Recibido: miércoles, 11 octubre 2006; revisado: martes, 17 octubre 2006
Las matemáticas y la “mano invisible” de
Adam Smith[1]
Julio Segura
Universidad Complutense de
Madrid y Comisión Nacional del Mercado de Valores
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página web: http://www.ucm.es/info/anaeco
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1. Introducción
Todas las mañanas entro en un
pequeño bar del barrio, pido café y churros, desayuno, pago 1,95 euros y me voy
a trabajar. Esto es algo que hacemos cientos de miles de personas cada día sin
reflexionar sobre un acto tan simple y cotidiano, de igual forma que nunca
pensamos qué principios físico-químicos rigen el acto de arrancar el coche.
Pero, ¿qué contestaría un economista si le preguntaran qué hay detrás de la
acción descrita desde el punto de vista del análisis microeconómico?
El café viene de Brasil, la
cafetera fue fabricada en Italia, las tazas y vasos en Manises, los churros a
pocas manzanas del bar (han de estar recientes), el camarero es colombiano...
Esto implica la conexión entre los productores de café brasileños, el
transporte transoceánico, la importación de maquinaria europea, la industria de
la loza valenciana, los harineros y productores de aceite, el mercado de
trabajo, la inmigración... Tras un acto tan simple como desayunar y pagar 1,95
euros hay, literalmente, varios miles de decisiones individuales de personas y
empresas (microeconómicas) que se han tenido que coordinar con precisión para
que en un lugar exacto (el bar concreto) y en un momento preciso (las 7:00 am)
de un día específico (hoy) pueda desayunar. ¿Cómo
se logra la coordinación de estas decisiones individuales? Esta es la
pregunta del microeconomista, y la respuesta es: a través de mecanismos de asignación, de entre los que el más extendido
es el mercado.
Por lo
tanto, la tarea del microeconomista es el análisis de las decisiones de los agentes individuales (consumidores y empresas) y
el estudio de los mecanismos de
coordinación de dichas decisiones (mecanismos de asignación).
2. ¿Qué es la “mano invisible”?
Adam Smith,
profesor escocés de ética de la segunda mitad del s. XVIII, considerado como
fundador de la teoría económica moderna, en su más famosa obra, La riqueza de las naciones (1776),
formuló el principio de la mano
invisible: si cada consumidor y cada empresa persiguen como objetivo su
beneficio individual, el libre intercambio en mercados competitivos logrará que
todos los bienes y servicios alcancen un precio al cual todos los planes
individuales de compra y venta se podrán cumplir, y la asignación resultante
será eficiente[2].
El mercado
competitivo, desde este punto de vista, es un mecanismo de asignación con
características precisas. En primer lugar, obviamente ha de ser competitivo, lo
que quiere decir que ningún agente individual tiene capacidad para influir
sobre el precio al que se intercambian los bienes, lo que normalmente se
califica como comportamiento paramétrico de los agentes respecto a los
precios. En segundo lugar, los precios deben transmitir toda la información
necesaria para que los agentes tomen sus decisiones, lo que asegura que todos
los agentes tienen la misma información (no existen asimetrías informativas que
pueden beneficiar a unos agentes respecto de otros).
Pues bien,
desde la formulación por Adam Smith, una parte sustancial de la investigación
microeconómica se ha dedicado a tratar de probar y refinar el resultado de que
un sistema de mercados competitivos logra una asignación eficiente de los
recursos. ¿Cómo?
En primer
lugar, hay que formular una teoría del comportamiento de los agentes
individuales, en nuestro caso, consumidores[3], es decir, modelar las acciones de los consumidores
de forma que sepamos cómo dependerán sus demandas de las variaciones en las
variables exógenas: precios y cantidades iniciales de los bienes de consumo que
poseen, o de la renta. En segundo lugar, habrá que agregar
las demandas de todos los consumidores para cada bien y ver cómo se fijan los
precios en cada mercado. En tercer lugar, habrá que comprobar si, a los precios
determinados por los mercados competitivos, los planes individuales de demanda
son o no realizables, y también probar que el sistema de precios finalmente
resultante presenta propiedades de eficiencia. Y la presentación estará
orientada a explicitar los instrumentos matemáticos que se utilizan para todo
ello.
3. El comportamiento de los
consumidores: teoría de la demanda individual
Para
formalizar el comportamiento del consumidor representativo, supondremos que
actúa racionalmente. Esto quiere decir, en lo esencial, que es capaz de valorar
comparativamente las posibles decisiones y que, dada la limitación que implica
disponer inicialmente de una cantidad finita de bienes de consumo y los precios
a los que puede intercambiarlos, elegirá, de entre las opciones accesibles,
aquella que más valore.
