Recibido: jueves, 14 diciembre 2006
Alicia Boole Stott y la cuarta dimensión
Irene
Polo-Blanco
Universidad de Cantabria
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Figura 1. Alicia Boole Stott (1860-1940).
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A Alicia Boole Stott se la recuerda todavía
por su contribución a la geometría en cuatro dimensiones. Como mujer nacida en
la segunda mitad del siglo XIX, sus oportunidades educativas se vieron muy
reducidas, viviendo la mayor parte de su vida adulta como ama de casa. A pesar
de todo, obtuvo muy importantes resultados en matemáticas gracias a su
sorprendente capacidad para visualizar la cuarta dimensión. Boole Stott calculó
las secciones tridimensionales de los politopos
regulares en cuatro dimensiones (esto es, los análogos a los sólidos platónicos
en cuatro dimensiones) y descubrió muchos de los politopos semi-regulares en
cuatro dimensiones. A lo largo de su vida, conoció a dos importantes geómetras
de la época: P.H. Schoute y H.S.M. Coxeter, con los que colaboró trabajando en
distintos aspectos de la geometría 4-dimensional.
A continuación presentamos la vida de Alicia
Boole Stott, y un resumen de sus descubrimientos matemáticos.
Una familia y una educación extraordinarias
Alicia Boole Stott, nacida en 1860 en Castle
Road (Irlanda), fue la tercera de las cinco hijas del famoso logicista George Boole y de Mary Everest Boole. George Boole murió en
1864 a la temprana edad de 49 años, cuando Alicia tenía tan sólo 4 años.
Everest Boole quedó a cargo de sus cinco hijas, disponiendo de muy pocos medios
para llevar adelante a su familia. Por este motivo, Everest Boole se vio
obligada a mudarse a Londres con las cuatro hermanas de Alicia, mientras que
Alicia se quedó a vivir en Cork con unos familiares. A la edad de 11 años se
mudó a Londres a vivir con su madre y hermanas. Las cuatro hermanas se
convirtieron también en importantes figuras de la época por muy diversos
motivos. Para un conocimiento detallado de la vida de la familia Boole nos
referimos a [McH].
En la Figura
2, Alicia está presente con sus hermanas, su madre y varios descendientes.

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Figura
2. De derecha a izquierda, de arriba a abajo:
M. Taylor, E.L. Voynich, A. Boole Stott, L.E. Boole,
M.E. Hinton, J. Taylor, M. Stott, M. Everest Boole,
G. Hinton, G.I. Taylor, L. Stott.
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Cabe resaltar el hecho de que las
universidades inglesas de la época no ofrecían títulos a mujeres, por lo que
éstas podían tan sólo aspirar a estudiar algo de literatura clásica y otras
artes. Los conocimientos formales científicos de Alicia consistían tan sólo en
los dos primeros libros de Euclides. ¿Cómo es posible entonces que obtuviera
tan sorprendentes resultados matemáticos a lo largo de su vida? Una de las
razones se debe sin duda al ambiente tan particular en el que creció y la
educación especial que recibió de su madre. Everest Boole fue conocida en su
época por sus peculiares ideas acerca de la educación. Escribió varios libros
sobre el aprendizaje de las matemáticas, y creía fervientemente en la
importancia de la temprana estimulación de los niños para un buen aprendizaje
de la geometría y otros aspectos de matemáticas. Durante los años que vivieron
en Londres, Everest Boole recibía numerosas visitas en su casa, entre las que
se encontraba la del aficionado matemático Howard
Hinton. Hinton era un profesor de matemáticas de escuela, y poseía un
enorme interés en la cuarta dimensión. Se hizo famoso con su libro The
fourth dimension [H2],
en el que el tema de la cuarta dimensión es tratado desde un punto de vista
filosófico. Durante sus visitas a la familia Boole, Hinton solía juntar varios
cubos de madera intentando hacer visualizar a las cinco hijas el hipercubo en
cuatro dimensiones. Esto inspiró enormemente a Alicia en su futuro trabajo, y
pronto comenzó a sorprender a Hinton con su habilidad para visualizar la cuarta
dimensión. Alicia contribuyó a escribir parte del libro [H1].
Modelos de politopos
Alicia se casó con el actuario Walter Stott en
1890, con el que tuvo dos hijos: Mary y Leonard. Inspirada por Howard Hinton,
Boole Stott comenzó a investigar los politopos en cuatro dimensiones en su
tiempo libre a medida que sus hijos crecían. En esa época, Boole Stott trabajó
de manera completamente independiente, sin ningún contacto con el mundo
científico, y demostró la existencia de los seis politopos regulares en cuatro
dimensiones. Estos politopos fueron enumerados por primera vez por Ludwig Schlaefli en 1850 (publicados tras su muerte en 1901
en [S]),
y son los análogos de los sólidos platónicos en cuatro dimensiones. Los seis
politopos regulares 4-dimensionales reciben el nombre de hipercubo, hipertetrahedro,
hiperoctahedro, 24-cell, 120-cell y 600-cell.
Además de demostrar la existencia de dichos politopos, Boole Stott calculó sus
secciones tridimensionales y las construyó en modelos de
cartón coloreados.
En el año 1894, el geómetra holandés Pieter
Hendrik Schoute publicó su artículo [Sch]
en el que calculaba por métodos analíticos las secciones centrales de los seis
politopos regulares en cuatro dimensiones. Boole Stott supo acerca de dicha
publicación por medio de su marido Walter Stott. Después de comprobar que los
resultados de Schoute y los suyos coincidían, Boole Stott envió fotos de sus
modelos que ilustraban no sólo la sección central de cada politopo, calculada
por Schoute, sino las series completas.

