Recibido: jueves, 07 diciembre 2006; revisado: lunes, 12 febrero 2007
Arquitecturas musicales desarrolladas
con técnicas fractales
Carlos Satué
e-mail:
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página web: http://www.carlossatue.com
Introducción
La temática de este artículo pertenece a un
vasto territorio del que sólo tocaremos algunos ejemplos confiando en que sirvan
al lector, cuando menos, para abrir su curiosidad a la gran versatilidad que
todavía ofrece el campo de los fractales cuando éstos son aplicados a las más variopintas
disciplinas. Lejos de pensar que la utilización de los mismos en la creación
musical ya tuvo su tiempo, estos objetos son de tal profundidad y calado que
ofrecen soluciones constantemente renovadas al compositor que se acerca a
ellos. En mi caso ya hace mucho tiempo que trabajo con ideas y técnicas que me
aportan dichos elementos y quisiera simplemente hablar de algunas con las que
he ido experimentando a lo largo de los últimos años.
Sin lugar a dudas, la
característica de mayor interés para la música que estos objetos ofrecen es la
de la autosimilitud. Desconozco si con la dimensión fraccionaria podemos hacer
algo interesante musicalmente hablando supongo que se podrá, pero lo que me ha
maravillado siempre de los fractales es poder ver el propio objeto
autocontenido en infinitud de escalas y transformaciones (todo es igual y a la vez distinto). Y más que el hecho
estético, que sin duda es muy atractivo (todos conocemos maravillosas imágenes
a todo color de estos objetos), mi
interés reside en la relación interna que poseen. Todo está en su
sitio, no sobra ni falta nada, es un mundo autocontenido... Es como una pieza de
J.S. Bach en la que no puedes quitar ni poner.
Los compositores han perseguido
la idea de unidad total de la obra desde siempre; es por ello que la
aproximación a los fractales les puede resultar tan atractiva. El gran choque
se produce cuando te percatas de que estos objetos son escurridizos; a medida
que profundizas en el tema te vas dando cuenta de que no todo es posible, que
debes conformarte sólo con partes, y que la persecución del ideal de unidad
absoluta y perfecta de una composición es sólo una quimera. Debemos pensar que
los resultados obtenidos en los cálculos algunas veces chocan con las
posibilidades reales de los instrumentos y en muchas ocasiones están en
conflicto entre ellos mismos, lo que nos obliga a tomar decisiones que nos
alejan del ideal de partida. Otro problema es el redondeo de los cálculos que
no tendremos más remedio que hacer. Éste es constante y va desviando los
objetos musicales respecto de los modelos teóricos; por lo tanto, nos tendremos
que conformar con aproximaciones.
1. Organización de una
pieza musical tomando como modelo el conjunto de Cantor
Un fractal que en apariencia es
muy simple (no lo es) y que resulta ideal para comenzar a trabajar musicalmente este
tipo de objetos es el conjunto de Cantor. Damos por supuesto que el lector
conoce el conjunto de Cantor así como otro tipo de fractales sobre los que
hablaremos; aquí sólo los tocaremos en relación a su aplicación musical. Por
otra parte, hay miles de lugares en la red donde se abordan los fractales desde
el punto de vista matemático.
Podemos pensar en el conjunto de
Cantor de un modo práctico tal como exponemos a continuación. Supongamos un
segmento fragmentado en tres partes; de ellas retiramos la parte central,
tomando ahora como modelo el objeto resultante; reiterando el proceso en cada
uno de los dos segmentos del modelo habremos completado la primera iteración.
Si nuevamente introducimos el modelo en cada uno de los segmentos que han resultado
de la primera iteración (no de los espacios vacíos que se han ido generando)
habremos terminado la segunda. Si continuamos este proceso hasta el infinito
tendremos un conjunto de Cantor.
Su aplicación en música termina
tras poquísimas iteraciones; por lo tanto, cuando se hable de “fractalizar” (permítaseme
utilizar este término) algún modelo o se utilice cualquier otra expresión
semejante, siempre pensaremos en términos de aproximación a estos objetos.