El primer paso, por lo tanto, será ver cómo ordena sus posibles
alternativas el consumidor. Puesto que el consumidor elige cantidades de los
bienes a consumir, si suponemos que existen 
bienes , se trata de discutir cómo comparará el
consumidor los distintos posibles vectores de cantidades no negativas de los
bienes de consumo ,
donde es la cantidad del bien -ésimo que contiene el vector de consumo -ésimo.
Para ello, se define una relación binaria entre dos vectores cualesquiera de consumo,
tal que significa
que el vector es al menos tan valorado como el vector por el consumidor. Los llamados axiomas de
elección del consumidor proporcionan una estructura definida a la relación
binaria .
Los de completitud (cualesquiera dos vectores posibles de consumo
son ordenables según ), reflexividad y transitividad
garantizan que constituye un orden completo débil en ;
el de monotonía (el consumidor prefiere mayores a menores cantidades de
los bienes) asegura que es monótona creciente; el de convexidad
estricta de las preferencias
indica que se prefieren “mezclas” de dos vectores de consumo a uno de ellos. Si
se añaden el de continuidad (los conjuntos y son cerrados) y el de diferenciabilidad,
podremos disponer de una función ,
llamada función de utilidad, que asigna un número real a cada
vector de consumo de forma tal que implica que es estrictamente preferido a , y indica que ambos vectores son indiferentes
para el consumidor. es, además, una función C2.
Ahora ya se está en condiciones de formular el problema del equilibrio
del consumidor representativo como un problema de maximización condicionada:
el consumidor tratará de maximizar sometida a la restricción de sus
disponibilidades, es decir:
donde es el vector fila de
precios de los bienes[4] y es el vector columna de las cantidades
inicialmente poseídas de los bienes por el consumidor. Como es obvio, el primer
miembro de la restricción de (1) es el
gasto en que incurrirá el consumidor por adquirir el vector de consumo a los precios existentes y el segundo el valor
a dichos precios de sus tenencias iniciales, es decir, su renta disponible para
el gasto ( ) a los precios dados.
Utilizando multiplicadores de
Lagrange en (1) y aplicando el teorema de la función implícita, se demuestra la
existencia de funciones de demanda de los bienes:
|
|
(2)
|
que son funciones C2, homogéneas de grado cero en [5].
4. La agregación de las funciones de demanda individuales y la definición
de equilibrio general competitivo (EGC)
Supongamos ahora una
economía de intercambio en la que existen consumidores. ¿Cuánto demandarán de cada bien
el conjunto de consumidores? Utilizando superíndices para
identificar al consumidor y subíndices para identificar a cada bien, la demanda
total de, por ejemplo, el bien será:
siendo obviamente las funciones agregadas de demanda C2 y homogéneas de grado cero en .
Ahora estamos en
disposición de definir un vector de
precios de equilibrio como aquel para el que las cantidades
demandadas de cada bien se igualan a las cantidades disponibles para el
intercambio, es decir:
donde es la función de exceso de demanda del bien ,
es el vector de cantidades inicialmente
poseídas de los bienes por el consumidor -ésimo, y (4)
indica que a los precios (no negativos) resultan simultáneamente
compatibles los programas de optimización individuales de tipo (1) de todos y
cada uno de los consumidores. En otras palabras, si es un vector de EGC, ningún consumidor tendrá
incentivos a realizar otras demandas que las .
5. El
equilibrio general competitivo: la mano invisible
¿Qué interesa
saber/demostrar del EGC? Lo primero y fundamental, si bajo las condiciones
establecidas se puede asegurar que existe
al menos un vector de precios que satisface (4). Un mecanismo de asignación que
careciera de equilibrio no pasaría de ser un divertimento abstracto sin
utilidad alguna. Pero también otro resultado de cierto interés: si el (los)
equilibrio(s) es (son) estable(s) o
no. Empecemos por el problema de la existencia.
La expresión (4) es un
sistema de ecuaciones (una
para cada bien) con incógnitas (un precio por cada
bien). Sin embargo, las ecuaciones no son linealmente
independientes. En efecto, si sumamos las restricciones de (1) para todos los
consumidores se obtiene:
donde es el vector columna de excesos de demanda,
expresión válida para cualquier vector de precios, sea o no de equilibrio, y
conocida como la Ley de Walras[8]. Su significado económico es claro: para
cualesquiera precios, la suma de los valores
de todos los excesos de demanda es nulo. Lo que significa que si para unos
precios ,
mercados están en equilibrio, el -ésimo tendrá necesariamente que estarlo. Por
lo tanto, el sistema (4) es de ecuaciones linealmente independientes con incógnitas, y tenemos un grado de libertad.
