Recibido: jueves, 07 diciembre 2006; revisado: lunes, 12 febrero 2007

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Arquitecturas musicales desarrolladas con técnicas fractales

 

Carlos Satué

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página web: http://www.carlossatue.com

 

 

Introducción

 

La temática de este artículo pertenece a un vasto territorio del que sólo tocaremos algunos ejemplos confiando en que sirvan al lector, cuando menos, para abrir su curiosidad a la gran versatilidad que todavía ofrece el campo de los fractales cuando éstos son aplicados a las más variopintas disciplinas. Lejos de pensar que la utilización de los mismos en la creación musical ya tuvo su tiempo, estos objetos son de tal profundidad y calado que ofrecen soluciones constantemente renovadas al compositor que se acerca a ellos. En mi caso ya hace mucho tiempo que trabajo con ideas y técnicas que me aportan dichos elementos y quisiera simplemente hablar de algunas con las que he ido experimentando a lo largo de los últimos años.

 

Sin lugar a dudas, la característica de mayor interés para la música que estos objetos ofrecen es la de la autosimilitud. Desconozco si con la dimensión fraccionaria podemos hacer algo interesante musicalmente hablando –supongo que se podrá–, pero lo que me ha maravillado siempre de los fractales es poder ver el propio objeto autocontenido en infinitud de escalas y transformaciones (todo es igual y a la vez distinto). Y más que el hecho estético, que sin duda es muy atractivo (todos conocemos maravillosas imágenes a todo color de estos objetos), mi interés reside en la relación interna que poseen. Todo está en su sitio, no sobra ni falta nada, es un mundo autocontenido... Es como una pieza de J.S. Bach en la que no puedes quitar ni poner.

 

Los compositores han perseguido la idea de unidad total de la obra desde siempre; es por ello que la aproximación a los fractales les puede resultar tan atractiva. El gran choque se produce cuando te percatas de que estos objetos son escurridizos; a medida que profundizas en el tema te vas dando cuenta de que no todo es posible, que debes conformarte sólo con partes, y que la persecución del ideal de unidad absoluta y perfecta de una composición es sólo una quimera. Debemos pensar que los resultados obtenidos en los cálculos algunas veces chocan con las posibilidades reales de los instrumentos y en muchas ocasiones están en conflicto entre ellos mismos, lo que nos obliga a tomar decisiones que nos alejan del ideal de partida. Otro problema es el redondeo de los cálculos que no tendremos más remedio que hacer. Éste es constante y va desviando los objetos musicales respecto de los modelos teóricos; por lo tanto, nos tendremos que conformar con aproximaciones.

 

 

1. Organización de una pieza musical tomando como modelo el conjunto de Cantor

 

Un fractal que en apariencia es muy simple (no lo es) y que resulta ideal para comenzar a trabajar musicalmente este tipo de objetos es el conjunto de Cantor. Damos por supuesto que el lector conoce el conjunto de Cantor así como otro tipo de fractales sobre los que hablaremos; aquí sólo los tocaremos en relación a su aplicación musical. Por otra parte, hay miles de lugares en la red donde se abordan los fractales desde el punto de vista matemático.

 

Podemos pensar en el conjunto de Cantor de un modo práctico tal como exponemos a continuación. Supongamos un segmento fragmentado en tres partes; de ellas retiramos la parte central, tomando ahora como modelo el objeto resultante; reiterando el proceso en cada uno de los dos segmentos del modelo habremos completado la primera iteración. Si nuevamente introducimos el modelo en cada uno de los segmentos que han resultado de la primera iteración (no de los espacios vacíos que se han ido generando) habremos terminado la segunda. Si continuamos este proceso hasta el infinito tendremos un conjunto de Cantor.

 

Su aplicación en música termina tras poquísimas iteraciones; por lo tanto, cuando se hable de “fractalizar” (permítaseme utilizar este término) algún modelo o se utilice cualquier otra expresión semejante, siempre pensaremos en términos de aproximación a estos objetos.

