Recibido: viernes, 03 noviembre 2006
El método
matemático
Begoña Carrascal Platas
Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia
Universidad del País Vasco-Euskal Herriko Unibertsitatea
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Introducción
Antes de empezar nuestro trabajo, creemos necesario
escribir unas cuantas líneas para centrar el tema y de esta forma acotarlo
mínimamente, ya que el título que nos fue propuesto es, en nuestra opinión,
demasiado amplio y ambiguo para desarrollarlo en su totalidad en unas pocas
páginas.
En este artículo no vamos a hablar de la crisis de las
matemáticas de finales del siglo XIX como consecuencia del descubrimiento de
paradojas en la teoría intuitiva de conjuntos de Cantor, aunque sea esta teoría
la base del lenguaje de las matemáticas. En consecuencia, tampoco vamos a
profundizar en temas relacionados con los fundamentos de las matemáticas,
tengan éstos que ver con las diferentes propuestas que surgieron con el
objetivo de buscar una solución a las paradojas, o con las distintas corrientes
lógico-matemáticas que, a partir de dicha crisis, propusieron métodos y formas
diferentes de desarrollo y fundamentación de las matemáticas.
Por otra parte, es bien sabido que uno de los objetivos
prioritarios de las matemáticas es dar pruebas correctas de teoremas
verdaderos. Hay muchos trabajos realizados por filósofos de las matemáticas en
los que se ha tratado de clarificar cuáles son esos estándares de corrección y
en qué basar la noción de verdad. Sin embargo, tampoco vamos a poder dedicar
este artículo a esos trabajos.
Nuestro objetivo va a ser mucho más concreto y seguramente
menos polémico; en primer lugar, trataremos de dar algunas ideas generales
sobre el método de demostración matemático, intentando destacar algunos de los
aspectos comunes presentes en toda demostración matemática, para mostrar,
posteriormente, algunas de las formas más habituales de prueba matemática.
También citaremos muy brevemente alguno de los puntos a
tener en cuenta a la hora de valorar una demostración matemática además de la
misma demostración de la verdad de un enunciado, puntos éstos que, aunque
presentes en todo proceso de creación o construcción de una demostración, no se
suelen remarcar a la hora de hacer su presentación, lo cual, a nuestro entender,
tendría una valor pedagógico añadido.
Aspectos
generales del método matemático
Notación simbólica
Un
aspecto central de la matemática moderna es el uso de notación abstracta. La principal función de un símbolo en
matemáticas es designar con precisión y claridad un objeto o un concepto, así
como abreviar una definición. El desarrollo de la
matemática ha implicado un crecimiento continuo del uso de la notación
simbólica y viceversa. El refinamiento de la notación matemática para
expresar conceptos más y más abstractos ha facilitado el desarrollo de la
matemática y ha permitido ir avanzando gradualmente en el camino que llevaba de
las demostraciones gráficas a demostraciones más formales o analíticas.
Un lenguaje formal, a diferencia de un lenguaje natural, es un lenguaje
en el que todos sus símbolos están completamente especificados y las reglas de
formación de sus expresiones a partir de estos símbolos están perfectamente
definidas. Los lenguajes lógicos son ejemplos de lenguajes formales.
La matemática, aunque basa sus demostraciones en reglas lógicas, en su
práctica habitual utiliza un lenguaje semiformalizado, es decir, combina
símbolos abstractos que nos sirven para designar los diferentes conceptos con
oraciones del lenguaje natural que sirven de nexo de unión entre los pasos
dados en una demostración.
Eso no quiere decir que no podríamos escribir las demostraciones
matemáticas en un lenguaje totalmente formalizado, pero eso nos llevaría a
especificar todos y cada uno de sus pasos, por muy evidentes que
fueran, y a perder mucho tiempo traduciendo todos ellos en un lenguaje
completamente formal.
Hoy en día, el lenguaje y notación básica de la matemática es el de la
teoría de conjuntos desarrollada por G. Cantor a finales del siglo XIX. Además
de los símbolos de la teoría de conjuntos, toda teoría matemática introduce
símbolos para designar cada uno de los conceptos que van surgiendo en su
desarrollo. Así, por ejemplo, la aritmética introduce símbolos para designar las
operaciones entre números, +,
, ..., la geometría para designar a los puntos,
rectas, etc.