Desde el punto de
vista económico esto es un reflejo de que, dado que las funciones de demanda y
exceso de demanda son homogéneas de grado cero en precios, lo relevante son los
precios relativos ( ,
). ¿Cómo podemos eliminar el grado de
libertad? Para ciertos problemas se supone que el precio de uno de los bienes
vale la unidad, con lo que ese bien se convierte en numerario, es decir en unidad de medida de todos los restantes
precios. Pero para probar la existencia de solución de (4) es conveniente
eliminar el grado de libertad suponiendo que nos movemos en el simplex -dimensional de precios. En esencia, la
estructura de la demostración de existencia del EGC es suponer que se elige
aleatoriamente un vector de precios cualquiera, que no será de equilibrio, y se
transforma en otro en el que se aumentan (disminuyen) los precios de los bienes
con exceso de demanda positivo (negativo), y este proceso se repite hasta que
se llega a un vector de precios en que todos los excesos de demanda son nulos
y, por tanto, es de equilibrio. Esto equivale a postular una aplicación del
simplex de precios en sí mismo del tipo:
en la que es el vector de unos y un vector de variaciones de precios según la
regla comentada. El numerador de (6) es,
por tanto, el “nuevo” vector de precios, que pertenece al simplex por la
normalización que implica el denominador. Y como está definido en el simplex de precios, por el
teorema del punto fijo de Kakutani (6) tendrá al menos un punto fijo ,
que será un EGC. En consecuencia, si las
funciones de exceso de demanda son continuas en el simplex de precios,
homogéneas de grado cero en precios y se cumple la Ley de Walras, existe al
menos un EGC en una economía de intercambio[9].
Obsérvese que la
demostración de existencia del EGC no asegura que un sistema de mercados
competitivos sea capaz, por sí mismo, de alcanzar dicho equilibrio. Aquí es
donde aparece el tema de la estabilidad.
Imaginemos que los mercados “prueban” unos precios que no son de equilibrio:
sólo si éste es estable la economía generará una dinámica de precios que
conduzca al equilibrio[10].
Si el problema lo
planteamos en términos de estabilidad local,
es decir, para precios iniciales en un entorno de los de equilibrio, el
instrumental a utilizar es el de sistemas de ecuaciones diferenciales.
Formularemos una regla que describa la dinámica de los precios y que responda
al principio ya comentado de aumentar (disminuir) los precios de los bienes
cuyo exceso de demanda es positivo (negativo), lo que puede formalizarse de la
siguiente manera:
donde indica tiempo. Desarrollando por Taylor (7) en un entorno del equilibrio y eliminando
infinitésimos de segundo orden, que implica aproximar linealmente las funciones
de exceso de demanda en el entorno del equilibrio, teniendo en cuenta que y llamando a ,
se obtiene:
que es un sistema
de ecuaciones diferenciales. Aplicando un teorema bien conocido por los
lectores, para que el límite de cuando sea cero –es
decir, para que los precios converjan a sus valores de EGC–
será preciso que todas las raíces características del jacobiano del sistema (8) sean negativas en su parte real. Si, por
ejemplo, este jacobiano tiene diagonal dominante negativa (d.d.n.), la
condición se cumple.
Hasta aquí las
matemáticas, pero ¿tiene algún sentido económico que el jacobiano en (8) tenga
d.d.n.? Lo tiene, y es fácil de intuir. Los elementos de la diagonal del
jacobiano son los efectos que la variación del precio de cada bien tienen sobre
los excesos de demanda de ese mismo
bien, y los restantes elementos de cada fila son los efectos que sobre el
exceso de demanda de ese bien tienen las
variaciones de los precios de los otros
bienes. Sabemos que los elementos de la diagonal son negativos, porque la demanda de un bien es decreciente con su
propio precio y, por tanto, la regla (7) opera en la “buena” dirección para la
estabilidad. Pero la demanda de un bien puede ser creciente o decreciente
respecto a los precios de otros bienes, por lo que los restantes elementos de
cada fila pueden ser positivos y actuar en la “mala” dirección. Pues bien, la
condición de d.d.n. garantiza que el efecto “bueno” domina a la suma de los
posibles efectos “malos”, lo que garantiza la estabilidad.