 

Un modo sencillo de organizar una pieza podría hacerse tomando como modelo el conjunto de Cantor. Pensemos en el ejemplo anterior: una pieza representada por un segmento de una determinada duración (tiempo) que dividiremos en tres partes (tres movimientos o tres grandes secciones). Tomando estas tres partes como modelo reintroduciremos éste en cada uno de los segmentos-movimientos, y con ello obtendremos las secciones; tras una nueva reintroducción del modelo en estas últimas, podremos conseguir las subsecciones; otra nueva iteración nos dará los espacios destinados a las frases; y otra nueva iteración nos conducirá a conseguir las unidades de duración más pequeñas (notas de duración mínima). En nuestro caso no podemos pasar de este punto; por ello veremos que nuestra aproximación al conjunto de Cantor se ha agotado tras pocas iteraciones. Si el modelo de partida hubiese sido irregular (cada segmento tiene duraciones diferentes) el resultado tras pocas iteraciones sería complejo, los espacios estarían arrugados, serían difíciles de manejar y el resultado sería mucho más rico, lo que para mí resultaría mucho más atractivo. Este procedimiento nos ha llevado a establecer una relación de autosemejanza entre la gran forma  (la pieza entera) y la unidad más pequeña (la nota de duración mínima que utilicemos en la obra, como por ejemplo la semifusa).

 

Esta manera de hacer que hemos utilizado para las duraciones y que adscribiremos al territorio de X (las duraciones tienen dos parámetros: el impacto, que es el punto espacial donde comienza dicha duración y la longitud, que es la distancia desde el impacto hasta la finalización de la misma, por lo tanto un nuevo punto de X) puede ser llevado al territorio de las alturas o de Y (las alturas son las  frecuencias de las notas, que en escritura simbólica serán, por ejemplo, “do” de la octava 4 , “re” de la 5, o lo que sea...). Con ello, el modelo serviría para confeccionar acordes cuyas relaciones interválicas estarían calculadas a partir del modelo que se ha utilizado para obtener las duraciones. Este mismo modelo podría aplicarse a las dinámicas (éstas reflejan la intensidad del sonido, se simbolizan como FFF “fortísimo”, P “piano”...), y con ello conseguiríamos una fuerte cohesión basada en la autosemejanza que proyecta el modelo. Podríamos seguir así con otros parámetros; sin embargo, es posible que ya en la aplicación del modelo a las alturas hayamos tenido fuertes contradicciones con la praxis interpretativa, como darse el caso en el que muchas de las notas sean de tal altura que pertenezcan al mundo de los ultrasonidos, o bien, que no haya instrumento que pueda darlas. Si intentamos ajustar el resultado a los instrumentos tradicionales, tendremos que retocar las alturas en una o varias octavas (igual nota pero en registros más graves o más agudos), y con ello ya hemos roto el principio de autosemejanza. Respecto de las dinámicas, podríamos encontrarnos con situaciones como esta: ciertos instrumentos suenan fortísimo mientras otros simultáneamente lo deberían hacer en pianísimo, por lo que estos últimos no se oirían. Como se ve, deberíamos estar retocando constantemente los resultados, lo que llevaría al constante distanciamiento del modelo. La decisión al final será del compositor, que intentará mantener con su pericia la mayor fidelidad al modelo; sin embargo, deberá hacer que la pieza sea interpretable.

 

Las imágenes siguientes ilustran la idea del conjunto de Cantor. En el cuadro primero hemos dado valores diferentes a cada uno de los tres segmentos con el que partiremos el tramo inicial. Posteriormente hemos retirado el central.

 

El segundo cuadro muestra lo mismo; sin embargo, no se ha retirado el segmento central.

 

Tal como se ha explicado, reintroduciendo el modelo en cada uno de los segmentos resultantes obtendremos la iteración siguiente, que nos marcará, en dependencia del nivel que nos encontremos, las duraciones de los movimientos, las secciones, las subsecciones, las frases... y por último las notas.

 

Puesto que partimos de un espacio de unidades mínimas que no podremos dividir (si decidimos como unidad límite la semifusa por ejemplo, ésta será la unidad más pequeña que debemos encontrar en la obra), el redondeo nos desviará rápidamente del modelo tal como se ha explicado. Obsérvese cómo en la segunda iteración (última línea de cada cuadro, que podría corresponder a la línea de las frases) hemos perdido información, puesto que el primer segmento es menor que la unidad fijada y por lo tanto no aparece; así, la frase tendrá únicamente dos segmentos.

 

 

 

 

En un momento u otro tenemos que redondear, para que los resultados sean coherentes con la praxis interpretativa.

 

 

Ejemplo 1

 

Haciendo uso de la idea del conjunto de Cantor podríamos construir arquitecturas a partir de cualquier modelo musical.

