Recibido: jueves, 17 agosto 2006
La
interpretación económica de los multiplicadores de Lagrange
Juan Enrique Martínez Legaz
Departament d'Economia i d'Història Econòmica
Universitat Autònoma de Barcelona
e-mail:
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página web: http://selene.uab.es/_cs_u_fonaments/fitxes/mlegaz.htm
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Introducción
El teorema de los multiplicadores
de Lagrange es el instrumento teórico más clásico, y el primero desde el punto
de vista histórico, para resolver problemas de optimización con restricciones.
Su creador, Joseph-Louis Lagrange (Turín, 1736 – París, 1813), utilizó por primera vez la
técnica de los multiplicadores para resolver problemas del cálculo de
variaciones en su célebre tratado Méchanique Analitique [5], en el cual dotó a la Mecánica de un formalismo
analítico adecuado, y posteriormente lo expuso en su no menos célebre obra
sobre cálculo diferencial [6].
El teorema en cuestión, bien conocido, trata de la maximización (o
minimización) de una función de varias variables, 
,
bajo restricciones de igualdad
Suponiendo que tanto la función objetivo como
las restricciones son continuamente diferenciables en un óptimo local del problema y que la matriz jacobiana tiene rango ,
el teorema establece la existencia de ,
llamados multiplicadores de Lagrange, tales que
siendo la denominada función lagrangiana,
definida por
La demostración más habitual de
este resultado se basa en el teorema de la función implícita.
Obsérvese que (1) puede escribirse, equivalentemente,
el símbolo denota aquí gradiente.
El uso típico que se hace del
teorema de los multiplicadores de Lagrange en los cursos de Análisis Matemático
para la resolución de problemas de optimización con restricciones de igualdad
consiste en plantear el sistema formado por las ecuaciones (1) y las restricciones en las incógnitas para buscar candidatos a óptimo local. El papel que juegan los
multiplicadores de Lagrange en este planteamiento se reduce al de meras
variables auxiliares, carentes de todo interés intrínseco salvo el de hacer
posible el cálculo de potenciales óptimos locales. Sin embargo, los
multiplicadores de Lagrange poseen un importante significado matemático, que
resulta especialmente relevante en problemas de tipo económico. El principal
objetivo de este artículo es precisamente poner de manifiesto ese significado.
Una “pseudodemostración” del teorema de los multiplicadores de
Lagrange
Empezaremos presentando una “pseudodemostración”
del teorema de los multiplicadores de Lagrange, que, además de ser muy simple,
proporciona directamente la interpretación de los multiplicadores.
Consideraremos el problema de maximización y, asociado a él, la función denominada función valor o función
valor óptimo, definida por
Se trata de una función a valores
en la recta real extendida, pues puede tomar los valores (cuando la función objetivo no está acotada superiormente sobre el
conjunto definido por las restricciones) y (si ese conjunto de soluciones admisibles es
vacío). Obsérvese que nuestro problema de maximización (que supondremos global,
para simplificar la exposición) equivale a encontrar un punto tal que
Consideremos la función auxiliar definida por
Es fácil ver que para todo y que si es un máximo global de nuestro problema. Por
tanto, es también un máximo global de ;
en consecuencia, si suponemos no sólo que las funciones son continuamente diferenciables en sino también que lo es en (es precisamente este supuesto lo que confiere
a esta argumentación el carácter de pseudodemostración en lugar de demostración
rigurosa), aplicando la condición necesaria de primer orden para extremos
locales obtenemos que . Tomando gradientes en (4) se llega, pues, a la conclusión de
que
Sólo falta observar que estas
condiciones son idénticas a (3) si se
toma
De esta manera no sólo hemos
“demostrado” la existencia de los multiplicadores de Lagrange, sino que también
hemos visto su auténtico significado: son las derivadas parciales de la función
valor con respecto de los segundos miembros de las restricciones, es decir,
miden la tasa de variación del valor óptimo del problema en relación a pequeños
cambios en los segundos miembros. Aunque, por simplicidad, nuestra
pseudodemostración se ha referido al problema de optimización global, una
interpretación análoga de los multiplicadores de Lagrange es asimismo válida en
el caso de extremos locales, e incluso en el caso más general de puntos que
satisfacen las condiciones de Lagrange aun sin ser máximos ni mínimos.
