Recibido: jueves, 26 julio 2007
Paul Halmos (1916-2006)
Jesús de la Cal
Departamento de Matemática
Aplicada y Estadística e Investigación Operativa
Universidad del País Vasco
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página web: http://www.ehu.es/mae/html/prof/Jesus.html
El pasado
2 de octubre de 2006 falleció en Los Gatos, California, el matemático americano
de origen húngaro Paul Halmos.
Educación
Nacido en
Budapest, llegó a Chicago con trece años. A los quince terminó la enseñanza
secundaria e ingresó en la Universidad de Illinois. Como él mismo ha contado en
diversas ocasiones, la razón de tan notable hecho no hay que buscarla en sus
particulares dotes, sino en una confusión de la administración educativa
americana. A su llegada, Halmos había comunicado que en Budapest cursaba el
tercer año de secundaria y los educadores americanos le matricularon en el
mismo “nivel”; lo que pasó desapercibido es que el sistema húngaro de la época
constaba de cuatro años de enseñanza elemental y ocho de secundaria, mientras
que, en el sistema americano, había ocho años de enseñanza elemental y cuatro
de secundaria.
En 1935 se
graduó en la Universidad de Illinois y emprendió estudios de graduado en
filosofía (major) y matemáticas (minor). Unos exámenes poco brillantes en
filosofía, para el grado de master, le inclinaron definitivamente hacia las
matemáticas, aunque reconocía que su formación era poco sólida y se sentía
desconcertado por el hecho de que, en los cursos a los que asistía, “no
entendía nada” y le parecía que “se estaba cortando un pelo en cuatro”. Todo
cambió una tarde. Mientras charlaba ante un encerado con su amigo Warren
Ambrose le sobrevino una especie de iluminación. De pronto “entendí lo que eran
los límites, los epsilons y todo eso”, y los textos que hasta entonces le
resultaban incomprensibles se le volvieron absolutamente claros. Ese día se
convirtió en matemático.
Además de
Ambrose, hay otras dos personalidades que influyeron decisivamente en su visión
y comprensión de las matemáticas: Joe Doob y John von Neumann.
Doob, apenas
seis años mayor que Halmos, se había incorporado como joven profesor a la
Universidad de Illinois en 1935. Un día, mientras comían juntos en un
restaurante, Halmos escuchó a Doob hablar de matemáticas: “Mis ojos se
abrieron. Me sentía inspirado. [Doob] me mostraba un tipo de matemáticas, una
manera de hablar de matemáticas, una manera de pensar en matemáticas que yo no
había visto nunca antes”. Sin perder un minuto Halmos hizo las gestiones
oportunas para que Doob fuera nombrado supervisor de su tesis doctoral. La
tesis con la que alcanzó en 1938 su PhD se tituló Invariants of Certain Stochastic Transformation: The Mathematical
Theory of Gambling Systems.
Unos meses
después de obtener el PhD se trasladó, siguiendo los pasos de Ambrose, al
Institute for Advanced Study de Princeton (IAS). Allí fue donde conoció a von
Neumann, de quien se convirtió en asistente, lo que conllevaba redactar las
notas de las lecciones que este impartía. Las grandes cualidades intelectuales
de tan excepcional figura científica (profundidad, intuición, inspiración,
etc.) produjeron en Halmos una impresión profunda y duradera. Halmos solía
enfatizar la “rapidez”: “Johnny no necesitaba molestarse en recordar cosas. Las
calculaba. Si le hacías una pregunta de la que no conocía la respuesta, obtenía
ésta tras pensar no más de tres segundos”. En 1973 publicó en el American Mathematical Monthly el
artículo biográfico The legend of John
von Neumann, en el que se refleja toda su admiración por el personaje.