Un modo sencillo de organizar una
pieza podría hacerse tomando como modelo el conjunto de Cantor. Pensemos en el
ejemplo anterior: una pieza representada por un segmento de una determinada
duración (tiempo) que dividiremos en tres partes (tres movimientos o tres
grandes secciones). Tomando estas tres partes como modelo reintroduciremos éste
en cada uno de los segmentos-movimientos, y con ello obtendremos las secciones;
tras una nueva reintroducción del modelo en estas últimas, podremos conseguir
las subsecciones; otra nueva iteración nos dará los espacios destinados a las
frases; y otra nueva iteración nos conducirá a conseguir las unidades de
duración más pequeñas (notas de duración mínima). En nuestro caso no podemos
pasar de este punto; por ello veremos que nuestra aproximación al conjunto de
Cantor se ha agotado tras pocas iteraciones. Si el modelo de partida hubiese
sido irregular (cada segmento tiene duraciones diferentes) el resultado tras
pocas iteraciones sería complejo, los espacios estarían arrugados, serían
difíciles de manejar y el resultado sería mucho más rico, lo que para mí
resultaría mucho más atractivo. Este procedimiento nos ha llevado a establecer
una relación de autosemejanza entre la gran forma (la pieza entera) y la unidad más pequeña (la
nota de duración mínima que utilicemos en la obra, como por ejemplo la
semifusa).
Esta manera de hacer que hemos
utilizado para las duraciones y que adscribiremos al territorio de X (las duraciones tienen dos parámetros: el
impacto, que es el punto espacial donde comienza dicha duración y la longitud,
que es la distancia desde el impacto hasta la finalización de la misma, por lo
tanto un nuevo punto de X) puede ser
llevado al territorio de las alturas o de Y (las
alturas son las frecuencias de las notas,
que en escritura simbólica serán, por ejemplo, “do” de la octava 4 , “re” de la 5,
o lo que sea...). Con ello, el modelo serviría para confeccionar acordes cuyas
relaciones interválicas estarían calculadas a partir del modelo que se ha
utilizado para obtener las duraciones. Este mismo modelo podría aplicarse a las
dinámicas (éstas reflejan la intensidad del sonido, se simbolizan
como FFF “fortísimo”, P “piano”...), y con ello conseguiríamos una fuerte cohesión
basada en la autosemejanza que proyecta el modelo. Podríamos seguir así con
otros parámetros; sin embargo, es posible que ya en la aplicación del modelo a
las alturas hayamos tenido fuertes contradicciones con la praxis
interpretativa, como darse el caso en el que muchas de las notas sean de tal altura
que pertenezcan al mundo de los ultrasonidos, o bien, que no haya instrumento
que pueda darlas. Si intentamos ajustar el resultado a los instrumentos
tradicionales, tendremos que retocar las alturas en una o varias octavas (igual
nota pero en registros más graves o más agudos), y con ello ya hemos roto el
principio de autosemejanza. Respecto de las dinámicas, podríamos encontrarnos
con situaciones como esta: ciertos instrumentos suenan fortísimo mientras
otros simultáneamente lo deberían hacer en pianísimo, por lo que estos últimos
no se oirían. Como se ve, deberíamos estar retocando constantemente los
resultados, lo que llevaría al constante distanciamiento del modelo. La
decisión al final será del compositor, que intentará mantener con su pericia la
mayor fidelidad al modelo; sin embargo, deberá hacer que la pieza sea
interpretable.
Las imágenes siguientes ilustran
la idea del conjunto de Cantor. En el cuadro primero hemos dado valores
diferentes a cada uno de los tres segmentos con el que partiremos el tramo
inicial. Posteriormente hemos retirado el central.
El segundo cuadro muestra lo
mismo; sin embargo, no se ha retirado el segmento central.
Tal como se ha explicado,
reintroduciendo el modelo en cada uno de los segmentos resultantes obtendremos la
iteración siguiente, que nos marcará, en dependencia del nivel que nos
encontremos, las duraciones de los movimientos, las secciones, las subsecciones,
las frases... y por último las notas.
Puesto que partimos de un espacio
de unidades mínimas que no podremos dividir (si decidimos como unidad límite la
semifusa por ejemplo, ésta será la unidad más pequeña que debemos encontrar en
la obra), el redondeo nos desviará rápidamente del modelo tal como se ha
explicado. Obsérvese cómo en la segunda iteración (última línea de cada cuadro,
que podría corresponder a la línea de las frases) hemos perdido información,
puesto que el primer segmento es menor que la unidad fijada y por lo tanto no
aparece; así, la frase tendrá únicamente dos segmentos.
En un momento u otro tenemos que redondear, para que los resultados sean coherentes con la praxis interpretativa.
Ejemplo 1
Haciendo uso de la idea del
conjunto de Cantor podríamos construir arquitecturas a partir de cualquier modelo
musical.
Pensemos en las ocho primeras
notas del preludio 1 del libro primero de El clave bien temperado de J.S. Bach que
podemos ver en el siguiente cuadro.