Como ya se ha señalado, el punto
débil de la pseudodemostración anterior radica en el supuesto de
diferenciabilidad de la función valor ,
ya que esta función no es necesariamente diferenciable aunque lo sean las
funciones que intervienen en su definición. Esta
situación es típica en Optimización, donde frecuentemente se obtienen funciones
no diferenciables construidas a partir de otras que sí que lo son. Ello ha
llevado en las últimas décadas al desarrollo del llamado Análisis No Diferenciable (“Nonsmooth
Analysis”), que tiene su punto de partida en el trabajo de Frank H. Clarke
[1] en que se introduce la noción de
gradiente generalizado para funciones localmente lipschitzianas. Esta noción
está inspirada en el Análisis Convexo [9]
y diseñada para ser aplicada en problemas de optimización, como lo prueba el
hecho de que el propio autor la utilizó poco después [2] para obtener generalizaciones del teorema de los
multiplicadores de Lagrange para problemas con funciones localmente
lipschitzianas no necesariamente convexas ni diferenciables. El lector
interesado en el Análisis No Diferenciable y sus aplicaciones a Optimización y
a Teoría de Control puede consultar el clásico libro [3] o el más reciente [4].
Interpretación
económica
Volviendo
a la interpretación de los multiplicadores de Lagrange obtenida en (5),
vamos a examinarla en el caso de varios problemas clásicos de la Teoría
Económica.
El primer problema que
consideraremos es el de planificación de actividades a partir de unos
recursos disponibles y una cierta tecnología. Supongamos que se trata de
determinar las cantidades de ciertos outputs,
que se producen a partir de inputs
de los que se disponen cantidades ,
de forma que se maximice el beneficio (medido en unidades monetarias). La tecnología
que permite la transformación de inputs
en outputs viene dada por las
funciones :
la función indica la cantidad del input
que se requiere para producir las cantidades de outputs.
Así pues, las restricciones expresan la condición de que las cantidades
consumidas de los inputs han de
coincidir con las cantidades disponibles. Según (5), el multiplicador coincide con la derivada del beneficio máximo respecto
de la cantidad disponible del recurso .
En otras palabras, ,
que se mide en unidades
monetarias por unidad de recurso nos permite valorar este recurso en la
situación considerada, ya que si la cantidad del recurso experimentara un pequeño incremento (positivo o negativo), el correspondiente
beneficio máximo se incrementaría aproximadamente en .
Este precio atribuible al recurso ,
que no tiene por qué
guardar ninguna relación con el precio de mercado, es lo que se conoce en
Economía con el nombre de precio sombra.
Otro
ejemplo clásico en Microeconomía (véase, por ejemplo, [7]) es el problema de maximización de
la utilidad del consumidor. Se trata del problema que se plantea un consumidor
de cómo gastar su renta disponible en la adquisición de bienes. En el mercado hay
bienes, a precios ,
y el consumidor desea determinar la mejor cesta ( denota la cantidad del bien que forma parte de la cesta) posible según sus
preferencias, teniendo en cuenta la restricción presupuestaria Suponiendo que las preferencias del consumidor
están representadas por una función de utilidad ,
es decir, una función tal que la desigualdad indica que el consumidor aprecia la cesta al menos tanto como la cesta , el problema a resolver es
el de maximizar bajo la citada restricción. En el caso de este
problema, la función valor óptimo asigna a cada valor posible de la renta la utilidad máxima alcanzable y, según la interpretación que
hemos visto en el caso general, el multiplicador de Lagrange asociado a la restricción presupuestaria
coincide con ,
lo que en el lenguaje económico se expresa diciendo que es la utilidad marginal de la renta.
