Recibido: lunes, 07 mayo 2007
¿Qué pasaría si...
...quisiéramos calcular la longitud de la “hipotenusa” en
este “triángulo” rectángulo?
¿Qué fórmula obtendríamos?
[La solución, en
el próximo número]
Solución al problema anterior
...quisieras comprar 10 acciones de una compañía que se
cotizan a 6,21 euros cada una y un cierto número de acciones de otra compañía que se
cotizan a 4,37 euros cada una? ¿Cuántas acciones deberías comprar de la segunda compañía,
si quieres que el valor promedio de cada acción sea aproximadamente 5 euros?
Respuesta: Deberías comprar 19 ó 20 acciones.
Veamos cómo podemos llegar a esta respuesta.
Las diez acciones valen 62,1 euros. Como no sabemos cuántas
acciones de la otra clase tenemos que comprar, indicaremos con X esa
cantidad. Es decir que en total tendremos que invertir (62,1
+ 4,37X) euros en comprar 10
+ X acciones. El valor promedio será entonces de
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62,1
+ 4,37X
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euros.
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10
+ X
|
Como queremos que este valor promedio sea aproximadamente
5 euros,
planteamos la ecuación
de la cual podemos despejar el valor de X . En efecto,
62,1
+ 4,37X = 50 + 5X,
O
12,1
= 0,63X.
Es decir:
que es un valor entre 19 y 20.
Si compráramos 19 acciones de la segunda clase, el
precio promedio de cada acción sería
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62,1
+ 4,37 x
19
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,
|
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10
+19
|
unos 5,01 euros cada una.
En cambio, si compráramos 20 acciones, el precio promedio
sería
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62,1
+ 4,37 x
20
|
,
|
|
10
+20
|
unos 4,84 euros cada una.
Como un comentario adicional, observemos que el precio
promedio de cada acción depende del número de acciones de la segunda clase a
través de la función
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f (X) =
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62,1
+ 4,37X
|
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10
+ X
|
El gráfico de esta función,
muestra que f (X) es una función decreciente que se aproxima a un valor un
poco menor que 5, cuando X se hace muy grande. En términos
matemáticos decimos que el límite de f (X) cuando X tiende a infinito es 4,37. Este número es el valor
aproximado del precio promedio de cada acción si compráramos una cantidad “muy
grande” de acciones de la segunda clase.
Podemos calcular el límite de f (X) dividiendo el numerador y el
denominador por X de la siguiente manera:
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62,1
+ 4,37X
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=
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62,1
|
+ 4,37
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X
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10
+ X
|
10
|
+ 1
|
|
X
|
Cuando X se hace infinitamente grande,
las cantidades 62,1/X y 10/X se tornan infinitamente pequeñas,
por lo cual el límite resulta ser igual a 4,37. Este resultado quiere decir que
cuando compramos “muchísimas” acciones de la segunda clase, el haber comprado 10 acciones de la primera clase no
tiene ningún efecto.
En la práctica, “muy grande” puede querer decir, por
ejemplo, 100 acciones, puesto que ya f (100) es aproximadamente 4,538. Si en cambio tomamos X = 200, f (200) es aproximadamente 4,538.
Es decir que la idea matemática de límite puede tener un
sentido muy real y a veces no hay que ir muy lejos para estar bastante cerca
del valor del límite.
Este problema del precio de las acciones fue en realidad
una pregunta que mi oculista me hizo en mi última visita. En su caso, él ya
tenía 10 acciones de una compañía que produce instrumental óptico y quería comprar
más acciones porque sabía que la compañía estaba a punto de recibir
autorización para poner en el mercado una nueva técnica muy precisa de examinar
la córnea.
Por haber podido contestar a la pregunta de mi oculista,
el año que viene me examinará la córnea con esta nueva técnica, que normalmente
no usaría en casos de rutina.
Así que las matemáticas tienen ventajas inesperadas hasta
en el consultorio del oculista.
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Sobre la
autora
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Josefina
(Lolina) Álvarez es Professor of Mathematics en New
Mexico State University (USA). Especialista en análisis armónico y funcional,
se doctoró en Matemáticas por la Universidad de Buenos Aires (Argentina),
bajo la dirección de A.P. Calderón. Ha ocupado diversos puestos y cargos
académicos en la Universidad de Buenos Aires y en las estadounidenses de
Princeton, Chicago, Florida Atlantic University y New Mexico. Ha sido
investigadora del CONICET (Argentina). Miembro de la Unión Matemática
Argentina, Mathematical Association of America y American Mathematical
Society, formó parte del Committee on Committees de esta última entre
1999 y 2002. Ha dictado numerosas conferencias en congresos y sesiones
especiales e impartido seminarios en Alemania, Argentina, Bélgica, Brasil,
Canadá, Colombia, España, Estados Unidos, México, Perú, Polonia, Suecia y
Venezuela. Ha pertenecido y en varias ocasiones presidido los comités
organizadores de distintos congresos y minisimposia. Ha ejercido como evaluadora para
prestigiosas revistas especializadas. Desde 2002 es Editora Asociada del Rocky
Mountain Journal of Mathematics. Autora o coautora de numerosos artículos
científicos y varias monografías en análisis armónico y funcional y directora
de dos tesis doctorales, ha desarrollado asimismo una intensa actividad en el
campo de la educación matemática, habiendo recibido
diversos galardones a la excelencia docente.
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