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Figura 3. Sección
central del 600-cell. Izquierda, modelo de Boole Stott. Derecha, dibujo de
Schoute en [Sch].
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Figura
4. Dibujos de las secciones paralelas del 120-cell.
Universidad de Groningen.
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Muy sorprendido con los resultados de Boole
Stott, Schoute le contestó inmediatamente proponiéndole una colaboración
conjunta que duraría casi 20 años, hasta la muerte de Schoute en 1913. Durante
ese período, Schoute viajaba a Inglaterra en las vacaciones de verano, donde
trabajaba con Boole Stott en diversos temas de la cuarta dimensión. Su
colaboración combinaba las capacidades extraordinarias de Boole Stott para
visualizar la cuarta dimensión y los métodos analíticos de Schoute. El trabajo
de Boole Stott culminó con un doctorado honorario otorgado a esta mujer por la
Universidad de Groningen en 1914, como reconocimiento por su contribución a la
geometría en cuatro dimensiones.
Publicaciones de 1900 y 1910
Boole Stott publicó sus resultados en dos
artículos: [BS1]
en 1900 y [BS2]
en 1910. El primero de ellos representa un estudio exhaustivo de las secciones
tridimensionales paralelas de los seis politopos regulares. Dichas
secciones son el resultado de intersecar espacios tridimensionales con el
politopo, siendo dichos espacios tridimensionales paralelos a una de las caras
tridimensionales del politopo.
Los dibujos en la Figura
4 representan las secciones paralelas del 120-cell. En
la siguiente Figura
5 vemos los modelos construidos por Boole Stott de las secciones diagonales
del 600-cell (en las secciones diagonales, los espacios tridimensionales
considerados son perpendiculares al segmento que conecta uno de los vértices
con el centro del politopo).

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Figura
5. Modelos de las secciones diagonales del 600-cell. Museo de la
Universidad de Groningen.
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En relación al método utilizado por
Boole Stott en su artículo, varios puntos merecen ser mencionados. Al igual que
un sólido platónico puede ser desdoblado a un plano, un politopo de cuatro
dimensiones puede ser desdoblado a un espacio tridimensional. Una vez en dicho
espacio los cálculos de las secciones se simplifican considerablemente,
facilitando en gran medida su visualización. En la Figura
6 vemos uno de sus dibujos representando parte del hipercubo desdoblado
(nótese que al desdoblar, varios de los vértices, aristas etc. aparecen más de
una vez, y deben ser identificados con el fin de recuperar el hipercubo
original).
La primera sección es el resultado de
intersecar un espacio tridimensional conteniendo a la celda-cubo ABCDEFGH
con el hipercubo, de lo que resulta claramente el mismo cubo ABCDEFGH.
Se puede ver que el resto de las secciones, al ser sus caras paralelas a la
celda-cubo, consisten también en cubos. Con este ejemplo simple, Boole-Stott
desea ilustrar la técnica de su método. Las secciones del resto de los
politopos vienen también acompañadas con dibujos similares y explicadas en
detalle en [BS1].
En su segundo trabajo [BS2], Boole Stott desarrolló
un método para obtener politopos semi-regulares a partir de regulares. Su
método consiste en aplicar la operación expansión (y su inversa, contracción)
a un politopo regular dado (esto es, se desplaza el conjunto de sus vértices
-equivalentemente aristas, caras, etc.- del centro del politopo hasta que el
resultado forma un politopo semi-regular). Un caso particular tridimensional
puede apreciarse en el dibujo de Boole Stott de la Figura
7.
Aplicando estas operaciones a politopos
regulares en cuatro dimensiones, Boole Stott obtuvo 45 tipos de politopos
semi-regulares. Aunque dichos politopos son conocidos por el trabajo de Whythoff
de 1918 [W],
fueron descubiertos previamente por Boole Stott.
Colaboración con Coxeter
Después de la muerte de Schoute en 1913, Boole
Stott dejó de lado sus investigaciones matemáticas para dedicarse
exclusivamente a su vida de ama de casa. En 1930 retomó su trabajo cuando su
sobrino, el famoso físico y matemático aplicado G.I. Taylor, le presentó al geómetra H.S.M. Coxeter. Aunque
Coxeter tenía tan sólo 23 años y Boole Stott 60, desarrollaron una gran amistad
y trabajaron conjuntamente en diversos aspectos de la geometría en cuatro
dimensiones. No poseen ninguna publicación conjunta, pero las aportaciones de
Boole Stott son conocidas gracias a numerosas referencias a ella en el trabajo
de Coxeter. Su libro Regular polytopes [C]
contiene además numerosos datos de la vida de Boole Stott, y junto con [McH]
constituye la principal fuente de información sobre la biografía de Alicia.