Análogamente a lo que se ha visto en el caso del problema de planificación de
actividades, esto significa que un pequeño incremento en la renta disponible remunera al consumidor
con una utilidad adicional aproximadamente igual a .
Consideremos ahora otro problema
económico típico, el de minimización de costes. En este caso se trata de
determinar las cantidades de inputs necesarias para obtener una cantidad prefijada
de un output
al mínimo coste; la tecnología viene dada por una función de producción que asigna a cada vector de inputs la cantidad de output
que se puede producir con ellos, y se suponen dados los costes unitarios de los inputs.
El problema a resolver es, pues, el de minimizar bajo la restricción La función valor asigna ahora a cada cantidad posible de output
el mínimo coste al que puede producirse, y el multiplicador de
Lagrange de la restricción satisface ,
así que es el coste marginal del output,
en el sentido de que un pequeño incremento en la cantidad requerida de output comporta un coste adicional
aproximadamente igual a .
Programación
convexa
Como ya hemos dicho, el Análisis No Diferenciable, que
surgió en la década de los setenta para cubrir las necesidades de la Teoría de
Optimización y de la Teoría de Control, tuvo como fuente de inspiración el
Análisis Convexo (no obstante, existen nociones de derivadas generalizadas muy
anteriores al Análisis Convexo, algunas tan antiguas como las derivadas de Dini, que datan de finales
del siglo XIX). El Análisis Convexo [9], como su nombre sugiere, trata del
análisis de funciones convexas (no necesariamente diferenciables), y se
fundamenta en las propiedades geométricas de los conjuntos convexos. Una
función definida sobre un subconjunto convexo de (o, más generalmente, de un espacio vectorial real) se
dice que es convexa si su epigrafo,
es un conjunto convexo o, equivalentemente, si
satisface
Es interesante observar que esta definición, aun
siendo puramente algebraica (sólo utiliza la estructura lineal de ), tiene importantes consecuencias topológicas
cuando en se considera la métrica euclídea: toda función convexa
es continua (incluso localmente lipschitziana) en el interior de su dominio.
Por otra parte, la derivada direccional (unilateral)
existe (y es finita) si la dirección es tal que para suficientemente pequeño; para probar esto
basta observar que el cociente
es una función creciente de .
Otra propiedad fundamental, de demostración también inmediata, es que es una función convexa (y positivamente
homogénea) de .
El punto de partida del Análisis Convexo se encuentra en la siguiente
caracterización de la convexidad para funciones diferenciables: una función
diferenciable definida sobre un convexo abierto es convexa si, y sólo si,
en esta desigualdad, denota producto escalar. En el caso no
necesariamente diferenciable, como consecuencia del teorema del hiperplano
soporte puede probarse que, suponiendo de nuevo que el dominio de es convexo y abierto, es convexa si, y sólo si, para cada existe un vector tal que
como se ve comparando (7) con (6), un tal
vector juega en el caso no diferenciable el papel que desempeña el gradiente en
el caso diferenciable, y por esta razón se dice que es un subgradiente
de en . El conjunto de
todos los subgradientes de en ,
que es convexo y cerrado, recibe el nombre de subdiferencial de la función en el punto, y se denota Por ejemplo, en el caso de la función valor
absoluto es fácil ver que el subdiferencial en el origen es el intervalo
cerrado Puede demostrarse que es diferenciable en si, y sólo si, se reduce a un solo elemento, en cuyo caso se
tiene Esta igualdad es consecuencia de un resultado
más general, que expresa el subdiferencial a partir de las derivadas
direccionales:
De esta igualdad se desprende que el subdiferencial,
cuya definición es de naturaleza global (calcular el subdiferencial de en requiere, en principio, conocer los valores de la
función en todo su dominio) es, de hecho, una noción local (en el caso de
funciones convexas), ya que las derivadas direccionales pueden calcularse conociendo únicamente los
valores de en un entorno de
En realidad, el subdiferencial y las derivadas direccionales proporcionan la misma información acerca de la
función ,
puesto que la igualdad (8) admite la
siguiente relación inversa:
(esta igualdad expresa que la derivada direccional de en como función de la dirección, es la función
soporte del subdiferencial de en ese punto). La importancia de la noción de
subdiferencial radica, además de en estas propiedades, en que existe un cálculo
subdiferencial prácticamente tan rico como el cálculo diferencial clásico.
