Recibido: martes, 16 enero 2007
Uso de CAS en la enseñanza de
los conceptos básicos de variable compleja
José Luis Galán
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web: http://www.satd.uma.es/matap/jlgalan
María Ángeles
Galán
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Yolanda Padilla
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web: http://www.satd.uma.es/matap/yolanda
Pedro Rodríguez
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página
web: http://www.satd.uma.es/matap/pedro
Departamento
de Matemática Aplicada
E.
T. S. I. Telecomunicación
Universidad
de Málaga
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Introducción
El uso de CAS
(Computer Algebra Systems) en la enseñanza de las asignaturas de Matemáticas en
Ingeniería se ha convertido en un aspecto habitual de su desarrollo. Sin
embargo, cualquier usuario de software matemático que haya intentado trabajar
en el campo de la
Variable Compleja sabrá que éstos están aún muy limitados,
puesto que se producen ciertos “errores” inesperados cuando intervienen números
y funciones de variable compleja. En otros casos, el resultado obtenido es
incompleto. Por ejemplo, al calcular el logaritmo neperiano de un número
complejo se obtiene un único valor, en lugar de los infinitos valores que se
deberían obtener. Otro ejemplo sencillo en el que se producen resultados “no
deseados” o incompletos es a la hora de calcular la raíz n-ésima de un número
complejo, puesto que se obtiene un único valor, en lugar de los n valores que
se deberían obtener.
¿Cómo solucionar
este problema? La respuesta a esta pregunta, bajo nuestra experiencia, pasa por
“obligar” al software a hacer lo que nosotros queremos que haga mediante el uso
de la programación. Así, la combinación de la potencia de un CAS con la
flexibilidad de un lenguaje de programación permite el desarrollo de ficheros
de utilidades para tratar una materia específica. En nuestro caso el software
elegido es DERIVE, principalmente por su sencillez de manejo y su flexibilidad
a la hora de editar las expresiones matemáticas.
Fichero de utilidades
Complejos_conceptos_basicos.mth
Presentamos en
esta sección el contenido del fichero
Complejos_conceptos_basicos.mth,
así como un fichero de ejemplos. Este fichero de utilidades es fruto de
las experiencias desarrolladas en los últimos años en la docencia de la
asignatura Ampliación de Matemáticas
de las titulaciones de Ingeniería Técnica de Telecomunicación (Sistemas
Electrónicos, Sistemas de Telecomunicación y Sonido e Imagen) de la Universidad de Málaga
y es un extracto del CD que acompaña al libro de texto de dicha asignatura (J.L. Galán y otros, 2006). El núcleo principal
del libro es el estudio de la variable compleja.
El fichero consta
de una serie de programas desarrollados con el fin de mejorar las prestaciones
que presenta el programa DERIVE relativo a las operaciones básicas con números
complejos. Además, está enfocado a la resolución de diversos problemas clásicos
de Ingeniería. Por otro lado, y con el fin de hacer el fichero de utilidades lo
más didáctico posible, algunos de los programas desarrollados no sólo
proporcionan el resultado final sino que muestran, paso por paso, las
explicaciones y los resultados intermedios necesarios para conseguir el
resultado requerido. En este sentido, se intenta utilizar así DERIVE como un
PeCAS (Pedagogical Computer Algebra System), siendo especialmente apropiado
su uso en la clases ordinarias de pizarra, en las clases de laboratorio y en el
estudio personal del alumno, puesto que se muestran en cada ejercicio todos los
pasos intermedios antes de alcanzar la solución final.