Si tomamos estas ocho notas como
modelo podríamos comprimirlas tanto en sus duraciones (por el momento no
pongamos límites de unidades mínimas, con lo que podremos hacer las
contracciones que necesitemos sin pérdida de información) que las podríamos
introducir en el espacio que va desde la primera nota hasta la segunda.
Posteriormente deberíamos hacer lo propio con las alturas. Deberíamos
aplanarlas lo necesario para que se introdujeran en el espacio interválico que
hay entre la primera nota y la segunda. Si repetimos este proceso en el resto
de los espacios que van entre cada dos notas habremos completado la primera
iteración. Podemos hacer lo propio con el resultado obtenido en la primera
iteración y tendremos la segunda, y así sucesivamente. Rápidamente podremos
intuir que si introducimos 8 notas en el espacio de una semicorchea (lo que
serían 8 garrapateas) y mantenemos invariante la velocidad de interpretación,
sólo las máquinas podrán ejecutar el resultado; y eso no es todo: si
introducimos el modelo en un intervalo de tercera mayor como sería el primer
caso del ejemplo que proponemos, el resultado se achataría muchísimo y nos
daría valores que, aunque distintos, se moverían entre una o dos notas al ser
redondeados a un sistema temperado de 12 ó de 24 alturas (sistema en cuartos de
tono). Por el momento no añadiremos otros parámetros tales como dinámicas en el
proceso, puesto que el resultado aún sería más complejo.
A pesar de lo comentado, la idea
es muy interesante y podemos encontrar fórmulas que la hagan aprovechable y de
ese modo obtener objetos musicales útiles a partir de otros tomados como
modelos de partida.
Para poder llevar a cabo el
proceso de cálculo el mejor camino es pasar la notación simbólica a numérica y
operar con ésta mediante algoritmos matemáticos. En el ejemplo de J.S. Bach
podría ser transcrita como sigue: A=(61, 65, 68, 73, 77, 68, 73, 77), si partimos de
Do4=61 para las alturas (habitualmente se toma la numeración MIDI y ésta puede
fluctuar de unos programas a otros en función de comenzar la escala en 0 ó en 1,
lo que sería Do4=60 ó Do4=61). Para las duraciones hay muchos caminos según el
sistema que se adopte; sin embargo, lo más habitual sería utilizar una notación
absoluta basada en valores de milisegundos. Suponiendo que aplicamos una
velocidad de negra=120 al modelo, cada pulso del compás de 4/4 tendría un valor de 0.5 segundos (60/120);
por lo tanto, cada semicorchea sería de 0.5/4=0.125 segundos, o bien 125
milisegundos. Con estos valores confeccionaríamos una lista de impactos y
duraciones tales como I=(0, 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875) y D=(125, 125, 125, 125, 125, 125, 125, 125).
La lista de impactos será In+1=In+Dn.
El algoritmo que utilizaremos
para efectuar el cálculo se llama Fract-gen1 y puede encontrarse en la
biblioteca OMChaos de OpenMusic. Dicho algoritmo trabaja con un elemento menos
de cada lista, y deja la última nota del modelo como tapón del objeto
resultante. En este caso, la primera iteración constaría de 7^2=49 notas
(utilizaremos notación ASCII) más la nota tapón 50; la segunda iteración sería
7^3=343 más la nota tapón 344; la tercera iteración, 7^4=2401 más la nota tapón
2402; etc... Podemos observar que la elevada progresión de las notas hace
realmente difícil trabajar con iteraciones de nivel alto por razones de toda
índole (pensemos que rápidamente alcanzaríamos secuencias cuya duración
temporal sería de horas, días...; por otra parte, la percepción auditiva se
agotaría más allá de una determinada longitud de la secuencia). Es muy
importante para la percepción musical partir de modelos con muy pocas notas, lo
que nos posibilitará llegar a un más alto número de iteraciones.
El algoritmo debe introducir en
el plano complejo valores para X y para Y. Por ejemplo, podría utilizarse la lista de las
alturas como valores de Y y la de los
impactos como valores de X (pero puede
hacerse al revés, aunque el resultado será distinto). Si queremos trabajar con
más parámetros deberemos utilizar otros planos complejos y asignar dichos
parámetros a las X y las Y
de estos nuevos planos. Cada combinación producirá resultados diferentes,
aunque de un modo u otro las autosemejanzas quedarán reflejadas. Al final
podremos reagrupar los resultados en un solo objeto. Supongamos que en un plano
complejo se han asignado los impactos a X y las
alturas a Y, y en otro, la lista de dinámicas a X y la lista de duraciones a Y
(las listas deben proceder del mismo modelo y contener el mismo número de
elementos, así como también debe haberse hecho el mismo número de iteraciones
si queremos preservar las autosemejanzas). Finalmente, reagruparemos los datos
en un solo objeto resultante.