Consideremos ahora el problema de maximizar una
función bajo restricciones de desigualdad en lugar de las restricciones de igualdad que se han
considerado en las secciones anteriores.
Frecuentemente en las aplicaciones económicas tiene
más sentido considerar restricciones de desigualdad; piénsese, por ejemplo, en
el problema de planificación de actividades, en el que no hay por qué exigir
que se agote la totalidad de los recursos disponibles. El problema de
maximización se dice que es convexo
si la función objetivo es cóncava (es decir, si es convexa) y las funciones restricción son convexas. Suponiendo que es un punto interior de la intersección de los
dominios de las funciones y que las restricciones cumplen cierta condición de
regularidad (por ejemplo, la condición de Slater de que exista un punto en que
todas las restricciones se cumplan con desigualdad estricta), el teorema de
Kuhn-Tucker establece la existencia de multiplicadores tales que
(en esta expresión la multiplicación de escalares por
subconjuntos de es la usual, y la suma de conjuntos es asimismo la de
Minkowski); además todos los multiplicadores son no-negativos y satisfacen las condiciones de
complementariedad
Obsérvese que, en el caso diferenciable, la condición
(9) se reduce a (3). En el que nos
ocupa de problemas convexos, estas condiciones de Kuhn-Tucker son también suficientes
para máximo global, es decir, si existen multiplicadores no negativos que satisfacen (9) y (10) entonces es un máximo global. Así pues, para problemas
convexos con restricciones que satisfacen una condición de regularidad como,
por ejemplo, la de Slater, las condiciones de Kuhn-Tucker son necesarias y suficientes
para máximo global. Además, la interpretación que hemos visto anteriormente de
los multiplicadores de Lagrange se extiende a problemas convexos de la
siguiente manera: si consideramos la función valor correspondiente,
puede verse fácilmente que esta función es cóncava y
que es un vector de
multiplicadores asociado a una solución óptima de nuestro problema de
maximización si, y sólo si, ,
lo que en el caso en que es diferenciable se reduce a ,
igual que en el caso ya analizado de problemas con restricciones de igualdad.
Tomando como modelo el problema de planificación de actividades, la
interpretación de las condiciones de no negatividad y de complementariedad
resulta transparente: los precios sombra de los recursos no pueden ser
negativos (un incremento en la disponibilidad de un recurso no puede ser
perjudicial, ya que no estamos obligados a agotar el recurso), y sólo puede ser
estrictamente positivo el precio sombra de un recurso que se agota en el plan
óptimo (un recurso superabundante carece de valor económico, ya que un ligero
incremento en su disponibilidad no nos reporta ningún beneficio extra). De esta
caracterización de los multiplicadores se deduce que un tal vector no está asociado a una solución óptima, pues el
conjunto es independiente de estas soluciones. En otras
palabras, si es una solución óptima, es un vector de multiplicadores asociado a
esta solución, y es otra solución óptima, entonces también está asociado a .
Por razones de brevedad omitimos otras versiones del
teorema de Kuhn-Tucker para problemas no convexos en los que hay a la vez
restricciones de igualdad y de desigualdad.
El teorema de Kuhn-Tucker para problemas convexos
tiene una interesante interpretación, que expondremos a continuación, en
términos de la función lagrangiana (2).
Para simplificar la notación, escribiremos y llamaremos a la intersección de los dominios de las
funciones .