 

Pensemos en las ocho primeras notas del preludio 1 del libro primero de El clave bien temperado de J.S. Bach que podemos ver en el siguiente cuadro.

 

 

 

 

Si tomamos estas ocho notas como modelo podríamos comprimirlas tanto en sus duraciones (por el momento no pongamos límites de unidades mínimas, con lo que podremos hacer las contracciones que necesitemos sin pérdida de información) que las podríamos introducir en el espacio que va desde la primera nota hasta la segunda. Posteriormente deberíamos hacer lo propio con las alturas. Deberíamos aplanarlas lo necesario para que se introdujeran en el espacio interválico que hay entre la primera nota y la segunda. Si repetimos este proceso en el resto de los espacios que van entre cada dos notas habremos completado la primera iteración. Podemos hacer lo propio con el resultado obtenido en la primera iteración y tendremos la segunda, y así sucesivamente. Rápidamente podremos intuir que si introducimos 8 notas en el espacio de una semicorchea (lo que serían 8 garrapateas) y mantenemos invariante la velocidad de interpretación, sólo las máquinas podrán ejecutar el resultado; y eso no es todo: si introducimos el modelo en un intervalo de tercera mayor como sería el primer caso del ejemplo que proponemos, el resultado se achataría muchísimo y nos daría valores que, aunque distintos, se moverían entre una o dos notas al ser redondeados a un sistema temperado de 12 ó de 24 alturas (sistema en cuartos de tono). Por el momento no añadiremos otros parámetros tales como dinámicas en el proceso, puesto que el resultado aún sería más complejo.

 

A pesar de lo comentado, la idea es muy interesante y podemos encontrar fórmulas que la hagan aprovechable y de ese modo obtener objetos musicales útiles a partir de otros tomados como modelos de partida.

 

Para poder llevar a cabo el proceso de cálculo el mejor camino es pasar la notación simbólica a numérica y operar con ésta mediante algoritmos matemáticos. En el ejemplo de J.S. Bach podría ser transcrita como sigue: A=(61, 65, 68, 73, 77, 68, 73, 77), si partimos de Do4=61 para las alturas (habitualmente se toma la numeración MIDI y ésta puede fluctuar de unos programas a otros en función de comenzar la escala en 0 ó en 1, lo que sería Do4=60 ó Do4=61). Para las duraciones hay muchos caminos según el sistema que se adopte; sin embargo, lo más habitual sería utilizar una notación absoluta basada en valores de milisegundos. Suponiendo que aplicamos una velocidad de negra=120 al modelo, cada pulso del compás de 4/4 tendría un valor de 0.5 segundos (60/120); por lo tanto, cada semicorchea sería de 0.5/4=0.125 segundos, o bien 125 milisegundos. Con estos valores confeccionaríamos una lista de impactos y duraciones tales como I=(0, 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875) y D=(125, 125, 125, 125, 125, 125, 125, 125). La lista de impactos será I_n+1=I_n+D_n.

 

El algoritmo que utilizaremos para efectuar el cálculo se llama Fract-gen1 y puede encontrarse en la biblioteca OMChaos de OpenMusic. Dicho algoritmo trabaja con un elemento menos de cada lista, y deja la última nota del modelo como tapón del objeto resultante. En este caso, la primera iteración constaría de 7^2=49 notas (utilizaremos notación ASCII) más la nota tapón 50; la segunda iteración sería 7^3=343 más la nota tapón 344; la tercera iteración, 7^4=2401 más la nota tapón 2402; etc... Podemos observar que la elevada progresión de las notas hace realmente difícil trabajar con iteraciones de nivel alto por razones de toda índole (pensemos que rápidamente alcanzaríamos secuencias cuya duración temporal sería de horas, días...; por otra parte, la percepción auditiva se agotaría más allá de una determinada longitud de la secuencia). Es muy importante para la percepción musical partir de modelos con muy pocas notas, lo que nos posibilitará llegar a un más alto número de iteraciones.

 

El algoritmo debe introducir en el plano complejo valores para X y para Y. Por ejemplo, podría utilizarse la lista de las alturas como valores de Y y la de los impactos como valores de X (pero puede hacerse al revés, aunque el resultado será distinto). Si queremos trabajar con más parámetros deberemos utilizar otros planos complejos y asignar dichos parámetros a las X y las Y de estos nuevos planos. Cada combinación producirá resultados diferentes, aunque de un modo u otro las autosemejanzas quedarán reflejadas. Al final podremos reagrupar los resultados en un solo objeto. Supongamos que en un plano complejo se han asignado los impactos a X y las alturas a Y, y en otro, la lista de dinámicas a X y la lista de duraciones a Y (las listas deben proceder del mismo modelo y contener el mismo número de elementos, así como también debe haberse hecho el mismo número de iteraciones si queremos preservar las autosemejanzas). Finalmente, reagruparemos los datos en un solo objeto resultante.