Carrera
En 1942,
finalizada su estancia en el IAS, volvió a Illinois donde ejerció como profesor
durante un año, empezando así una carrera académica que le llevaría como profesor
titular a muchas universidades: Syracusa, Chicago, Michigan (Ann Arbor), Hawai,
California (Santa Bárbara), Indiana y Santa Clara, donde se retiró en 1995. Paralelamente
fue profesor visitante en las universidades de Harvard, Tulane, Montevideo,
Miami, California (Berkeley), Washington (Seattle), Edimburgo, Chiao Tung
(Taiwan) y Western Australia.
Durante
más de medio siglo las matemáticas se convirtieron, como él mismo ha dicho más
de una vez, en el centro de su vida. Esta pasión le impulsó a desempeñar con
destacable profesionalidad y brillantez las múltiples actividades que
configuran un oficio, el de matemático, que no tiene un contenido definido:
investigar, escribir, evaluar, dar conferencias, enseñar, tratar con
estudiantes y colegas, editar, etc. Su trabajo le granjeó influencia y público
reconocimiento en la comunidad matemática, además de premios y distinciones de
diversas instituciones, como el MAA Chauvenet Prize y el AMS Steele Prize.
Escritos, lecciones, conferencias
Halmos
escribió más de un centenar de artículos de investigación en campos como teoría
de la medida, probabilidad, teoría ergódica, grupos topológicos, álgebra de
Boole, lógica algebraica, y teoría de operadores en espacios de Hilbert. A
estos hay que añadir una docena de libros, entre los que se encuentran tratados
sistemáticos, como Finite Dimensional
Vector Spaces y Measure Theory, y
obras dirigidas a un público más amplio, así como otros escritos de contenido y
finalidad muy diversos pero siempre relacionados con el mundo de las
matemáticas, entre los que cabe destacar los titulados Mathematics as a creative art, How
to write mathematics, How to talk
mathematics, los artículos biográficos dedicados a von Neumann y a Bourbaki
y el artículo de título provocativo y polémico Applied mathematics is bad mathematics.
Gian-Carlo
Rota ha dejado escrito que a Halmos se le ha considerado el mejor expositor de matemáticas
de su tiempo. Una justa fama que empezó a labrarse desde la aparición de su
primer libro (que es también el primero de los dos arriba citados) escrito
durante su estancia en el IAS e inspirado por von Neumann.
En todos
los escritos de Halmos el lector percibe una extraordinaria voluntad de comunicar y clarificar cosas. Los
principales ingredientes de su eficacia comunicativa son la organización
(arquitectura y estructura del trabajo) y, por supuesto, su exquisito dominio
de la lengua inglesa, muy superior al que tenía de su lengua materna (desde el
mismo momento de su llegada a los EEUU comprendió la importancia de dominar el
inglés y actuó en consecuencia; cuando en el IAS von Neumann -también
originario de Hungría- le ofreció la posibilidad de comunicarse en húngaro
Halmos la rechazó y se entendieron siempre en inglés; por lo demás, a Halmos le
gustaba aprender lenguas y llegó a tener un buen conocimiento del español, el
alemán y el ruso).

“Escribir
[bien], clarificar cosas, es una tarea dura y difícil para mí” -comentó
en una ocasión- “pero me divierte intentarlo, y disfruto aún más en las raras
ocasiones en las que lo consigo”. Y en otro lugar afirmó lo que parece todo un
principio de actuación: “No puedes ser perfecto, pero si no lo intentas no
serás suficientemente bueno”.

Por lo que
sabemos, Halmos puso también lo mejor de sí mismo en su trabajo como editor,
conferenciante y profesor. Preparaba sus conferencias con gran minuciosidad, a
menudo con la ayuda de un dictáfono, y sólo se daba por satisfecho después de
múltiples ensayos, en los que corregía los detalles que necesitaban ser pulidos
y conseguía un control absoluto sobre el tiempo de la cosa total y el de cada
una de sus partes. Por lo que se refiere a las clases universitarias, buscó
infatigablemente la manera de hacerlas más eficaces, ensayando diversos métodos
docentes (entre ellos el conocido como método de Moore) y reflexionando
siempre, con realismo, perspicacia y sentido crítico sobre sus ventajas,
inconvenientes y resultados.
