 + b2 = a2 + 2ab + b2,
lo cual implicaría que 2ab = 0 ó
que uno de los lados, a ó b, debe tener
longitud cero. Es decir, que no tendríamos un verdadero triángulo.
Recordemos que lo que sí es verdad en cualquier
triángulo, rectángulo o no, es que la longitud de cada lado no puede ser mayor
que la suma de las longitudes de los otros dos lados. Es decir (Figura
3),
c ≤ a + b.
Figura 3.
Podemos preguntarnos si habrá algún triángulo para el
cual esta desigualdad se convertirá en una igualdad. La respuesta es que no, si
queremos tener un verdadero triángulo. Efectivamente, el teorema del coseno (Figura 4) nos dice:
c2 = a2
+ b2 – 2ab
cos θ.
Figura 4.
Si fuera
c = a + b, tendríamos
a2 + 2ab + b2 = a2 + b2 – 2ab
cos θ .
O sea,
ab = – ab
cos θ .
Como las longitudes a y b son ambas mayores que cero debe ser cos θ = – 1, de donde resulta que el ángulo θ tiene
que valer 180º. Es decir, que el triángulo tiene que reducirse a:
Figura 5.
|
|
Sobre la
autora
|
|
|
Josefina
(Lolina) Álvarez es Professor of Mathematics en New
Mexico State University (USA). Especialista en análisis armónico y funcional,
se doctoró en Matemáticas por la Universidad de Buenos Aires (Argentina),
bajo la dirección de A.P. Calderón. Ha ocupado diversos puestos y cargos
académicos en la Universidad de Buenos Aires y en las estadounidenses de
Princeton, Chicago, Florida Atlantic University y New Mexico. Ha sido
investigadora del CONICET (Argentina). Miembro de la Unión Matemática
Argentina, Mathematical Association of America y American Mathematical
Society, formó parte del Committee on Committees de esta última entre
1999 y 2002. Ha dictado numerosas conferencias en congresos y sesiones
especiales e impartido seminarios en Alemania, Argentina, Bélgica, Brasil,
Canadá, Colombia, España, Estados Unidos, México, Perú, Polonia, Suecia y
Venezuela. Ha pertenecido y en varias ocasiones presidido los comités
organizadores de distintos congresos y minisimposia. Ha ejercido como evaluadora para
prestigiosas revistas especializadas. Desde 2002 hasta 2007 ha sido Editora Asociada del Rocky
Mountain Journal of Mathematics. Autora o coautora de numerosos artículos
científicos y varias monografías en análisis armónico y funcional y directora
de cinco tesis doctorales, ha desarrollado asimismo una intensa actividad en el
campo de la educación matemática, habiendo recibido
diversos galardones a la excelencia docente.
|