 

El cuadro siguiente muestra la primera iteración del modelo de J.S. Bach, actuando únicamente las alturas y los impactos tal como se ha explicado anteriormente. Obsérvese que hay excesiva información en el mismo espacio que ocupaba la secuencia original. Únicamente las máquinas pueden interpretar este objeto musical. En la imagen sólo aparecen, como veremos más abajo, las alturas (en un temperamento de cuartos de tono) y las duraciones en milisegundos (aunque parezcan figuras de negra, no lo son: es la forma con la que representa cada nota el objeto de OpenMusic con el que trabajamos).

 

 

 

 

Otra interesante opción es utilizar sólo la lista resultante de X ó de Y tras haberse hecho la iteración, tomando el resto de los parámetros como valores artificiales fijos. Por ejemplo, pensemos que, habiendo asignado la lista de alturas a Y y la de los impactos a X, tras el cálculo sólo tomaremos los nuevos valores de Y y daremos duraciones de 100 ms a cada nota que aparecerá con impactos regulares también cada 100 ms, incluso con dinámicas FF en cada nota. En este caso sólo habría autosemejanzas en las alturas.

 

La siguiente imagen muestra el ejemplo anterior, pero tras haber tomado únicamente los valores de las alturas (el espacio temperado es en cuartos de tono)

 

 

 

 

El cuadro que sigue es el ejemplo anterior, pero se han marcado los comienzos de cada grupo de 7 notas que sustituyen a cada una del modelo, excepto la última nota tapón.

 

Cada nota de comienzo contiene la nota correspondiente del modelo; por lo tanto, el modelo está contenido en la primera iteración (cada iteración contiene a su anterior).

 

 

 

 

La imagen siguiente muestra la segunda iteración. Se han comprimido las duraciones para que cupiese el objeto completo. Podemos ver cómo el espacio se hace cada vez más rugoso; sin embargo, la forma del objeto permanece en cada nueva iteración.

 

Quiero hacer hincapié en el achatamiento que sufren las alturas cuando el modelo debe ser introducido en espacios interválicos muy estrechos tales como los de segunda menor o los de cuarto de tono. En estos casos, el objeto resultante, al redondearse, no tendrá otra posibilidad que repetir la misma nota.

 

 

 

 

A medida que nos alejamos de los niveles apropiados a la percepción musical o la posibilidad de ejecución, la arquitectura resultante se rechazará. No obstante, si el modelo de partida nos parece interesante y los resultados son excesivamente planos o excesivamente amplios tenemos la posibilidad de aplicar al objeto razones expansivas o contractivas, así como desplazadores tanto en X como en Y, que nos situarán a dicho objeto en los lugares apropiados del registro que necesitemos y a la vez podremos conservar la autosemejanza. La siguiente imagen muestra la primera iteración, en la que hemos utilizado un factor 12 para expandir los impactos, un factor 2 para ampliar las alturas y un desplazador de –6000 midicents para transportarlas. Aquí, las dos primeras cifras indican el número de nota midi y las tres restantes nos indicarán los cents (cada semitono tiene 100 cents).

 

 

 

 

Como vemos a pesar de la expansión, el objeto es el mismo en un escalado distinto.

 

Cada salto de nivel en cuanto a las iteraciones producirá un cambio drástico en la percepción auditiva. Según las características del propio objeto y nuestro grado de entrenamiento, podremos pensar que el de mayor número de iteraciones está en relación con su modelo o con el de su iteración anterior. Cuando trabajamos con transformaciones del mismo objeto –y de esto hablaremos en la siguiente sección, en la que trataremos sistemas de funciones iteradas (I.F.S.)–, el reconocimiento auditivo de éstas dependerá del grado de agresividad que se utilice. Por ejemplo, con una pequeña ampliación y un ligero desplazamiento de la arquitectura a transformar, reconoceremos que se trata del mismo objeto; ahora bien, si la contracción o expansión es exagerada o bien si utilizamos rotaciones, percibiremos la arquitectura como algo nuevo.