Hasta aquí las
matemáticas y algo de economía, pero ¿existen condiciones con sentido económico
para que el jacobiano de (8) tenga d.d.n.? Tranquilizaré al lector diciendo que
la respuesta es afirmativa y que, fundamentalmente, existen dos tipos de
condiciones económicas que son suficientes para la d.d.n.[12].
Pero hemos hablado
de estabilidad local: ¿y si los precios iniciales están muy alejados del EGC?
Entonces no nos vale Taylor y tenemos que utilizar resultados de las funciones
de Liapunov, pero las mismas condiciones suficientes que permiten demostrar la
estabilidad local son condiciones suficientes para la global.
Aún queda una
pregunta por contestar: ¿es deseable el EGC? Como he señalado, la renta de cada
agente y, por tanto, la distribución personal de la renta en los modelos
discutidos está dada, y puede no ser conforme a los criterios de equidad que
cada uno defienda. Pero en nuestro contexto la deseabilidad del EGC tiene una
perspectiva menos ambiciosa y se refiere a la eficiencia técnica de la
asignación de bienes resultante del EGC (véanse notas 2 y 3), y esto conduce a
lo que en la literatura se denomina los dos
teoremas de la economía del bienestar clásica. El primero reza que todo
EGC es una asignación eficiente y sólo requiere aritmética para su demostración.
El segundo, algo más complejo, es que cualquier asignación eficiente puede
alcanzarse como EGC si y sólo si es posible redistribuir la renta entre los
agentes, y para su demostración hay que utilizar teoremas de hiperplanos,
separación y apoyo (Minkovski).
6. Conclusiones
El análisis de EGC
es una de las claves de bóveda de la teoría económica desarrollada desde
mediados del siglo pasado. Sin embargo, con frecuencia se escuchan voces
críticas respecto a varios puntos: lo irreal de suponer que los agentes son
racionales; el uso desmedido del instrumental matemático en el análisis de un
problema menor, ya que los mercados en el mundo real presentan numerosas
imperfecciones no competitivas; la inutilidad del análisis de EGC con fines
prácticos y, por último, su supuesta función apologética de los mercados
competitivos.
Respecto al
supuesto de racionalidad, dos comentarios. El primero, que el análisis
económico no persigue describir el
comportamiento de los agentes, sino determinar cuáles son las variables que
influyen en sus decisiones y de qué forma lo hacen. El segundo, que ciertamente
muchos consumidores no son racionales en el sentido estricto, pero la ley de
los grandes números ayuda a compensar en términos agregados las desviaciones en
distintos sentidos del comportamiento racional, y la teoría económica más
reciente, utilizando poderosos instrumentos matemáticos, ha sido capaz de
modelar muchos comportamientos irracionales encontrando nuevas explicaciones
analíticas a los mismos.
Respecto al hecho
de que en el mundo real muchos mercados no son competitivos, es claro que el EGC
es una referencia básica, un origen
de medida. Los mercados imperfectos asignan con ineficiencias, pero ¿cómo medir
la ineficiencia si se desconoce cuál es la posible asignación eficiente?
Además, de nuevo, el análisis económico ha desarrollado en su rama de economía
industrial, y utilizando complejos instrumentos matemáticos tales como la
teoría de juegos, numerosos modelos de competencia imperfecta que difícilmente
habrían visto luz sin los desarrollos analíticos previos telegrafiados en este
artículo.
Sobre el EGC y su
inutilidad para resolver problemas de política económica, señalar tan sólo que,
desde hace un par de décadas, se han desarrollado con fuerza modelos de
computación de equilibrio general con imperfecciones –calibración–
que constituyen un instrumental muy poderoso para la evaluación de los efectos
de políticas económicas alternativas.
Para terminar, la
teoría del equilibrio general y el adecuado uso de instrumentos matemáticos y
estadísticos para resolver problemas económicos, han aumentando
considerablemente los estándares de rigor de las discusiones económicas, han
mejorado nuestro conocimiento del mundo real, constituyen instrumentos muy
poderosos para aprender a plantearse problemas económicos y, además, ayudan a
pensar mejor. No parece poco.
Referencias
K.J. Arrow, G. Debreu (1954):
Existence of an equilibrium for a
competitive economy. Econometrica 22, 265-290.
G. Debreu
(1959): Theory
of value. An axiomatic analysis of economic equilibrium. New York: John
Wiley & Sons, Inc.
J. Segura
(1994): Análisis
macroeconómico. Madrid: Alianza Editorial.