Para que un concepto se pueda utilizar con claridad es necesario que
esté perfectamente definido, y para ello un primer paso es darle un nombre. En
muchos casos, la notación matemática ayuda a fijar y expresar estos conceptos
abstractos. Por ejemplo, el concepto de variable sería mucho más difícil de
manejar sin la ayuda de la notación que utilizamos para denotar a las
diferentes variables, “x”, “y”,...; De hecho, el álgebra no se desarrolló
durante la época griega y hasta bien entrado el siglo XVI debido, en gran parte,
a la falta de notación simbólica para designar variables, que obligaba a
cálculos muy complicados y que impedía ver nítidamente cómo se podía
generalizar un problema.
Por otra parte, si nos preguntaran sobre cuál es la imagen que nos viene
a la mente cuando nos planteamos un concepto matemático abstracto, en
muchas ocasiones contestaríamos con la notación matemática que utilizamos para
representarlo. Por ejemplo, el concepto matemático abstracto expresado por el
número tres sería difícilmente explicable sin la notación que utilizamos para
designarlo, “3”. Si nos
cuestionamos sobre la imagen mental que asociamos con el número tres,
contestaríamos de inmediato con su notación “3” y no con la clase formada por todos los
conjuntos que contienen tres elementos, o con un conjunto concreto de tres
elementos.
Abstracción
No hace falta saber demasiadas matemáticas para poder reconocer su
carácter abstracto. Los elementos con los que se trabaja en matemáticas
corresponden a definiciones de conceptos abstractos, sin necesidad de
referencia a objetos concretos del mundo real.
El mismo concepto de número, tal y como ya se ha visto, es un concepto
abstracto, con el cual operamos sin preocuparnos de relacionarlo con un
conjunto concreto de elementos del mundo en el que vivimos. Lo mismo podemos
decir de los conceptos geométricos de punto, línea, triángulo, etc. que aparecen
como resultado de la abstracción de una serie de propiedades espaciales y/o
dimensionales de los objetos.
En general, a partir de conceptos primitivos vamos desarrollando
conceptos más y más complejos. Así, si en una teoría matemática queremos acotar
una clase especial de objetos que nos ayude a designar una idea nueva
utilizamos las llamadas definiciones, que
pueden ser expresadas con claridad gracias a la ayuda de la notación simbólica.
Ejemplos:
- Un número par es aquel que es
divisible por 2 (se suponen definidos los conceptos
de “número”, “2”, y “divisibilidad”).
- Una
función f(x) tiene un máximo relativo
en el punto x0 si y sólo
si el valor de la función en x0 es mayor o igual que el valor de la
función en todo punto x
perteneciente a un cierto entorno de x0 o, dicho
de manera simbólica, si f(x0) ≥ f(x) para todo punto x perteneciente a un entorno de x0 (se deja
al lector/a el trabajo de detallar los conceptos sobre los que se asienta
esta definición).
La abstracción matemática parte fundamentalmente del estudio de las
relaciones cuantitativas y espaciales de los objetos y su forma de desarrollo; en la actualidad, se realiza exclusivamente mediante razonamientos lógicos y/o
cálculos.
En un principio, los primeros teoremas partían de problemas
precisos y relacionados con cuestiones de índole geométrica o numérica que
tenían su origen en problemas actuales de la vida cotidiana. Sin embargo, poco
a poco, posteriormente, los problemas y sus métodos de resolución se fueron
generalizando y extendiéndose a otros ámbitos distintos de la geometría y la
aritmética. Aunque las primeras abstracciones aún guardan algún grado de
conexión con elementos de la vida cotidiana, a medida que la matemática se
desarrolla, las definiciones que se introducen para designar nuevos conceptos
matemáticos aportan, cada vez, un grado mayor de sofisticación y generalización,
lo que hace difícil ver su conexión con el mundo en el que vivimos.