Pasamos a continuación
a describir los programas desarrollados en este fichero de aplicaciones:
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Función y argumentos
|
Descripción
|
|
Modulo(z)
|
Módulo
de un n°. complejo dado en forma binómica
|
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ParteReal(z)
|
Parte
real de un n°. complejo dado en forma binómica
|
|
ParteImaginaria(z)
|
Parte
imaginaria de un n°. complejo dado en forma binómica
|
|
Conjugado(z)
|
Conjugado
de un n°. complejo dado en forma binómica
|
|
Argumento(z)
|
Argumento
de un n°. complejo dado en forma binómica
|
|
PolarCartesiana(r, θ)
|
Pasar
de forma polar a cartesiana
|
|
PolarBinomica(r, θ)
|
Pasar
de forma polar a binómica
|
|
CartesianaBinomica(a, b)
|
Pasar
de forma cartesiana a binómica
|
|
CartesianaPolar(a, b)
|
Pasar
de forma cartesiana a polar
|
|
BinomicaCartesiana(z)
|
Pasar
de forma binómica a cartesiana
|
|
BinomicaPolar(z)
|
Pasar
de forma binómica a polar
|
|
Cartesiana(a, b)
|
Pasar
de forma cartesiana a binómica y polar
|
|
Binomica(z)
|
Pasar
de forma binómica a cartesiana y polar
|
|
Polar(r, θ)
|
Pasar
de forma polar a binómica y cartesiana
|
|
RaizPolar(r, θ, n)
|
Dado
un n°. complejo en forma polar, calcular la raíz n-ésima en forma polar
|
|
RaizBinomicaPolar(z, n)
|
Dado
un n°. complejo en forma binómica, calcular la raíz n-ésima en forma polar
|
|
RaizCartesianaPolar(a, b, n)
|
Dado
un n°. complejo en forma cartesiana, calcular la raíz n-ésima en forma polar
|
|
RaizPolarBinomica(r, θ, n)
|
Dado
un n°. complejo en forma polar, calcular la raíz n-ésima en forma binómica
|
|
RaizBinomica(z, n)
|
Dado
un n°. complejo en forma binómica, calcular la raíz n-ésima en forma binómica
|
|
RaizCartesianaBinomica(a, b, n)
|
Dado
un n°. complejo en forma cartesiana, calcular la raíz n-ésima en forma binómica
|
|
RaizPolarCartesiana(r, θ, n)
|
Dado
un n°. complejo en forma polar, calcular la raíz n-ésima en forma cartesiana
|
|
RaizBinomicaCartesiana(z, n)
|
Dado
un n°. complejo en forma binómica, calcular la raíz n-ésima en forma
cartesiana
|
|
RaizCartesiana(a, b, n)
|
Dado
un n°. complejo en forma cartesiana, calcular la raíz n-ésima en forma
cartesiana
|
|
Region(izq, ope, der)
|
Representación
de regiones en el plano complejo
|
¿Cómo utilizar el fichero
Complejos_conceptos_basicos.mth?
Ya se ha comentado
anteriormente que, debido al carácter didáctico considerado a la hora de
elaborar el fichero de utilidades, su uso puede ser adecuado en algunos
momentos puntuales del desarrollo de las clases de pizarra. Pero donde
realmente se demuestra su utilidad es cuando se usa en las clases de
laboratorio, ya que se centra el trabajo en la utilización de un CAS como
DERIVE para la resolución de los problemas típicos de la asignatura.
Aunque el carácter
didáctico comentado del fichero de utilidades es ya en sí mismo de gran
interés, en las clases de laboratorio no sólo se utiliza la ejecución de los
programas que forman parte del fichero sino que, como aspecto fundamental, son
los propios alumnos los que se encargan de desarrollar gran parte de dichos
programas. La experiencia nos ha demostrado que cuando el alumno realiza un
programa para resolver cierto tipo de ejercicio, comprende mucho mejor cuál es
la forma de abordar posteriormente un ejercicio de esas características “a
mano”. Esto se produce porque cuando el alumno programa debe tener en cuenta
distintas estrategias para la resolución del problema, contemplar diversas alternativas
y profundizar en todos los aspectos relacionados con el tipo de ejercicio en
cuestión.
Así, por ejemplo,
cuando un alumno desarrolla un programa para obtener el resultado de una
integral de línea compleja a lo largo de un camino dado, deberá considerar,
dependiendo de la función a integrar y del propio camino de integración,
distintas alternativas como la posibilidad de utilizar los resultados de los
teoremas explicados en clase (teorema integral de Cauchy o algunas de sus
consecuencias, fórmulas integrales de Cauchy, teorema de los residuos) o si por
el contrario tiene que recurrir a la definición de integral de línea teniendo
en cuenta la parametrización del camino de integración.