Puede verse que un par está formado por una solución óptima y un vector de multiplicadores asociado si, y sólo si, es un punto de silla de la
función lagrangiana, es decir,
Esto permite reinterpretar el problema de optimización
como un juego de dos personas y suma cero: los jugadores son el agente
optimizador, que tiene por estrategias los vectores (satisfagan o no las restricciones), y “la
naturaleza” (o el mercado), cuyas estrategias son los vectores de
multiplicadores
La función de pagos es la función lagrangiana, de manera que si el par de
estrategias adoptadas es la naturaleza paga al agente optimizador la
cantidad La interpretación económica, tomando como
referencia el problema de planificación de actividades, es que la naturaleza
asigna precios a los recursos y retribuye al agente optimizador
mediante el valor de la función objetivo en la estrategia
adoptada más los valores, de acuerdo con esos precios, de los recursos no
consumidos (estas retribuciones adicionales son en realidad penalizaciones en
el caso de recursos consumidos en cantidades superiores a sus disponibilidades).
Los pares de estrategias de equilibrio son
precisamente los puntos de silla (en particular, las estrategias de equilibrio satisfacen las restricciones del problema de
maximización, aunque el agente optimizador puede escoger sus estrategias
libremente, sin tener en cuenta estas restricciones), y es fácil ver que el
valor del juego coincide con el valor óptimo del problema de maximización.
Conclusiones
En este artículo hemos intentado poner de manifiesto
que los multiplicadores de Lagrange son mucho más que meras variables auxiliares
y poseen interesantes interpretaciones, en especial en el caso de problemas de
naturaleza económica. Además, a pesar de haber cumplido ya más de doscientos
años, siguen gozando de buena salud; en efecto, aún hoy continúan siendo objeto
de investigación en relación con otros problemas de optimización más
sofisticados que los considerados en este artículo. El lector interesado puede
constatar la veracidad de esta afirmación consultando el reciente libro [8] y las referencias allí citadas. Otra lectura
altamente recomendable, que constituye una excelente invitación a profundizar
en la teoría de los multiplicadores de Lagrange y temas relacionados, es el
artículo [10].
Referencias
[1] F.H.
Clarke: Generalized gradients and applications. Trans. Amer. Math. Soc. 205 (1975), 247–262.
[2] F.H.
Clarke: A new approach to Lagrange multipliers. Math. Oper. Res. 1, no. 2 (1976), 165–174.
[3] F.H.
Clarke: Optimization and nonsmooth
analysis (2nd. ed.). Classics in Applied Mathematics 5. Society for
Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 1990.
[4] F.H.
Clarke, Y.S. Ledyaev, R.J. Stern, P.R. Wolenski: Nonsmooth analysis and control theory. Graduate Texts in
Mathematics 178. Springer-Verlag, New York, 1998.
[5] J.L.
Lagrange: Méchanique Analitique. Veuve
Desaint, 1788.
[6] J.L. Lagrange:
Théorie des fonctions analytiques
contenant les principes du calcul différentiel. Imprimerie de la République,
1797.
[7] A.
Mas-Colell, M.D. Whinston, J.R. Green: Microeconomic
Theory. Oxford University Press, Oxford, 1995.
[8] B.S. Mordukhovich: Variational
analysis and generalized differentiation: II. Applications. Grundlehren der
Mathematischen Wissenschaften 331. Springer-Verlag, Berlin, 2006.
[9] R.T.
Rockafellar: Convex analysis. Princeton
Mathematical Series 28. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1970.
[10] R.T.
Rockafellar: Lagrange multipliers and optimality. SIAM Rev. 35, no. 2 (1993), 183–238.
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Sobre el
autor
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Juan Enrique Martínez Legaz es doctor en Matemáticas
por la Universidad de Barcelona (1981) y catedrático de Fundamentos del
Análisis Económico de la Universidad Autónoma de Barcelona. Algunas de las
principales revistas científicas en que ha publicado artículos son: Mathematical Programming, SIAM Journal on Optimization, European Journal of Operational Research,
Set-Valued Analysis, Journal of Global Optimization y Expositiones Mathematicae. Es director
de la revista Optimization y
miembro de los comités editoriales de las revistas Journal of Convex Analysis, Journal
of Global Optimization, TOP y Cuadernos Aragoneses de Economía.
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