A maverick mathologist
Halmos acuñó los
neologismos mathologist y mathophysicist para designar dos tipos
opuestos (y extremos) de matemáticos. La distinción se corresponde
aproximadamente con la que se hace entre matemáticas “puras” y matemáticas “aplicadas”.
Dicho brevemente, un mathologist es
aquel para quien las matemáticas se justifican por sí mismas, mientras que para
un mathophysicist las matemáticas se
justifican por sus aplicaciones.
Halmos fue
sin duda un mathologist radical que
expresó siempre sus puntos de vista sobre las matemáticas y su mundo con gran
rotundidad e independencia de criterio. Cabe añadir que con tanta mayor
rotundidad e independencia de criterio cuanto más a contracorriente de la
posición mayoritaria. Muchas de esas opiniones están recogidas en una célebre
entrevista que le hizo D.J. Albers (y que apareció en el Two-Year College Mathematics Journal con el mismo título que la
presente sección de este obituario). Mencionaremos aquí solo algunas de las más
significativas o polémicas.
A la
pregunta de qué eran para él las matematicas, respondía: “Son seguridad.
Certidumbre. Verdad. Belleza. Intuición. Estructura. Arquitectura. Veo las
matemáticas, la parte del conocimiento humano que yo llamo matemáticas, como
una sola cosa, una cosa grande y gloriosa. Se trate de topología diferencial, o
análisis funcional, o álgebra homológica, todo es una cosa. Todas [esas partes]
tienen que ver las unas con las otras [...] Están íntimamente conectadas, y todas
ellas son facetas de la misma cosa. Esa interconexión, esa arquitectura, es
verdad segura y es belleza. Eso es lo que las matemáticas son para mí.”
Para
Halmos, las matemáticas puras y las aplicadas son dos asuntos muy distintos ya
que difieren en lenguaje, actitud y finalidad. Sólo las primeras son “matemáticas”
en el sentido propio y auténtico de la palabra. Las matemáticas aplicadas son
buenas, e incluso imprescindibles, en el sentido de que “sirven a la humanidad.
Resuelven problemas relativos a conducciones de agua, vuelos de aviones, bombas
atómicas, frigoríficos, etc. pero demasiado a menudo se trata de matemáticas
malas, feas, desaliñadas, falsas, indigestas, desorganizadas y sin arquitectura”.
En definitiva, son malas matemáticas en el mismo sentido en que los textos de
las sentencias judiciales son mala literatura.
Rechazaba
con cierto horror la pretensión de algunos de considerarle un genuino exponente
del movimiento que se llamó Matemática Moderna (New Math). Muy al
contrario, sobre ese asunto fue, en sus propias palabras, un reaccionario, y
sostuvo siempre con proverbial contundencia que la enseñanza tradicional basada
en el razonamiento, la de la geometría a la Euclides, en la que él mismo había
sido entrenado, era maravillosa y debía ser preservada.
Veía con
desconfianza y disgusto la financiación de las matemáticas por parte de las
administraciones públicas: “No creo que sea vital e importante explicar a los
miembros del Congreso y a los administradores de la National Science Foundation
(NSF) lo que son las matemáticas, cuán importantes son y cuánto dinero hay que
darles. Creo que se nos ha dado demasiado dinero. No creo que las matemáticas
necesiten ser mantenidas. Pienso que la frase es casi ofensiva. Las matemáticas
se las apañan bien solas, gracias, sin dinero, y vuelvo con nostalgia la mirada
hacia los buenos viejos tiempos, hace tres o cuatrocientos años, cuando sólo
hacían matemáticas aquellos que querían hacerlas a costa de su propio tiempo.”