 

 

Ejemplo 2

 

El ejemplo que sigue forma parte de un  material que se ha utilizado para la pieza Laberinto de la noche, obra ésta para saxofón, “ensemble” y dispositivo electrónico cuyo autor es quien suscribe estas líneas. Tengo interés en mostrarlo con el objeto de ver diversos tipos de arquitecturas que parten de un mismo origen tras haberse utilizado técnicas semejantes a las descritas con anterioridad.

 

Partiremos de un sonido multifónico del saxofón barítono. Se trata de uno de los conglomerados sonoros que puede dar el saxofón. Dicho objeto sonoro está compuesto por un gran número de notas claramente perceptibles dando la sensación que se trata de un acorde, generalmente disonante. Primeramente se hará un análisis espectral del multifónico en cuestión y extraeremos las notas más significativas (cuatro o cinco únicamente). Éstas nos servirán de semilla, al igual que antes hicimos con el motivo de J.S. Bach.

 

La siguiente imagen muestra la transcripción de las cinco notas de mayor energía dinámica del multifónico del saxofón barítono. El modelo de partida para las alturas en midicents es A=(8550, 5600, 7350, 8800, 6600), y para las dinámicas D=(67, 61, 100, 64, 85). Las duraciones se han deducido a partir del modelo de partida de las dinámicas.

 

 

 

 

El orden de los elementos de las listas es decisivo: si cambiamos el puesto de algún elemento de cualquier lista de partida los resultados serán completamente distintos, tanto si el objeto resultante va a utilizarse en forma de acorde como de secuencia. Pensemos que cualquier permutación modifica la forma. Con ello, el acorde modelo de partida encerrará tantas posibilidades de crear familias de arquitecturas a través de sus distintas iteraciones como el número de las posibles permutaciones de los elementos de la lista de partida.

 

A continuación mostramos la primera iteración tras sufrir una compresión y un desplazamiento. Podemos verla en forma de acorde y posteriormente en forma de secuencia.

 

 

  

 

Continuamos mostrando la segunda iteración en forma de acorde y posteriormente en forma de secuencia. La compresión y el desplazamiento son los mismos que en la iteración 1.

 

 

 

 

A continuación podemos ver la segunda iteración sin compresión ni desplazamiento. Las duraciones y dinámicas también han sido calculadas mediante procedimientos semejantes.

 

 

 

 

2. Sistemas de funciones iteradas (I.F.S.) como herramienta de transformación

 

Ya hemos comentado con anterioridad que multiplicando los valores de una secuencia de notas la podemos ampliar si el factor multiplicativo es mayor que 1, contraer si dicho factor es un valor comprendido entre 0 y 1 y dejar invariante si es igual a 1.

 

Esta herramienta puede servir para transformar un modelo paso a paso, o bien para producir un gran árbol de transformaciones sobre el modelo de partida.

 

Para poner en marcha el proceso podemos hacer un determinado número de transformaciones; una vez terminadas habríamos obtenido la primera iteración. Si ahora tomamos este resultado como modelo de partida y aplicamos de nuevo al mismo todas las transformaciones obtendremos la segunda iteración, y así sucesivamente.

 

Cada transformación constará de los siguientes parámetros: contracción de X, coseno del ángulo de rotación, seno del ángulo de rotación, contracción de Y, desplazamiento de X, desplazamiento de Y y probabilidad.

 

Algunas de estas funciones, como el desplazamiento de X y el de Y (éste se llama transporte en el ámbito musical), son harto conocidas en música; en cuanto a las compresiones de X, se han utilizado con algunos tipos fijos de valor (al doble, a la mitad y poco más); las compresiones de Y son más novedosas, y el giro en el espacio de una arquitectura musical es mucho más raro (resulta difícil de controlar). Dando valores de transformación a cada uno de estos parámetros podremos cambiar el aspecto de una arquitectura musical fuente. Si tenemos varias propuestas de transformación a la vez, obtendremos un árbol de copias a partir del mismo objeto (copias en distintas escalas y posiciones, que producirán un resultado musical completamente diferente unas respecto de otras). Con esta herramienta obtendremos rápidamente complejas estructuras musicales; sin embargo, será necesario controlar la ejecutabilidad de las mismas, tal como se ha comentado con anterioridad.