Esta característica es compartida, en principio, con el resto de las
ciencias, ya que, en general, aunque los modelos con los que se trabaja en
ciencia parten de una realidad más o menos cercana que pretenden explicar, su
desarrollo necesita tanto de aparato matemático como de una abstracción
creciente, lo que hace a veces difícil ver la relación con el mundo real del
que se parte. La ciencia, sin embargo, necesita, en algún momento, experimentar
y contrastar los resultados obtenidos con la realidad, a diferencia del caso de
la matemática.
No obstante, lo anterior no quiere decir que la matemática esté fuera del
mundo real; la aplicabilidad de la matemática, sus conceptos y sus
métodos es evidente en la mayoría de los campos científicos y de la vida
cotidiana. Todas las ciencias hacen uso de sus métodos y resultados y, de
hecho, a pesar de su abstracción, muchos de los problemas de los que parte
tienen relación con problemas surgidos en la realidad.
Axiomatización
En matemáticas, para demostrar un teorema, normalmente, nos basamos en
otras propiedades o teoremas ya demostrados anteriormente, y esto plantea la
necesidad de señalar cuáles son esas primeras proposiciones o axiomas a partir
de los cuales desarrollamos toda la teoría.
La primera presentación de una teoría axiomática fue debida a Euclides
en su obra de los Elementos (300
a.C.). Euclides desarrolló toda la geometría a partir de nueve axiomas
generales para toda ciencia y cinco postulados o axiomas específicos para la
geometría.

|
Euclides.
|
Un axioma es uno de los principios
que se aceptan sin demostración al desarrollar una teoría, por lo que los
axiomas caracterizan y definen, de alguna forma, la estructura de la teoría.
Así, hablamos de los axiomas de grupo, los axiomas de anillo, los axiomas de la
geometría proyectiva, de la geometría afín o de la geometría euclídea, etc.
En el siglo XIX, el descubrimiento de las llamadas geometrías no
euclídeas, que partían de los cuatro primeros postulados propuestos por Euclides
y de la negación del quinto, supuso un gran desarrollo del método axiomático
como consecuencia del deseo de hacer explícitos y claramente expresados los
puntos de partida de las distintas teorías matemáticas, destacando sus rasgos
formales en detrimento de demostraciones intuitivas o gráficas. Posteriormente,
a partir de finales del siglo XIX, el método axiomático experimentó un nuevo
empuje unido, en general, al desarrollo de la lógica formal.
Rigor deductivo
Una demostración matemática es el proceso de establecer la verdad de un
enunciado de una teoría matemática. Toda demostración matemática lleva consigo
un proceso deductivo, y aunque esto está presente en la mente de todo
matemático/a, este aspecto de la matemática no se suele enfatizar a la hora
de enseñar matemáticas, ni tampoco cuando se trata de demostrar nuevos
teoremas.
En la antigüedad, debido principalmente a la falta de notación adecuada
para expresar los diferentes conceptos y abstracciones matemáticas y al
carácter de los problemas que se planteaban, las demostraciones matemáticas
hacían amplio uso de las figuras geométricas, sin las cuales era difícil seguir
todos los pasos de una prueba.
Tampoco estaban claramente establecidos los principios de los que se
partía, ni se expresaban claramente todos los pasos lógicos que se daban en una
demostración. Hoy en día, el uso de figuras geométricas sirve únicamente como
ayuda gráfica que permite seguir de una forma más visual e intuitiva el proceso
deductivo de la prueba.

|

|
Figuras geométricas
utilizadas en diferentes demostraciones.
|
Tampoco se concibe en la actualidad la utilización de métodos
experimentales para demostrar un enunciado matemático, como por ejemplo la
igualdad de los ángulos de un polígono, mediante la utilización de instrumentos
de medida, por muy sofisticados que estos instrumentos sean.