El cuadro siguiente muestra la
primera iteración del modelo de J.S. Bach, actuando únicamente las alturas y los
impactos tal como se ha explicado anteriormente. Obsérvese que hay excesiva
información en el mismo espacio que ocupaba la secuencia original. Únicamente las
máquinas pueden interpretar este objeto musical. En la imagen sólo aparecen,
como veremos más abajo, las alturas (en un temperamento de cuartos de tono) y las
duraciones en milisegundos (aunque parezcan figuras de negra, no lo son: es la
forma con la que representa cada nota el objeto de OpenMusic con el que
trabajamos).
Otra interesante opción es
utilizar sólo la lista resultante de X ó de Y tras haberse hecho la iteración, tomando el
resto de los parámetros como valores artificiales fijos. Por ejemplo, pensemos
que, habiendo asignado la lista de alturas a Y
y la de los impactos a X, tras el cálculo
sólo tomaremos los nuevos valores de Y y daremos
duraciones de 100 ms a cada nota que aparecerá con impactos regulares también
cada 100 ms, incluso con dinámicas FF en cada nota. En este caso sólo habría
autosemejanzas en las alturas.
La siguiente imagen muestra el
ejemplo anterior, pero tras haber tomado únicamente los valores de las alturas
(el espacio temperado es en cuartos de tono)
El cuadro que sigue es el ejemplo
anterior, pero se han marcado los comienzos de cada grupo de 7 notas que
sustituyen a cada una del modelo, excepto la última nota tapón.
Cada nota de comienzo contiene la
nota correspondiente del modelo; por lo tanto, el modelo está contenido en la
primera iteración (cada iteración contiene a su anterior).
La imagen siguiente muestra la
segunda iteración. Se han comprimido las duraciones para que cupiese el objeto
completo. Podemos ver cómo el espacio se hace cada vez más rugoso; sin embargo,
la forma del objeto permanece en cada nueva iteración.
Quiero hacer hincapié en el
achatamiento que sufren las alturas cuando el modelo debe ser introducido en
espacios interválicos muy estrechos tales como los de segunda menor o los de cuarto
de tono. En estos casos, el objeto resultante, al redondearse, no tendrá otra
posibilidad que repetir la misma nota.
A medida que nos alejamos de los
niveles apropiados a la percepción musical o la posibilidad de ejecución, la
arquitectura resultante se rechazará. No obstante, si el modelo de partida nos
parece interesante y los resultados son excesivamente planos o excesivamente
amplios tenemos la posibilidad de aplicar al objeto razones expansivas o
contractivas, así como desplazadores tanto en X
como en Y, que nos situarán a dicho objeto en los
lugares apropiados del registro que necesitemos y a la vez podremos conservar la autosemejanza. La siguiente imagen muestra la primera iteración, en la que
hemos utilizado un factor 12 para expandir los impactos, un factor 2 para
ampliar las alturas y un desplazador de 6000 midicents para transportarlas. Aquí, las dos primeras cifras indican el número de nota midi y las tres restantes nos
indicarán los cents (cada semitono tiene 100 cents).
Como vemos a pesar de la
expansión, el objeto es el mismo en un escalado distinto.
Cada salto de nivel en cuanto a
las iteraciones producirá un cambio drástico en la percepción auditiva. Según
las características del propio objeto y nuestro grado de entrenamiento,
podremos pensar que el de mayor número de iteraciones está en relación con su
modelo o con el de su iteración anterior. Cuando trabajamos con transformaciones
del mismo objeto y de esto hablaremos en la siguiente sección, en la que
trataremos sistemas de funciones iteradas (I.F.S.), el reconocimiento auditivo
de éstas dependerá del grado de agresividad que se utilice. Por
ejemplo, con una pequeña ampliación y un ligero desplazamiento de la
arquitectura a transformar, reconoceremos que se trata del mismo objeto; ahora
bien, si la contracción o expansión es exagerada o bien si utilizamos rotaciones,
percibiremos la arquitectura como algo nuevo.
Ejemplo 2
El ejemplo que sigue forma parte
de un material que se ha utilizado para
la pieza Laberinto de la noche, obra ésta para saxofón, “ensemble” y
dispositivo electrónico cuyo autor es quien suscribe estas líneas. Tengo
interés en mostrarlo con el objeto de ver diversos tipos de arquitecturas que
parten de un mismo origen tras haberse utilizado técnicas semejantes a las
descritas con anterioridad.