 

Las transformaciones podrían realizarse sobre cualquiera de los parámetros musicales (alturas, impactos, duraciones, dinámicas...). Yo los trabajo habitualmente pensando en las alturas como puntos de Y y en los impactos como puntos de X (las duraciones como dijimos tienen un punto de X que marca el comienzo y otro punto de X que marca el final). Las dinámicas, articulaciones y otros... los planteo como cualidades asociadas al objeto musical fuente que podrán ser transmitidas en herencia en cada transformación. De este modo, podemos seguir por ejemplo una dinámica en FFF (fortísimo) con un determinado acento en las sucesivas transformaciones.

 

Debemos volver nuevamente a comentar el problema del redondeo cuando asentamos estos objetos sobre la partitura gráfica (se trata de algo semejante al papel milimetrado en el que cada cuadradito representa una duración mínima, y es el que nos sirve para la codificación numérica de la partitura tradicional: sólo al final pasaremos el objeto a dicha partitura). Todo valor menor de la unidad mínima en el dominio de X deberá desaparecer o fundirse en un acorde en el punto más próximo. En el dominio de Y toda nota fuera del espacio asignado a las alturas (bien trabajando en un sistema de 12 notas, de 24, u otro cualquiera) deberá dirigirse a su posición más cercana. Todo esto hará que las autosemejanzas se deformen a medida que se transforman o se adentran en nuevas iteraciones.

 

La imagen siguiente muestra un ejemplo de tres transformaciones y una sola iteración trabajado con  I.F.S. Se ha tomado como modelo de partida la arquitectura de la imagen previa. Cada transformación se muestra en un color diferente. En las mismas se han trabajado todos los parámetros excepto la probabilidad. En la imagen aparece también el modelo original como el objeto más grande que arranca desde el comienzo. Cada una de estas transformaciones podría ser adjudicada a un instrumento, o bien repartirla entre varios.

 

Cuanto mayor sea la transformación de un objeto musical, más difícil resultará su reconocimiento auditivo.

 

 

 

 

3. Utilización musical de otros modelos  fractales

 

Hay otros tipos de fractales cuyo aprovechamiento musical se ha buscado utilizando otros caminos. Quiero referirme a los generados por algoritmos de escape tales como el conjunto de Mandelbrot y el conjunto de Julia, así como otros de naturaleza distinta, como agregaciones por difusión limitada, los generados a través del método de Newton, etc... Caso aparte sería el movimiento browniano, muy utilizado por Francisco Guerrero^[1], que tendría que tocarse en otros escritos futuros.

 

Para el tipo de fractales basados en algoritmos de escape en los que se explora un territorio del plano complejo se pensó que su aprovechamiento musical podría ser efectivo trabajando sobre las imágenes que generan los mismos. Si somos capaces de filtrar la imagen y extraer sólo parte del material que nos interesa, tal como ciertas curvas o ciertas formas, podríamos aprovechar la inmensa cantidad de programas que se han escrito para generarlos, e igualmente serviría para poder interpretar imágenes de diversa procedencia. Para ello se ha desarrollado un software especial mediante el cual una imagen puede ser descompuesta en base a los colores de sus “pixels”. Sin embargo, resulta muy complejo trabajar con 16.8 millones de colores; por ello será necesario comprimir y hacer agrupaciones de los mismos, y esto significa redondeo y, por lo tanto, pérdida de información. Pensemos que queremos capturar unos filamentos que nos resultan atractivos de una determinada imagen del conjunto de Mandelbrot y ordenamos a nuestro programa que atrape un determinado color que se encuentra en la filigrana que ha despertado nuestro interés. Pues bien, es posible que sólo consigamos unos granitos de arena, ya que el resto pertenece a colores diferentes (cada color representa unas determinadas órbitas del conjunto). Otra solución es agrupar colores, y en este caso es posible que la información que nos llevemos sea mayor. Todo esto exige un estudio concienzudo de cada imagen (debemos experimentar con las agrupaciones), y si somos pacientes al final conseguiremos atrapar material interesante.

 

Una vez que disponemos de nuestra captura este material puede nuevamente transformarse y generar nuevas “fractalizaciones”, tal como se comentó al comienzo con el motivo de J.S. Bach.

 

Cada una de las órbitas o grupos de ellas podría tener interpretaciones diferentes, de manera que unas podrían significar alturas, otras duraciones, dinámicas o cualquier otro parámetro, o incluso controlar la forma global de la pieza.