Aunque desde los tiempos antiguos el método de prueba se ha ido
refinando hasta alcanzar la forma actual, a raíz de la crisis de fundamentos de
la matemática y debido a las paradojas descubiertas en la teoría intuitiva de
conjuntos de Cantor, el interés por el método axiomático y por la lógica en
general se acrecentó, experimentando los métodos lógicos un desarrollo que no
habían tenido durante muchos siglos. Todo esto llevó consigo la necesidad de
investigar los elementos utilizados por la lógica, desde símbolos lógicos hasta
lenguajes y sistemas formales en general, pasando por relaciones de
consecuencia lógica entre enunciados que expresaban propiedades de las
distintas teorías matemáticas; en definitiva, se trataba de investigar sobre la forma que
debían tener las demostraciones matemáticas.
Hoy es claro que demostrar un teorema matemático es
deducirlo, mediante un razonamiento lógico, a partir de propiedades
fundamentales de los conceptos que aparecen en el teorema, conceptos y propiedades que se han definido y
demostrado previamente mediante su correspondiente deducción lógica a partir de
otras propiedades. Así, hasta llegar a los primeros conceptos o axiomas de una
teoría. La demostración de un teorema
matemático se distingue por su rigor lógico y detalle meticuloso de todos los
pasos lógicos dados a partir de las primeras suposiciones.
Tipos de
demostraciones matemáticas
Las demostraciones matemáticas, tal y como se ha dicho
anteriormente, tratan de probar la verdad de enunciados matemáticos. Estos
enunciados a demostrar se suelen denominar lemas, teoremas o corolarios. Un lema es un resultado
preliminar que se suele utilizar como resultado previo para demostrar un
resultado de mayor importancia, o teorema. Un corolario es una consecuencia de
un teorema.
La forma básica o más habitual de una demostración
matemática está expresada mediante un condicional que liga dos enunciados que
actúan a modo de premisa y conclusión. Simbólicamente, en el lenguaje de la
lógica proposicional, tendría la forma “p
q”, es decir, si “p” entonces “q”, expresión
que será falsa solamente en el caso de que la premisa sea verdadera y la
conclusión es falsa. Equivalente a esta expresión es la expresión “¬q
¬p”, es decir, si no “q”, entonces
no “p”,
forma en la que se basa uno de los métodos de demostración matemáticos que
veremos a continuación.
Un tercer tipo de demostraciones
matemáticas consiste en demostrar la equivalencia entre dos o más tipos de
enunciados. En el caso de equivalencia entre dos enunciados, hay que demostrar
la verdad de expresiones del tipo “p
q”, es decir, “p” si y sólo si “q”,
o bien “p” es condición necesaria y suficiente para demostrar “q”.
En estos casos, la demostración se desarrolla normalmente en dos fases,
probando primero la verdad del condicional “p
q” y luego la del recíproco, “q
p”.
Si en un teorema tenemos que demostrar la equivalencia de más de dos
enunciados, la demostración suele hacerse de forma circular, demostrando que el
segundo enunciado se sigue del primero, el tercero del segundo, etc. para cerrar
la cadena demostrando que el primero se sigue del último.
Veamos cuáles son los métodos más habitualmente utilizados en
matemáticas para la demostración de teoremas que tienen la forma lógica
señalada en los párrafos anteriores.
Demostraciones directas
Si queremos probar “q” a partir de “p”, normalmente no lo hacemos en un único
paso, sino a partir de una cadena de implicaciones que comienzan en “p” y terminan en “q”. Los pasos intermedios
son deducciones que se obtienen a partir de las premisas anteriores y de otros
resultados o teoremas demostrados anteriormente, y que de alguna forma son más
asequibles o más fáciles de alcanzar a partir de lo que ya conocemos.
Simbólicamente, una prueba de este tipo tendría la siguiente forma:
p
p1
p2
p3
...
pn
q.
Este método de demostrar “q” a partir de “p” mediante una cadena de implicaciones se basa en la propiedad transitiva
del condicional, que nos dice que si los condicionales “p
p' ” y “p'
p" ” son verdaderos, entonces el condicional “p
p" ” también lo es.
Este tipo de pruebas tiene la dificultad añadida de tener que elegir, de
entre todas las posibles implicaciones que se deducen de una premisa, la que
resulta más adecuada en cada caso para
completar la cadena que nos lleva de “p” a “q”.