Partiremos de un sonido multifónico
del saxofón barítono. Se trata de uno de los conglomerados sonoros que puede
dar el saxofón. Dicho objeto sonoro está compuesto por un gran número de notas
claramente perceptibles dando la sensación que se trata de un acorde,
generalmente disonante. Primeramente se hará un análisis espectral del
multifónico en cuestión y extraeremos las notas más significativas (cuatro o cinco únicamente). Éstas nos servirán de semilla, al igual que antes hicimos con el
motivo de J.S. Bach.
La siguiente imagen muestra la
transcripción de las cinco notas de mayor energía dinámica del multifónico del
saxofón barítono. El modelo de partida para las alturas en midicents es
A=(8550, 5600, 7350, 8800, 6600), y para las dinámicas D=(67, 61, 100, 64, 85).
Las duraciones se han deducido a partir del modelo de partida de las dinámicas.
El orden de los elementos de las
listas es decisivo: si cambiamos el puesto de algún elemento de cualquier lista
de partida los resultados serán completamente distintos, tanto si el objeto
resultante va a utilizarse en forma de acorde como de secuencia. Pensemos que
cualquier permutación modifica la forma. Con ello, el acorde modelo de partida
encerrará tantas posibilidades de crear familias de arquitecturas a través de
sus distintas iteraciones como el número de las posibles permutaciones de los
elementos de la lista de partida.
A continuación mostramos la
primera iteración tras sufrir una compresión y un desplazamiento. Podemos verla
en forma de acorde y posteriormente en forma de secuencia.
Continuamos mostrando la segunda
iteración en forma de acorde y posteriormente en forma de secuencia. La
compresión y el desplazamiento son los mismos que en la iteración 1.
A continuación podemos ver la
segunda iteración sin compresión ni desplazamiento. Las duraciones y dinámicas
también han sido calculadas mediante procedimientos semejantes.
2. Sistemas de funciones
iteradas (I.F.S.) como herramienta de transformación
Ya hemos comentado con
anterioridad que multiplicando los valores de una secuencia de notas la podemos
ampliar si el factor multiplicativo es mayor que 1, contraer si dicho factor
es un valor comprendido entre 0 y 1 y dejar invariante si es igual a 1.
Esta herramienta puede servir
para transformar un modelo paso a paso, o bien para producir un gran árbol de
transformaciones sobre el modelo de partida.
Para poner en marcha el proceso
podemos hacer un determinado número de transformaciones; una vez terminadas
habríamos obtenido la primera iteración. Si ahora tomamos este resultado como
modelo de partida y aplicamos de nuevo al mismo todas las transformaciones obtendremos la segunda iteración, y así sucesivamente.
Cada transformación constará de
los siguientes parámetros: contracción de X, coseno del
ángulo de rotación, seno del ángulo de rotación, contracción de Y, desplazamiento de X,
desplazamiento de Y y probabilidad.
Algunas de estas funciones, como
el desplazamiento de X y el de Y (éste se llama transporte en el ámbito musical),
son harto conocidas en música; en cuanto a las compresiones de X, se han utilizado con algunos tipos fijos de
valor (al doble, a la mitad y poco más); las compresiones de Y son más novedosas, y el giro en el espacio de
una arquitectura musical es mucho más raro (resulta difícil de controlar).
Dando valores de transformación a cada uno de estos parámetros podremos cambiar
el aspecto de una arquitectura musical fuente. Si tenemos varias propuestas de
transformación a la vez, obtendremos un árbol de copias a partir del mismo
objeto (copias en distintas escalas y posiciones, que producirán un resultado
musical completamente diferente unas respecto de otras). Con esta herramienta
obtendremos rápidamente complejas estructuras musicales; sin embargo, será
necesario controlar la ejecutabilidad de las mismas, tal como se ha comentado
con anterioridad.
Las transformaciones podrían
realizarse sobre cualquiera de los parámetros musicales (alturas, impactos,
duraciones, dinámicas...). Yo los trabajo habitualmente pensando en las alturas
como puntos de Y y en los impactos como
puntos de X (las duraciones como dijimos tienen
un punto de X que marca el comienzo y otro punto
de X que marca el final). Las dinámicas, articulaciones y otros... los
planteo como cualidades asociadas al objeto musical fuente que podrán ser
transmitidas en herencia en cada transformación. De este modo, podemos seguir
por ejemplo una dinámica en FFF (fortísimo) con un determinado acento en las
sucesivas transformaciones.
