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Escrito por Abraham Arcavi
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lunes, 13 de agosto de 2007 |
Paisajes matemáticos del Japón
Recibido: viernes, 14 julio 2006; revisado: lunes, 13 agosto 2007
Paisajes matemáticos del Japón
Abraham Arcavi
Department of Science Teaching
Weizmann Institute of Science (Rehovot, Israel)
e-mail: abraham.arcavi @ weizmann.ac.il
página web: http://stwww.weizmann.ac.il/g-math/mi-anahnu/abraham_harcavi.html
Durante mi estancia de cuatro meses en
el Japón (donde me dediqué a estudiar a fondo los métodos interesantes de
educación matemática) tuve la oportunidad de observar con fruición los
hermosos paisajes geográficos, humanos y artísticos que ese país ofrece. Con la
cámara fotográfica en mano, los ojos se abren ante tanto estímulo visual. En
particular, me vino a la memoria el exquisito librito Fotografía y
Matemáticas de Aurora Bell-Lloch, Montserrat Diestro, Evaristo González, Agustín Martínez y Elsa Santaolalla, publicado con ocasión de las VII
Jornadas para el Aprendizaje y la Enseñanza de las Matemáticas (JAEM) en Madrid
en 1995. Allí, en su introducción, se dice que: “...la fotografía puede ser un
instrumento valioso para el aprendizaje de las matemáticas:
- Fomenta la capacidad de observación, pues obliga a mirar
con ojo crítico el entorno en el que nos movemos y hace reflexionar sobre
aspectos matemáticos de los objetos.
- Estimula la creatividad, muchas veces sofocada por
técnicas de trabajo rutinarias y aburridas.
- Desarrolla la intuición, al introducir escalones
intermedios en el proceso de pasar de la realidad a representaciones abstractas
de la misma.
- Descubre la conexión de las matemáticas con la realidad,
poniendo de relieve aspectos geométricos, gráficos y funcionales que la imagen
hace presentes con mucha mayor facilidad que otras técnicas.
- Desarrolla la sensibilidad ante los aspectos estéticos de
muchas manifestaciones matemáticas.
- Favorece la comunicación de experiencias y la utilización
de otro tipo de lenguajes...”
Por lo tanto, entre las decenas (¿o serán
centenas?) de fotografías tomadas, puse especial esmero en aquellas que
estimularan mis ojos matemáticos. La pequeña colección que aquí se ofrece fue
dedicada con toda gratitud a mis anfitriones y en especial al profesor Masami Isoda
de la Universidad de Tsukuba, con quien trabajé. Cada una de las fotos presenta
una idea matemática; unas simples y banales, otras algo más complicadas. Algunas de ellas son sólo para deleitar el ojo, otras pueden inspirar una buena
parte de una clase de aula, donde no vendría mal interrumpir la rutina y
dedicar algunos momentos a actividades inspiradas en la riqueza visual que nos
rodea. Los comentarios breves que acompañan cada foto, además de localizarla en
su lugar de origen, comparten ideas, invitan a “hacer” un poco de matemáticas,
y hasta nos remontan asociativamente a su historia. Obsérvese que lo visual no
está solamente relacionado con la geometría.
Es mi anhelo que disfruten estas fotos,
que las integren en sus aulas, o mejor, que salgan a “cazar” sus propias imágenes,
y las compartan con aquellos que esperan de nosotros que les hagamos gustar de
las matemáticas.
El impacto de la imagen en nuestra cultura es cada día más notable... La
televisión, el cine, la publicidad en todas sus formas... nos someten diariamente
a un continuo bombardeo de imágenes. Sin embargo la imagen, fija o en
movimiento, salvo las gráficas dibujadas en la pizarra, no es un recurso
frecuente en las clases de matemáticas...
Galería fotográfica
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Foto 1. Cuadrados.
Si pensamos en la geometría, Japón (así como
otros lugares) ofrece muchas formas y figuras -regulares, irregulares y
sorprendentes-. Comenzamos con la forma más simple y más abundante: los
rectángulos (algunos de los cuales son, en realidad, cuadrados). Vista de la
fachada de la Estación Central de Ferrocarriles de Kyoto.
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Foto 2. Paralelepípedos.
Una ampliación de la misma fachada, con
muchas formas geométricas más. ¿Puedes identificar alguna?
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Foto 3. Teselación cuadrada.
En un restaurante en Roppongi, unos cuadrados sirven como
“escaparate” no sólo de contenedores para almacenaje de granos y especias,
sino que también ofrecen una gama de colores estéticamente dispuestos.
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Foto 4. Tatami en el templo Shoren-in, Kyoto.
Tatamis -las alfombras típicas japonesas-
rectangulares conforman un hermoso mosaico sobre el suelo y al mismo tiempo
sirven como unidad de medida de área. La mayor parte de los tatamis son de
1x2 metros. ¿Cuál es el área de esta habitación?
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Foto 5. Cuadrados encajados.