En los últimos
años hemos comprobado en diferentes estudios (realizados rigurosamente, como parte de distintas investigaciones que han supuesto la lectura
de las tesis doctorales: Y. Padilla, 2003;
J.L. Galán, 2003 y P.
Rodríguez, 2004) que el hecho de que el alumno
programe con DERIVE conlleva, entre otros aspectos positivos, grandes ventajas
para él en su proceso de enseñanza-aprendizaje (mayor conocimiento de la
asignatura, incremento en la motivación, participación activa, obtención de
mejores calificaciones en los exámenes tradicionales, etc.). Además, hemos
constatado mediante diversos estudios empíricos que utilizando la programación
se consigue aumentar la creatividad matemática del alumno.
Por tanto, el uso
que nosotros hacemos de los ficheros de utilidades en general, y del fichero Complejos_conceptos_basicos.mth
en particular, consiste no sólo en la ejecución de los programas de los que
consta sino que, en la medida de lo posible, son los alumnos los que
desarrollan gran parte del contenido de dichos ficheros. El fin fundamental que
se persigue es enseñarles a crear sus propios ficheros de utilidades para los diferentes ejercicios que les surjan en las
asignaturas de la titulación.
Es también
interesante comentar que decidimos poner nombres largos a los programas
principalmente por dos motivos: en primer lugar porque viendo el nombre del
programa el usuario se hace una idea clara de lo que con dicho programa se
pretende resolver; en segundo lugar, un nombre largo es más fácil de recordar
para su uso posterior, hecho que no ocurre si se utilizan abreviaturas.
Ejemplo de ejercicios desarrollados en las clases de laboratorio
Presentamos
en este apartado una serie de ejercicios de la clase de laboratorio referentes
a la materia explicada en el primer tema sobre operaciones elementales con
números complejos:
1. Dados los números complejos 
y ,
calcular:
a)
b)
c).
2. Sea .
Calcular:
a) b) c) d) .
3. Desarrollar un programa llamado Conjugado para calcular el conjugado de un número complejo.
Utilizarlo para calcular el conjugado de .
4. Desarrollar un programa llamado Modulo para calcular el módulo de un número complejo.
Utilizarlo para calcular el módulo de .
5. Sean los números complejos ,
y .
Expresarlos en sus correspondientes formas cartesiana, binómica y polar.
Representarlos gráficamente.
6. Desarrollar un programa llamado PolarBinomica para convertir un número complejo de forma polar
a forma binómica. Utilizarlo para expresar en su forma binómica.
7. Utilizar la fórmula de De Moivre para expresar en función de las razones trigonométricas
del ángulo .
8. Calcular .
9. Desarrollar un programa llamado RaizPolar para calcular la raíz n-ésima de un número complejo
dado en forma polar. Utilizarlo para calcular .
10. Representar en el plano los recintos dados por:
a) b) c)
Solución
con DERIVE
En primer
lugar, en la instrucción #1, se carga el fichero de utilidades que contiene los
programas desarrollados para la resolución de los distintos ejercicios.
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Figura 1.
Tarea 1.
Se
declaran los valores de y de y se pasa a resolver los distintos apartados
de los que consta la tarea 1.
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Figura 2.
Tarea 2.
Se
declara el valor de y se calculan su módulo, argumento, parte
real y parte imaginaria mediante los correspondientes programas.
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Figura 3.
Tareas 3 y 4.
Tarea 3: Se desarrolla el programa Conjugado(z)
y se utiliza para calcular el conjugado de .
Tarea 4: Se desarrolla el programa Modulo(z)
y se utiliza para calcular el módulo de .
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Figura 4.
Tarea 5.
Se
convierten diferentes números complejos en sus distintas formas de
expresarse. Posteriormente, se representan gráficamente los puntos
considerados.
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Figura 5.
Tareas 6 y 7.
Tarea 6: Se desarrolla el programa PolarBinomica(r,θ)
y se utiliza para convertir en su forma binómica.
Tarea 7: Teniendo en cuenta la fórmula de De Moivre:
Para ,
y considerando la parte imaginaria, se obtiene el resultado requerido.
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Figura 6.