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Figura
6. Parte del hipercubo desdoblado [BS1].
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Figura
7. Expansión del cubo y del octaedro con respecto a sus caras [BS2].
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Conclusión
Alicia Boole Stott representa un excepcional
ejemplo de una matemática amateur nacida en el siglo XIX. Aislada de la
comunidad matemática, muchos de sus descubrimientos no fueron publicados. Sin
embargo, dicho aislamiento pudo haber ayudado a Boole Stott a desarrollar una
capacidad intuitiva hacia la cuarta dimensión muy diferente del método
analítico utilizado en la época, que la conduciría a sus descubrimientos. A
pesar de todo, Boole Stott es todavía recordada por su extraordinaria
contribución a la geometría de cuatro dimensiones. Sus modelos y dibujos
reflejan la complejidad y belleza de sus resultados.
Referencias
[BS1] A. Boole Stott: On certain series of sections of the regular
four-dimensional hypersolids. Verhandelingen der
Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam 7,
3 (1900), 1-21.
[BS2]
A. Boole Stott: Geometrical deduction of
semiregular from regular polytopes and space fillings. Verhandelingen der
Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam 11, 1 (1910), 3-24.
[C] H.S.M. Coxeter: Regular polytopes. Publ. London, 1948.
[H1] C.H. Hinton: A new era of thought.
Publ. London, 1888.
[H2] C.H. Hinton: The fourth dimension. Publ. New York, 1904.
[McH] D. McHale: George Boole: his life and work. Publ. Dublin, 1985.
[P-B]
I. Polo-Blanco: Alicia Boole Stott, a geometer in higher dimension. Preprint.
[S] L. Schlaefli: Theorie der vielfachen Kontinuität. Denkschriften der
Schweizerischen naturforschenden Gesellschaft 38 (1910), 1-237.
[Sch]
P.H. Schoute: Regelmässige Schnitte und
Projektionen des Achtzelles und des Sechszehnzelles im vierdimensionalen Räume.
Verhandelingen der Koninklijke Akademie
van Wetenschappen te Amsterdam 1 Sectie, vol.
2, nr. 2 (1894), 3-12.
[W]
A relation between the polytopes of the C600-family. Verhandelingen
der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam 20 (1918), 966-970.

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Sobre la autora
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Irene Polo-Blanco es licenciada en
Matemáticas por las Universidades del País Vasco y Groningen (Holanda) y doctora en Matemáticas por esta última universidad.
Escribió su tesis bajo la dirección de Marius van der Put, Jaap Top y Jan van
Maanen sobre el tema Modelos de superficies algebraicas,
donde combina los ámbitos de la geometría algebraica y la historia de las
matemáticas. Es autora de varios artículos en revistas internacionales y proceedings.
Ha participado en numerosos congresos internacionales, entre los que se
encuentran: Research in Progress (Oxford, 2005), ICM (Madrid, 2006),
Novembertagung (Paris, 2006) y Bridges (Londres, 2006). Actualmente se encuentra trabajando para la Universidad de Cantabria.
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