Demostraciones por contradicción
En ocasiones, demostrar “q” a partir de “p” de una forma directa presenta dificultades, porque el enunciado
representado por “p” no es fácil de manejar, y en consecuencia resulta difícil obtener deducciones a partir de él. En estos casos, la prueba se puede
simplificar si partimos de suponer la negación de la conclusión, “q”, para demostrar que “p” no se verifica. Nos basamos para ello en la equivalencia de las expresiones “p
q” y “¬q
¬p”.
Veamos un ejemplo:
Si el cuadrado de un número entero n es
impar, entonces n es impar.
Si partimos directamente de suponer que n2 es impar, es decir, que n2 es igual a un número par más 1, y queremos demostrar que n es impar, tendríamos que calcular la raíz
cuadrada de la expresión que nos representa a n2, lo que no nos lleva fácilmente a la
conclusión. Sin embargo, razonando por contradicción, suponemos que n no es impar, es decir, que n es par; tenemos entonces que n es múltiplo de 2, luego n = 2p. Calculamos el cuadrado de n y resulta n2 = 4p2 = 2(2p2); por tanto, n2 es par, luego se verifica la negación de la
premisa.
Demostraciones por reducción al absurdo
Este tipo de demostraciones es en realidad una variante del método
anterior. Suponemos que “p” se cumple, pero que la conclusión no, es decir, que “q” es falsa. A partir de estas suposiciones vamos haciendo deducciones
hasta encontrar una contradicción o un absurdo, lo cual nos demuestra que si “p” se cumple, no es posible que “q” sea falsa.
Veamos un ejemplo algo más
complicado que el presentado en el apartado anterior, mediante el que se
demuestra que hay diferentes tipos de infinitos; en concreto, que el número
infinito que representa al total de los números reales es mayor que el
representa a los naturales.
Demostrar que el conjunto de números reales entre 0 y 1
y, en consecuencia, el conjunto de los números reales, no es numerable
.
G. Cantor utilizó el método de reducción al absurdo para demostrar este
teorema. Supuso que el conjunto de los números reales entre 0 y 1
era numerable, es decir, que todos los números reales entre 0 y 1
se podían colocar como los números naturales en una lista ordenada. Por
ejemplo:

|
0 .[d11]
d12 d13 d14
d15 d16 d17 d18
d19...
0 .d21
[d22] d23 d24 d25
d26 d27 d28
d29...
0 .d31
d32 [d33] d34 d35
d36 d37 d38
d39...
0 .d41
d42 d43 [d44] d45
d46 d47 d48
d49...
0 . d51d52 d53 d54
[d55] d56 d57 d58
d59...
0 . d61d62 d63 d64
d65 [d66] d67 d68
d69...
0 . d71d72 d73 d74
d75 d76 [d77]
d78 d79...
0 . d81d82 d83 d84
d85 d86 d87
[d88] d89...
.
.
.
|
George Cantor.
|
Si de la diagonal tomamos elementos diferentes a los que están entre
corchetes obtendremos un número real diferente a los dados en la lista, lo que
es contradictorio, ya que el número así obtenido es real y está entre 0 y 1
. Por tanto, es un error suponer que es posible colocar todos
los números reales entre 0 y 1
en una lista, de donde se deduce el
teorema.
Citemos a continuación dos tipos de demostraciones matemáticas cuya
forma no se puede simbolizar en el lenguaje básico de la lógica proposicional,
sino que exige el paso a un lenguaje lógico más expresivo como el de la lógica
de primer orden. En este lenguaje se pueden utilizar expresiones del tipo “existe
un x”, o “para todo elemento x”, tal que cumple la
propiedad P.
Demostraciones de existencia
Mediante estas demostraciones se trata de probar expresiones del tipo
Demostrar que existe un x tal que cumple la propiedad P.
Para demostrar la existencia de un elemento, en ocasiones, se utiliza un
tipo de demostración constructiva que muestra de una manera efectiva cómo se
puede hallar o calcular dicho elemento.
Otras veces, sin embargo, la demostración se limita a probar la
posibilidad de existencia de ese elemento, sin mostrar la forma de calcularlo.