En
particular, pensaba que la promoción de las matemáticas que se hizo desde las
instancias gubernamentales americanas, durante la Guerra Fría, había
distorsionado la naturaleza de las cosas: “En los cincuenta y sesenta, un
montón de gente vino a las matemáticas por razones equivocadas, a saber, que
eran glamorosas, socialmente respetadas y estaban bien pagadas. Los rusos
lanzaron el Sputnik, el país se volvió histérico, y entonces la NSF nos vino
con políticas profesionales a nivel nacional. Se intentó de todo; nada era
demasiado. Tuvimos que sobornar a la gente para que acudiera a clases de
matemáticas a fin de hacerlas parecer respetables, glamorosas y bien pagadas.
Eso hicimos. Uno de los caminos que seguimos fue, por ejemplo, utilizar un subterfugio
completamente deshonesto: la actitud de misión hacia las matemáticas. La cosa
consistía en que yo propondría un determinado tema de investigación, y entonces
si se juzgaba que era un buen tema de investigación a realizar, yo recibiría
algún dinero. Eso era tan deshonesto que me pone enfermo. ¡Nada de eso era verdad!
Se nos pagaba por hacer investigación porque el país quería gastar dinero
entrenando matemáticos para ganar la batalla a los rusos [...] Si la NSF no
hubiera existido nunca, si el gobierno no hubiera financiado nunca las
matemáticas americanas, tendríamos ahora la mitad de los matemáticos que
tenemos, y no veo nada malo en eso.”
También es
muy conocida su posición acerca de los ordenadores. “Los ordenadores” -decía- “son
importantes, pero no para las matemáticas”. El argumento de que tales
instrumentos pueden aumentar la eficiencia no le impresionaba. “Las matemáticas
no tienen prisa. La eficiencia carece de sentido. Comprender es lo que cuenta”.
Por esa razón no podía incluir el trabajo de Appel y Haken sobre el teorema de
los cuatro colores dentro de la “grande, gloriosa estructura arquitectónica de
las matemáticas”.
Quiero ser matemático
En 1985, Springer publicó su interesante y entretenido libro de memorias
titulado I Want to Be a Mathematician. An
Automathography. El libro está dedicado “A Ambrose, Doob y von Neumann,
quienes, sin saberlo, hicieron de mí lo que hoy soy”. En contraste con lo que
suele ser habitual en los libros de memorias, este no es un libro
autocomplaciente. De hecho, como ha subrayado Gian-Carlo Rota, Halmos
sobreestima sus limitaciones y hace un balance sumamente modesto de sus propias
contribuciones a las matemáticas. Y es que el propósito del libro es otro. A
través de sus vicisitudes personales con departamentos, colegas, estudiantes,
editores, etc. contemplamos un panorama completo de un periodo que seguramente se verá algún día como una de las edades de oro de las matemáticas.
Pero, además, en cada una de las etapas, Halmos se detiene para ofrecer al
joven que se inicia reflexiones cargadas de experiencia y buen sentido sobre
los distintos quehaceres de un matemático. El capítulo final es una Coda que
lleva un título bien significativo: How
to be a mathematician. ¿Qué hace falta para ser matemático? Halmos cree haber
llegado a conocer la respuesta: “Nacer con las capacidades necesarias, buscar
continuamente la perfección, amar las matemáticas más que ninguna otra cosa, trabajar
duro y sin descanso, y no darse nunca por vencido”.
El libro
se cierra con las siguientes afirmaciones: “Yo quería ser matemático. Todavía quiero
serlo”.

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Sobre el autor
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Jesús de
la Cal es Catedrático de Estadística e Investigación
Operativa de la Universidad del País Vasco, donde en la actualidad enseña
combinatoria y teoría de la probabilidad. Es también autor de una cincuentena
de artículos sobre probabilidades y sus conexiones con otros campos de las
matemáticas, como la teoría de números, la aproximación de funciones mediante
operadores de tipo Bernstein, las desigualdades analíticas y la combinatoria.
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