La puerta del ascensor del Museo de
Fotografía de Tokio en Ebisu (un museo muy agradable) merece el título
“Cuadrados encajados” o, si lo prefieres, “La raíz cuadrada de 2 en
abundancia” (¿adivinas por qué?).
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Foto 6. Líneas
paralelas.
La naturaleza también ofrece algún placer
geométrico visual. Yo llamaría a esta vista “Paralelismo bambuístico”. O
también, “El bosque del quinto...” (me refiero al postulado).
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Foto 7. Polígonos
en la calle en la ciudad de Joetsu.
El
diseñador de esta calle de la atractiva ciudad de Joetsu decidió enmarcar la
luz con polígonos -o bien, su objetivo era “iluminar a los habitantes por
medio de la geometría”-.
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Foto 8. Un círculo.
¡Qué
círculo tan de pescado, y “oishi” también! (Oishi es la palabra
japonesa para “delicioso”). ¿Por qué te parece que los pescaditos fueron
acomodados en un círculo?
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Foto 9. Heptágono.
Un
dispositivo de lotería para clientes del Centro de Artesanía de Kyoto. ¡La
primera vez en mi vida que vi un heptágono fuera de un libro de geometría, y
resulta que hasta es útil! (Luego descubrí que hay varias monedas
heptagonales). Si quieres ver cosas interesantes sobre la matemática del heptágono
visita la página web de Mathworld.
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Foto 10. Abanico.
Los abanicos japoneses son pintorescos y
atractivos, y ¡tan útiles en julio y agosto...! En una fábrica de abanicos en
Kyoto puedes ver cómo se hacen con cuidado, paciencia y devoción. ¿Geometría?
¿Cómo calcularías el área del papel de este abanico?
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Foto 11. Agarraderos.
Viajar en el metro en Tokio nunca es
aburrido, solamente usando los ojos y la imaginación (y tu cámara) tu
alrededor te garantiza una vista interesante. Fíjate en la alineación de los
agarraderos. Dos asociaciones matemáticas: fractales y triángulos de
Reuleaux.
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Foto 12. Caras de un cubo.
Hasta el momento las imágenes han sido sobre
todo bidimensionales; veamos ahora algo de geometría espacial en paisajes
japoneses. Cubos en Odaiba. ¿Puedes imaginar cómo se vería un corte
transversal que separase los cubos en trozos de colores diferentes?
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Foto 13. Más cubos.
Si aún estás pensando en la pregunta
anterior, aquí tienes otra perspectiva, a modo de sugerencia visual.
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Foto 14. Parque de la Paz.
Me sorprendió la cantidad de formas cónicas
que hay en Japón. Esta tan colorida está en el Parque Memorial de Hiroshima,
una visita obligada para los que quieren aprender de la Historia (¡y también para quienes se niegan a hacerlo...!)
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Foto 15. Escultura cónica.
El jardín del Museo de Arte Moderno en
Kamakura ofrece esculturas fascinantes, entre ellas este “Divertimento
cónico” (mi título). En mi imaginación, veo al artista vengarse de Euclides.
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Foto 16. Cono truncado.
En el Templo Ginkaku-ji de Kyoto (Pabellón
de Plata) hay maravillosas esculturas de arena, entre ellas esta KOGETSUDAI,
para ver la luna. Perfectamente trabajada. ¿Te gustaría estimar su volumen?
¿Y/o su peso?
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Foto 17. Sección cónica.
¡Un cono cortado, y la sección cónica
resultante hecha en cristal delante de tus propios ojos! Y al fondo, otro agradable
sólido. Estación Central de Ferrocarriles de Sapporo.
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Foto 18. Tejado.
Un tejado muy interesante en el edificio de
Asahi, próximo a la Llama de Oro, en Asakusa, Tokio.
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Foto 19. Pirámides en Odaiba.
Egipto es famoso por sus pirámides, y Odaiba
(Tokio) podría ser igualmente famoso por invertirlas. Arquitectura moderna en
todo su esplendor y creatividad.
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Foto 20. Escultura en Hakone.
Agradable composición de sólidos en una
escultura del Museo de Arte al Aire Libre en Hakone. Una soleada simbiosis
entre geometría y naturaleza.
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Foto 21. Espejo.
Lidia y Abraham Arcavi fotografiando...
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Foto 22. Espejo esférico.
...una perfecta esfera pulida, que puede ser
un espejo esférico. Una escultura colgada muy alto entre los árboles, en el
Museo de Arte al Aire Libre de Hakone.
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Foto 23. Esferas decorativas.
Esferas de todos los colores en una
maravillosa tienda (no esférica) de regalos, en el Sendero del Filósofo de
Kyoto.
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Foto 24. Tsutsumu.
La fábrica Tsutsumu en Shibuya (Tokio) es el
epítome del arte y la artesanía de envolver, tan difundida en Japón. No sólo
son interesantes las formas de las cajas y la vistosidad de los papeles, sino
el modo de envolver (en diagonal), típicamente japonés. Una nueva excusa para
hacer algo de geometría.