Este segundo tipo de demostraciones, habituales en la práctica matemática
ordinaria, es sin embargo rechazada por la corriente intuicionista o
constructivista que, liderada por L.E.J. Brouwer, constituyó uno de las líneas
de desarrollo de la matemática que surgieron a partir de la crisis de fundamentos
de finales del siglo XIX.
Ejemplo:
Si a y b son dos números reales y a < b, existe un número real c tal que a < c < b.
Si hacemos 
se ve fácilmente que el número así construido cumple las condiciones del
teorema, con lo que éste queda demostrado.
Demostraciones de unicidad
Vinculadas a las demostraciones de existencia están las llamadas demostraciones de unicidad, mediante las
cuales se trata de probar expresiones del tipo
Demostrar que si existe un x que cumple la propiedad P, este x es único.
Para demostrarlas se suele partir de la
suposición de existencia de más de uno de dichos elementos, para probar,
finalmente, que esos elementos son iguales.
Ejemplo:
Demostrar que la solución de
la ecuación 2x + 3 =
7 es única.
Supongamos que esta ecuación tiene dos soluciones, x1 y x2. Como son soluciones de la ecuación, si las
sustituimos en ella, la igualdad se verificará, es decir, 2x1 + 3 = 7, 2x2 + 3 = 7, de donde
2x1 + 3 = 2x2 + 3 y, por tanto, x1 = x2
.
Demostraciones por inducción matemática
A pesar de lo que su nombre pueda indicar, este tipo de demostraciones
no son pruebas inductivas, sino que utilizan el método deductivo para demostrar
teoremas a partir del axioma de la buena
ordenación, que asume que “todo conjunto puede ser bien ordenado”
; .
Se reconvierte así el método inductivo de verificación uno por uno de una
propiedad para todos los elementos de un conjunto, introduciéndolo como axioma
de la teoría de conjuntos. Utilizaremos aquí una versión débil del axioma, que
dice que “todo subconjunto de un conjunto numerable puede ser bien ordenado” .
Partiendo de este axioma se demuestra el principio de inducción
matemática, cuyo enunciado es el siguiente:
Sea P una propiedad aplicable al conjunto de los números naturales (o, en
general, a los elementos de un conjunto numerable). Si se cumplen las
siguientes condiciones:
i) La propiedad se verifica para el elemento 0,
es decir, P(0) es
verdadera.
ii) Siempre que P(m) es verdadera, P(m+1) es verdadera.
Entonces P se
verifica para todo elemento n
del conjunto de los números naturales.
Tal y como se ha indicado, mediante este principio podemos probar
propiedades de los números naturales sin tener que verificar la propiedad para
cada elemento, uno a uno.
Ejemplo:
Demostrar que la suma de los n primeros números naturales es igual a 
.
Sea P(n) = 0 +1+2+....+n. Comprobemos que para esta propiedad de los
números naturales se cumplen las condiciones i) y ii) del principio de
inducción finita:
i) P(0)
= 
= 0, se cumple.
ii) Supongamos
que P(m) es verdadera y veamos que, en este caso, P(m+1) también lo es:
P(m+1) =
0+1+2+....+m+(m+1).
Aplicando la
hipótesis de inducción que nos dice que P(m) es verdadera, sabemos que 0+1+2+....+m = 
. Sustituyendo esta igualdad en la expresión
P(m+1)
tenemos:
P(m+1)
= 
+ (m+1)
= 
= 
,
tal y como queríamos demostrar.
Como se cumplen las condiciones i) y ii), el principio de inducción nos
dice que la propiedad se verifica para todo número natural n, y en consecuencia el teorema queda
demostrado.
Para terminar, diremos brevemente que si en vez de probar una propiedad
general para todos los elementos de un conjunto, sea mediante el principio de
inducción o mediante cualquier otro método, lo que queremos es demostrar que
dicha propiedad no se cumple, el método más utilizado suele ser el de mostrar
un contraejemplo, es decir, exhibir
un elemento de dicho conjunto o clase que no verifica la propiedad.