Debemos volver nuevamente a
comentar el problema del redondeo cuando asentamos estos objetos sobre la
partitura gráfica (se trata de algo semejante al papel milimetrado en el que cada
cuadradito representa una duración mínima, y es el que nos sirve para la
codificación numérica de la partitura tradicional: sólo al final pasaremos el
objeto a dicha partitura). Todo valor menor de la unidad mínima en el dominio
de X deberá desaparecer o fundirse en un
acorde en el punto más próximo. En el dominio de Y
toda nota fuera del espacio asignado a las alturas (bien trabajando en un
sistema de 12 notas, de 24, u otro cualquiera) deberá dirigirse a su posición
más cercana. Todo esto hará que las autosemejanzas se deformen a medida que se
transforman o se adentran en nuevas iteraciones.
La imagen siguiente muestra un
ejemplo de tres transformaciones y una sola iteración trabajado con I.F.S. Se ha tomado como modelo de partida la
arquitectura de la imagen previa. Cada transformación se muestra en un color
diferente. En las mismas se han trabajado todos los parámetros excepto la
probabilidad. En la imagen aparece también el modelo original como el objeto más
grande que arranca desde el comienzo. Cada una de estas transformaciones podría
ser adjudicada a un instrumento, o bien repartirla entre varios.
Cuanto mayor sea la
transformación de un objeto musical, más difícil resultará su reconocimiento
auditivo.
3. Utilización musical de
otros modelos fractales
Hay otros tipos de fractales cuyo
aprovechamiento musical se ha buscado utilizando otros caminos. Quiero
referirme a los generados por algoritmos de escape tales como el conjunto de Mandelbrot y el conjunto de Julia, así como otros de naturaleza distinta, como
agregaciones por difusión limitada, los generados a través del método de Newton,
etc... Caso aparte sería el movimiento browniano, muy utilizado por Francisco
Guerrero[1], que tendría que tocarse en otros escritos
futuros.
Para el tipo de fractales basados
en algoritmos de escape en los que se explora un territorio del plano complejo
se pensó que su aprovechamiento musical podría ser efectivo trabajando sobre
las imágenes que generan los mismos. Si somos capaces de filtrar la imagen y
extraer sólo parte del material que nos interesa, tal como ciertas curvas o
ciertas formas, podríamos aprovechar la inmensa cantidad de programas que se
han escrito para generarlos, e igualmente serviría para poder interpretar
imágenes de diversa procedencia. Para ello se ha desarrollado un software
especial mediante el cual una imagen puede ser descompuesta en base a los
colores de sus “pixels”. Sin embargo, resulta muy complejo trabajar con 16.8
millones de colores; por ello será necesario comprimir y hacer agrupaciones de
los mismos, y esto significa redondeo y, por lo tanto, pérdida de información.
Pensemos que queremos capturar unos filamentos que nos resultan atractivos de
una determinada imagen del conjunto de Mandelbrot y ordenamos a nuestro programa
que atrape un determinado color que se encuentra en la filigrana que ha
despertado nuestro interés. Pues bien, es posible que sólo consigamos unos
granitos de arena, ya que el resto pertenece a colores diferentes (cada color
representa unas determinadas órbitas del conjunto). Otra solución es agrupar
colores, y en este caso es posible que la información que nos llevemos sea
mayor. Todo esto exige un estudio concienzudo de cada imagen (debemos
experimentar con las agrupaciones), y si somos pacientes al final conseguiremos
atrapar material interesante.
Una vez que disponemos de nuestra
captura este material puede nuevamente transformarse y generar nuevas
“fractalizaciones”, tal como se comentó al comienzo con el motivo de J.S. Bach.
Cada una de las órbitas o grupos
de ellas podría tener interpretaciones diferentes, de manera que unas podrían
significar alturas, otras duraciones, dinámicas o cualquier otro parámetro, o
incluso controlar la forma global de la pieza.
El siguiente cuadro corresponde
al material capturado a partir de una imagen fractal tras haber sido sometida a
diversos filtros de color. Se utilizó en la pieza Mizar-Alcor (para conjunto
instrumental). Las barras verticales están sobreañadidas y corresponden a
unidades temporales.
De la anterior imagen únicamente
se tomarán dos curvas que pasarán a las dos flautas del “ensemble”. Obsérvense
las líneas de duración larga, que son fruto de sumas de puntos de igual valor en
Y. Debemos pensar que es necesario un buen número
de herramientas informáticas para tratar las imágenes originales hasta
convertirlas en arquitecturas musicalmente útiles.