Tarea 8.
Se
ejecuta el programa RaizBinomica
con los parámetros adecuados para calcular .
Puede observarse que se recuerdan los aspectos teóricos necesarios antes de
mostrar el resultado final.
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Figura 7.
Tarea 9.
Se
desarrolla el programa RaizPolar(r,θ,n)
paso a paso introduciendo diferentes comentarios explicativos. Posteriormente
se usa dicho programa para calcular .
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Figura 8.
Tarea 10.
Para
representar gráficamente los recintos requeridos, se ejecuta el programa Region con los parámetros adecuados
para cada uno de los recintos.
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Conclusiones
De la experiencia adquirida en la docencia de diferentes
asignaturas de Matemáticas en Ingeniería, en cuyo desarrollo se incluyen clases
con el ordenador mediante el uso combinado de un CAS (DERIVE) y de la
programación, hemos constatado, entre otras, las siguientes consideraciones:
- Las
experiencias acumuladas revelan que los CAS son herramientas informáticas
de fácil manejo y útiles para su integración en las clases de Matemáticas
de Ingeniería.
- Se
deben cambiar los usos tradicionales de los CAS en la enseñanza de las
Matemáticas en Ingeniería para maximizar las oportunidades que ofrece esta
tecnología. La optimización se debe orientar hacia la mejora de la
motivación, la autonomía y el aprendizaje basado en la implicación del
alumno en el proceso.
- Una
idea potente es la de combinar los recursos de un CAS con la flexibilidad
de un lenguaje de programación.
- Hay
indicios razonables de que la realización de programas con DERIVE facilita
el aprendizaje y mejora la motivación del alumno.
- Aunque
sería lo deseable, no es necesario modificar sustancialmente un programa
tradicional de una asignatura de Matemáticas en Ingeniería para introducir
la elaboración de programas con DERIVE por parte de los alumnos.
Referencias
J.L. Galán (2003): Integrales Múltiples con Derive. Un estudio
de innovación curricular en primer curso de Ingeniería Técnica de
Telecomunicación. Tesis Doctoral, Universidad de Málaga. ISBN:
84-688-8421-9.
J.L. Galán, P. Rodríguez, Y.
Padilla, M.A. Galán (2006): Ampliación
de Matemáticas para la Ingeniería. Teoría, problemas y tratamiento en Derive.
Ed. Bellisco, Madrid. ISBN: 84-96486-34-6.
Y. Padilla (2003): Integrales de Línea con Derive. Un estudio
de innovación curricular en primer curso de Ingeniería Técnica de
Telecomunicación. Tesis Doctoral, Universidad de Málaga. ISBN:
84-688-8420-0.
P. Rodríguez (2004): Derivación e Integración de funciones de
Variable Compleja con Derive. Un estudio de innovación curricular en segundo
curso de Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Tesis Doctoral, Universidad
de Málaga. ISBN: 84-688-9473-7.
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Sobre los autores
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José Luis Galán García (i) y Pedro Rodríguez Cielos (d) son doctores por la Universidad de Málaga, licenciados en Ciencias Matemáticas y profesores del Departamento de Matemática Aplicada de la Universidad de Málaga. José Luis Galán es además diplomado en Informática. Ambos desarrollan su investigación principal en el campo del uso de las TICs en la enseñanza de las Matemáticas en Ingenierías. En los últimos años se han especializado en el desarrollo de paquetes de utilidades de diversas materias para el programa Derive tales como el que se presenta en este artículo.
María Ángeles Galán García (i), doctora por la Universidad de Umea (Suecia) y licenciada en Ciencias Matemáticas, es investigadora dentro del programa “Juan de la Cierva” en el Departamento de Matemática Aplicada de la Universidad de Málaga, y desarrolla su investigación principal en el campo de la teoría de categorías. Yolanda Padilla Domínguez (d), doctora por la Universidad de Málaga y licenciada en Ciencias Matemáticas, es profesora del Departamento de Matemática Aplicada de la Universidad de Málaga y profesora de Enseñanza Secundaria, y desarrolla su investigación principal en el campo del uso de las TICs en la enseñanza de las Matemáticas en Educación Secundaria.
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