Hemos citado brevemente lo que, a nuestro entender, son aspectos
generales y comunes de la matemática y de su método en general. Sin embargo,
creemos que a la hora de evaluar los desarrollos matemáticos hay también otros
puntos, que no hemos podido exponer, pero que siempre hay que tener en
cuenta en una demostración; por ejemplo, si los conceptos definidos son
provechosos, es decir, si son útiles en el desarrollo de una teoría; si los
métodos empleados en la demostración son de aplicación general; si el teorema
tiene aplicaciones; si la demostración es o no constructiva; etc. Dicho de otra
forma, además de probar que el teorema es verdadero, deberíamos tener en
cuenta, también, qué nos enseña su demostración.
Por otra parte, nos gustaría remarcar asimismo que a la hora de presentar
las matemáticas habría que valorar si sería útil enseñar no sólo el producto
final y perfecto de una demostración acabada, sino los esfuerzos empleados para
llegar a dicho resultado, los caminos erróneos recorridos, los días pasados sin
avance aparente, los resultados colaterales conseguidos, etc. Creo, sinceramente,
que dedicar algún tiempo a esta tarea conseguiría acercar la matemática a más
gente, y contribuiría a destruir el mito de ?torre inaccesible? que presenta para
muchos/as.
Referencias
A.D. Aleksandrov,
A.N. Kolmogorov, M.A. Laurentiev
y otros: La matemática: su contenido, métodos y significado (3 vols., 11ª. ed.).
Alianza, Madrid, 2003.
C. Badesa, I. Jané, R. Jansana: Elementos de lógica formal. Ariel, Barcelona, 1998.
I.M. Copi, C. Cohen: Introduction
to logic (12ª. ed.). Pearson-Prentice Hall, New York, 2001. [Traducción al castellano de una edición anterior: I.M. Copi, C.
Cohen: Introducción a la lógica. Limusa, México, 2000].
R. Courant, H. Robbins: What
is mathematics?: An elementary approach to ideas and methods (2ª. ed.) Oxford University Press, Oxford, 1996. [Traducción al castellano: ¿Qué es
la matemática?: Una exposición elemental de sus ideas y métodos. Aguilar, Madrid, 1971].
P.J. Davis, R. Hersh: The
mathematical experience. Houghton Mifflin Company, Boston, 1981. [Traducción al castellano: Experiencia matemática. Labor,
Barcelona, 1988].
A. Deaño: Introducción
a la lógica formal (4ª. ed.). Alianza, Madrid, 1983.
M. Garrido: Lógica simbólica (3ª. ed.). Tecnos, Madrid, 1995.
I. Lakatos, J.
Worral, E. Zahar (eds.): Proofs and
Refutations: The Logic of Mathematics Discovery. Cambridge University Press, Cambridge, 1976. [Traducción al castellano de C. Solís: Pruebas y
refutaciones: la lógica del descubrimiento matemático. Alianza Universidad,
Madrid, 1986].
P. Mancosu, K.F. Jörgensen, S.A. Pedersen (eds.): Visualization,
Explanation and Reasoning Styles in Mathematics. Synthese Library, vol.
327. Springer, Dordrecht, 2005.
Un conjunto es numerable si, y sólo si, tiene el mismo cardinal que el
conjunto de los números naturales. Dicho de una forma rápida, si tiene el mismo
“número” de elementos que el conjunto de los números naturales.
Un conjunto está bien ordenado si todo subconjunto suyo tiene un primer
elemento o mínimo. El conjunto de los números reales con el orden habitual,
<, no está bien ordenado. Este axioma asume que se puede encontrar una buena
ordenación para los reales; sin embargo, nadie ha encontrado esa buena
ordenación. Este axioma es equivalente a otros resultados utilizados bastante
habitualmente en la práctica matemática.

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Sobre la autora
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Begoña Carrascal
Platas es
doctora en Matemáticas por la Universidad del País Vasco-Euskal Herriko
Unibertsitatea, y profesora titular del Departamento de Lógica y Filosofía de
la Ciencia de la misma Universidad. Imparte clases de Lógica Formal, Matemáticas y Pragmática del
Lenguaje Natural en la Licenciatura de Filosofía. Sus líneas de investigación están relacionadas
con las asignaturas que imparte, y también con las teorías de argumentación
en lenguaje natural y falacias argumentativas.
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