Las imágenes que siguen son la
transcripción a notación musical simbólica del material que contiene la imagen
previa. Hay otros tratamientos necesarios para llegar a la partitura definitiva
de los que no vamos a hablar, porque se encuentran fuera de la temática que nos
ocupa. Con ello quisiera prevenir al lector acerca de la falsa simplicidad
aparente del proceso.
Cada una de las dos líneas
musicales pertenece a una flauta. Cada barra de compás pertenece a las líneas
verticales de división temporal mostradas en la imagen previa.
La siguiente imagen corresponde a
los fractales cuya autosemejanza es de tipo estadístico; concretamente,se trata de una
imagen de agregación por difusión limitada. Fue utilizada en la pieza Ex
pluribus naturis.
Este cuadro corresponde a una
porción de la imagen superior. Los puntos están teñidos en dos colores: unos se
distribuirán entre los instrumentos agudos, y los otros entre los graves.
No se aprovechó un mayor tramo de
la imagen fuente, porque el conjunto instrumental era de pocos miembros (seis
instrumentistas). Tras un periodo de estudio de dicha imagen únicamente se tomó
un extracto en diagonal desde la zona del hipotético vértice superior izquierdo
hasta otra del inferior derecho. Esta arquitectura constituirá uno de los
materiales de partida para la pieza. A lo largo de la misma sufrirá un buen
número de transformaciones utilizando técnicas tales como las descritas
anteriormente.
Por último, quiero mostrar dos
arquitecturas musicales que se han utilizado en la pieza Laberinto de la noche.
La primera ha sido extraída a
partir de un pequeño tramo de un modelo basado en el sistema de ecuaciones de
Lorentz. Se han tomado los valores X, Y y Z de cada
vector para alimentar las alturas de tres curvas diferentes. Las duraciones y
las dinámicas de las mismas están añadidas en base a otras consideraciones. Se
utilizó la función Lorentz de la biblioteca OMchaos de OpenMusic para elaborar
dicho objeto.
La segunda corresponde a otro
pequeño tramo que deriva de un modelo de péndulo sometido a perturbaciones
periódicas. Se ha utilizado la función Torus de la biblioteca OMchaos de OpenMusic. Trabaja en dos dimensiones y, al igual que se ha hecho con el modelo
anterior, la X y la Y
han sido tomadas para alimentar las alturas de dos curvas con duraciones y
dinámicas que son de otras procedencias. Quizá lo más interesante de esta
imagen es ver cómo dos curvas contienen varias capas de otras curvas interiores
con pendientes suaves.
4. Conclusiones
Los objetos fractales disponen de
características propias que los hacen ideales para ser utilizados en la
composición musical. Las más importantes podrían ser la dimensión fraccionaria y la
autosemejanza, y yo citaría otras cualidades subjetivas tales como rugosidad y
profundidad.
Cualquier material musical puede
ser “fractalizado” y con ello obtener familias de nuevos objetos
sonoros en estrecha relación con el modelo de partida.
Existen muchas formas de poder
trabajar con estos objetos, ya sea de manera directa o indirectamente, leyendo sus órbitas a partir de las imágenes que éstos proyectan.
Los fractales se adaptan bien a
todos los niveles de la composición y a todos los parámetros de ésta.
Podemos calcular la forma de la obra y relacionarla mediante estos objetos con
los más ínfimos rincones de la misma. También podemos aplicar una arquitectura
de esta índole únicamente a un parámetro tal como las alturas mientras el resto
trabaja en base a otras reglas. Además, es posible interactuar entre ellos con
el fin de conseguir nuevos objetos musicales. Pensemos en un material de
partida que es un extracto de una imagen que será “fractalizado” y
posteriormente transformado con I.F.S.
Y para terminar, quisiera decir
que es imprescindible matematizar el espacio musical para poder trabajar con
estos objetos. La forma de codificación numérica del lenguaje simbólico musical
puede hacerse de muchos modos; esto dependerá de nuestros conocimientos en la
materia y del tipo de tareas que vayamos a realizar. Finalmente, cuando se hayan
efectuado los cálculos, la codificación numérica se traducirá nuevamente en
escritura musical tradicional.
Agradecimientos
No quisiera terminar este
artículo sin dar las gracias a Carlos Frías por su entusiasmo en la aventura de
búsqueda que compartimos desde hace ya mucho tiempo en la elaboración de
programas de asistencia a la composición musical, y a Marta Macho por darme la
oportunidad de poder contar algo de ello.