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Foto 25. Hélice.
Un móvil helicoidal en el Museo de
Fotografía de Tokio en Ebisu. Moviendo ligeramente la barra inferior de
distintas formas, el movimiento inducido en las otras barras las hace trazar
hélices diferentes. Jugué durante mucho rato con él, y finalmente decidí
comprarlo. Pero el precio me disuadió... La cámara me permitió llevarma a casa,
al menos, una imagen.
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Foto 26. Midiendo galletas.
La geometría es lo que más abunda en nuestro
entorno, pero probablemente no sean las únicas matemáticas que hay a nuestro
alrededor. Este pastelero profesional mide la masa con cuidado para hacer todas las galletas exactamente del mismo tamaño.
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Foto 27. Ascensor.
Por todas partes, los ascensores llevan
carteles similares a estos. Lo que mi ojo captó es el peso promedio que se
presupone en este país para una persona. Recoge tu propia muestra de carteles
de este tipo que aparecen en los ascensores, y calcula el peso promedio
asumido.
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Foto 28. Zapatos.
En la entrada del maravilloso Ryokan en
Takaragawa Onsen, un patrón que ilustra bien el magnífico cuidado de los
japoneses para con el orden, la estética y la limpieza.
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Foto 29. Cenotafio catenario.
El Cenotafio (con la cúpula de la bomba
atómica al fondo) en Hiroshima. Con un poco de imaginación, hasta podemos ver
el cálculo infinitesimal alrededor de nosotros. Los bordes de la sección
transversal pueden parecernos parabólicos, pero, de hecho, es probable que se
aproximen a una catenaria (la forma de una cadena que cuelga de sus dos
extremos) invertida. La catenaria y la parábola se asemejan, pero son
descritas por funciones muy diferentes. Infórmate preguntando a tu matemático
más cercano (o en la web).
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Foto 30. Los óvalos de Cassini.
El suelo de la estación de metro Nippori
muestra esta forma interesante, probablemente trazada con partes de una
circunferencia, que recuerda a los óvalos de Cassini (definidos como el lugar
geométrico de un punto para el cual el producto de sus distancias a dos focos
fijos es constante). La ecuación de estas formas es interesante, y si uno
cambia sus parámetros se pueden obtener, como casos particulares, la
lemniscata o dos óvalos separados. El nombre “Cassini” honra a un astrónomo
italiano.
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Foto 31. Casilleros.
Este sistema de almacenaje en una fábrica de
galletas en Kyoto me recordó el Principio del Casillero (o Principio del
Palomar)...
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Foto 32. Agnesi.
La curva de las bombillas me recuerda a la
Bruja de Agnesi; mira, por ejemplo, aquí
y aquí.
Esta página web suplementaria muestra la imagen de Agnesi y la
portada de su libro.
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Foto 33. ¿Caminar o correr?
Cartel encontrado en la Isla Miyajima.
Piensa en tu propio andar y en la velocidad a la que corres. ¿Los datos son
aplicables a tu paso?
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Foto 34. Daibutsu.
El Daibutsu (Gran Buda) de Kamakura.
Considerando la altura de la gente, ¿puedes estimar la altura del Daibutsu?
Compara tu estimación con su verdadera altura...
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Foto 35. Funciones.
Muchos autobuses en Japón determinan la
tarifa a pagar por un trayecto mediante esta tabla electrónica, que muestra
el precio en función de la distancia recorrida (el número superior es fijo y
aparece en el ticket que recibes cuando montas; el número que cambia es el
precio, que varía según la longitud del trayecto). Por ejemplo, en el caso de
esta foto, si tienes un ticket con el número 25 y quieres bajarte del autobús
en el momento en que fue tomada, tienes que pagar 520 yenes. Si esperas para
bajarte, la tabla electrónica cambiará según la distancia recorrida y
probablemente pagarás más. Un maravilloso ejemplo para ilustrar de forma
dinámica el concepto de función matemática. A medida que el viaje continúa se
obtienen nuevas funciones, o sea que de hecho tenemos también un ejemplo de
una familia de funciones.
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Sobre el autor
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Abraham Arcavi nació en Argentina (1951), donde se graduó como licenciado en Matemática Aplicada. Inmigró a Israel (1978), país en el que completó estudios de maestría (1981) y doctorado (1985) en Educación Matemática en el Instituto Científico Weizmann. Trabajó como
post-doctorante (1986-1988) y como investigador visitante (1991-1992) en la
Universidad de California, Berkeley. Es miembro del plantel científico del
Instituto Weizmann, donde dirigió el Departamento de Enseñanza de las
Ciencias (2001-2005). Es miembro del consejo editorial de publicaciones
internacionales, ha publicado más de 50 artículos y capítulos de libro y ha escrito
numerosos libros de texto. Ha conducido decenas de cursos para docentes y
para estudiantes de maestría y doctorado. Está casado y tiene dos hijos.
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Los pies de foto han sido traducidos del inglés por Inés M. Gómez Chacón.
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