A. Smith (1776): An
Inquiry into the Nature and Causes of the Wealth of Nations. Reimpresión de W.B. Todd (ed.)
(1981): The Glasgow Edition of the Works
and Correspondence of Adam Smith. Indianapolis: Liberty Classics.
A. Villar (1996): Curso
de microeconomía avanzada. Barcelona: Antoni Bosch Ed.
L. Walras (1874-7): Éléments
d'économie politique pure ou théorie de la richesse sociale. Lausanne: Rouge.
Edición definitiva (1926): Paris: F. Pichon.
[1] El
objetivo de este artículo es ejemplificar el uso de las matemáticas por parte
de los economistas. Se ha elegido un tema canónico (el equilibrio general
competitivo [EGC]) y se harán ciertas simplificaciones formales en aras de la
inteligibilidad. El lector interesado en un planteamiento formalmente más
riguroso puede consultar el trabajo seminal de Debreu (1959) o el tratamiento avanzado habitual
en la actualidad en Segura (1994)
o Villar (1996) –de
quien está tomado el ejemplo del bar–.
Cuando se utilicen vectores se supondrá que tienen las dimensiones adecuadas,
sin utilizar el símbolo de transposición.
[2] Eficiente quiere decir que, dadas las cantidades de capital y
trabajo disponibles, no se puede producir mayor cantidad de un bien sin
disminuir la cantidad producida de, al menos, otro, y que no se puede mejorar a
un consumidor sin, al menos, empeorar a otro.
[3] Para centrarnos en el caso más sencillo,
supondremos una economía de intercambio
puro en la que las cantidades totales de los bienes de consumo disponibles
están dadas (es decir, se ha realizado antes
la producción) y se han repartido aleatoriamente entre los consumidores. El
problema se limita, por tanto, a probar que la determinación de los precios de
los bienes de consumo en los mercados es eficiente, y la distribución personal
de la renta es un subproducto.
[4] Un dato para el consumidor que en competencia perfecta
actúa paramétricamente respecto a los precios de los bienes.
[5] Lo que significa, en términos económicos, que un cambio
en la misma proporción de todos los precios y la renta monetaria (como, por
ejemplo, el paso de la peseta al euro) no afecta a las cantidades de equilibrio
demandadas. Lo que se llama ausencia de
ilusión monetaria.
[6] Obsérvese que han desaparecido las rentas individuales.
Ello es así porque al ser un parámetro las dotaciones iniciales de los bienes
en manos de cada consumidor individual, también lo es su renta.
[7] Algunos valores de pueden incluso ser negativos, en cuyo caso el
bien será un bien gratuito (su precio será nulo),
pero omitimos esta posibilidad para no introducir complicaciones innecesarias.
[8] En honor de Léon Walras (1834-1910), economista
francés, uno de los tres cofundadores del enfoque neoclásico en teoría
económica y quien primero estudió con rigor analítico el problema del EGC en
Walras (1874-7).
[9] La primera demostración original de existencia de EGC
es Arrow-Debreu (1954).
[10] En lo que sigue supondremos que el EGC es único –lo
que requiere algún supuesto adicional–
para simplificar la discusión del problema de estabilidad.
[11] Se excluye porque, como es inmediato por la Ley de
Walras, si mercados tienen un equilibrio estable el
restante también lo será.
[12] Que,
por cierto, también garantizan la unicidad del EGC. Las condiciones, para el
lector más familiarizado con el tema, son: o bien que todos los bienes sean
sustitutos brutos, o que las funciones de de exceso de demanda cumplan el
axioma débil de preferencia revelada (véase Segura (1994), pp. 241-253).
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Sobre
el autor
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Julio Segura realizó su licenciatura
(1965) y doctorado (1968) en Economía en la Universidad Complutense de Madrid
(UCM). Estadístico Facultativo del Estado (1966), obtuvo la cátedra de
Fundamentos del Análisis Económico en la UCM en 1970. Ha sido Director del
Programa de Investigaciones Económicas de la Fundación de Empresa Pública
(1973-1986) y Consejero del Banco de España (1990-2006) y de la Comisión Nacional del Mercado de Valores, que en la actualidad preside. Sus áreas de interés preferente
son la economía industrial, el mercado de trabajo, y la teoría de la
regulación, donde se han concentrado la mayor parte de sus publicaciones
científicas. Premio Rey Juan Carlos de Economía (1990), es Académico de la
Real Academia de Ciencias Morales y Políticas (1991).
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