Referencias
Bibliográficas
J. Barrallo
Calonge: Geometría fractal: algorítmica y
representación. Ediciones
Anaya Multimedia, 1993.
M. de Guzmán, M.A.
Martín, M. Morán, M. Reyes: Estructuras
fractales y sus aplicaciones. Labor Matemáticas, Editorial Labor, 1993.
E.N. Lorenz: The essence of chaos. Traducción al
castellano de F. Paez de la Cadena: La
esencia del caos. Editorial Debate, 1995.
B. Mandelbrot: The fractal geometry of nature. Traducción
al castellano de J. Llosa: La geometría
fractal de la naturaleza. Metatemas 49, Tusquets Editores, 1997.
P. Smith: Explaining Chaos. Traducción al
castellano de A. Resines y H. Bevia: El
caos: una explicación a la teoría. Cambridge University Press, 2001.
I. Xenakis: Musiques
formelles. Nouvaux principes formels de composition musicale. Editions
Richard-Masse, 1963.
I. Xenakis: Musique. Architecture. Traducción
al catalán de A. Bofill: Música. Arquitectura. Antoni Bosch Editor, 1982.
Páginas web
Es abrumador el número de páginas
que podemos encontrar en relación a los fractales simplemente tecleando
“fractals” en el buscador. A pesar de ello, no me atrevo a recomendar ninguna
página en relación a fractales y música, por disentir con los resultados
estéticos obtenidos que éstas reflejan.
A continuación señalo algunas en
las que asiduamente he consultado información:
Quisiera remarcar especialmente
la página del compositor Iannis Xenakis, http://www.iannis-xenakis.org. A pesar de no tocar el tema de los
fractales en relación con la música, es el pionero en relación a las técnicas
compositivas que utilizan modelos estocásticos, de estrategia musical,
simbólicos y otros relacionados con técnicas derivadas del estudio del caos.
Programas
OpenMusic, http://www.ircam.fr/logiciels_forum.html.
Plataforma Cygnus X-1. Se trata
de un conjunto de programas elaborados por Carlos Frías y Carlos Satué en el
entorno de Future Basic (lenguaje de programación en Macintosh). Dichos
programas han servido para elaborar algunas de las imágenes que hemos visto con
anterioridad y han hecho posible la construcción de mis piezas musicales.
[1] Compositor español (1951-1997). Utilizó, entre otras cosas, modelos compositivos
basados en el movimiento browniano en muchas de sus obras. Entre ellas podemos
citar la serie escrita para cuerda titulada
Zayin (compuesta por 8 números). Hay un CD editado cuyas referencias doy a continuación: DS-0127//Música de
Andalucía//Almaviva//WDR. La interpretación corre a cargo del cuarteto de
cuerda “Arditti String Quartet”. Se pueden encontrar otras referencias de Francisco Guerrero en http://Brahms.ircam.fr/textes/c00000939/index.html.
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Sobre el autor
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Carlos Satué (Fabara, Zaragoza, 1958) realizó estudios de música en el
conservatorio estatal de Zaragoza, y posteriormente estudió composición en
Madrid con Francisco Guerrero. Becado por el Instituto de la Juventud en 1985,
participa en cursos de verano con C. Halffter, T. Marco y C. Bernaola. A lo
largo de los últimos años ha ido consiguiendo premios de composición tales
como el internacional Ciudad de Alcoy, el internacional para órgano
C. Halffter, el internacional para orquesta Ciudad de Tarragona, el premio
especial Sacem en el M. Ohana y, más
recientemente, el AEOS (Asociación de Orquestas Sinfónicas Españolas), entre
otros. En tres ocasiones su música ha sido seleccionada para los World Music
Days, en Luxemburgo (2000), Hong Kong (2002) y Zagreb (2005). Ha
sido interpretado por orquestas tales como la Orquesta Nacional de España, Orquesta Sinfónica de Barcelona, Orquesta Sinfónica de Galicia y conjuntos tales como Nouvel
Ensemble Modern (Canadá), KammerensembleN (Suecia), TM+ (Francia), Dédalo
(Italia), Ensemble Intercontemporain (Francia), y otros. Ha impartido
seminarios en el Conservatorio Superior de Música de Zaragoza, Escuela
Superior de Música de Cataluña y Conservatorio Superior de Madrid. A la par que su actividad compositiva,
desarrolla junto a Carlos Frías una plataforma de programas de asistencia
informatizada a la composición, la cual está en constante expansión y en la que se establecen continuamente puentes entre música y matemáticas.
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