 

El siguiente cuadro corresponde al material capturado a partir de una imagen fractal tras haber sido sometida a diversos filtros de color. Se utilizó en la pieza Mizar-Alcor (para conjunto instrumental). Las barras verticales están sobreañadidas y corresponden a unidades temporales.

 

 

 

 

De la anterior imagen únicamente se tomarán dos curvas que pasarán a las dos flautas del “ensemble”. Obsérvense las líneas de duración larga, que son fruto de sumas de puntos de igual valor en Y. Debemos pensar que es necesario un buen número de herramientas informáticas para tratar las imágenes originales hasta convertirlas en arquitecturas musicalmente útiles.

 

 

 

 

Las imágenes que siguen son la transcripción a notación musical simbólica del material que contiene la imagen previa. Hay otros tratamientos necesarios para llegar a la partitura definitiva de los que no vamos a hablar, porque se encuentran fuera de la temática que nos ocupa. Con ello quisiera prevenir al lector acerca de la falsa simplicidad aparente del proceso.

 

Cada una de las dos líneas musicales pertenece a una flauta. Cada barra de compás pertenece a las líneas verticales de división temporal mostradas en la imagen previa.

 

 

 

 

La siguiente imagen corresponde a los fractales cuya autosemejanza es de tipo estadístico; concretamente,se trata de una imagen de agregación por difusión limitada. Fue utilizada en la pieza Ex pluribus naturis.

 

 

 

 

Este cuadro corresponde a una porción de la imagen superior. Los puntos están teñidos en dos colores: unos se distribuirán entre los instrumentos agudos, y los otros entre los graves.

 

 

 

 

No se aprovechó un mayor tramo de la imagen fuente, porque el conjunto instrumental era de pocos miembros (seis instrumentistas). Tras un periodo de estudio de dicha imagen únicamente se tomó un extracto en diagonal desde la zona del hipotético vértice superior izquierdo hasta otra del inferior derecho. Esta arquitectura constituirá uno de los materiales de partida para la pieza. A lo largo de la misma sufrirá un buen número de transformaciones utilizando técnicas tales como las descritas anteriormente.

 

Por último, quiero mostrar dos arquitecturas musicales que se han utilizado en la pieza Laberinto de la noche.

 

La primera ha sido extraída a partir de un pequeño tramo de un modelo basado en el sistema de ecuaciones de Lorentz. Se han tomado los valores X, Y y Z de cada vector para alimentar las alturas de tres curvas diferentes. Las duraciones y las dinámicas de las mismas están añadidas en base a otras consideraciones. Se utilizó la función Lorentz de la biblioteca OMchaos de OpenMusic para elaborar dicho objeto.

 

 

 

 

La segunda corresponde a otro pequeño tramo que deriva de un modelo de péndulo sometido a perturbaciones periódicas. Se ha utilizado la función Torus de la biblioteca OMchaos de OpenMusic. Trabaja en dos dimensiones y, al igual que se ha hecho con el modelo anterior, la X y la Y han sido tomadas para alimentar las alturas de dos curvas con duraciones y dinámicas que son de otras procedencias. Quizá lo más interesante de esta imagen es ver cómo dos curvas contienen varias capas de otras curvas interiores con pendientes suaves.

 

 

 

 

4. Conclusiones

 

Los objetos fractales disponen de características propias que los hacen ideales para ser utilizados en la composición musical. Las más importantes podrían ser la dimensión fraccionaria y la autosemejanza, y yo citaría otras cualidades subjetivas tales como rugosidad y profundidad.

 

Cualquier material musical puede ser “fractalizado” y con ello obtener familias de nuevos objetos sonoros en estrecha relación con el modelo de partida.

 

Existen muchas formas de poder trabajar con estos objetos, ya sea de manera directa o indirectamente, leyendo sus órbitas a partir de las imágenes que éstos proyectan.

 

Los fractales se adaptan bien a todos los niveles de la composición y a todos los parámetros de ésta. Podemos calcular la forma de la obra y relacionarla mediante estos objetos con los más ínfimos rincones de la misma. También podemos aplicar una arquitectura de esta índole únicamente a un parámetro tal como las alturas mientras el resto trabaja en base a otras reglas. Además, es posible interactuar entre ellos con el fin de conseguir nuevos objetos musicales. Pensemos en un material de partida que es un extracto de una imagen que será “fractalizado” y posteriormente transformado con I.F.S.

 

Y para terminar, quisiera decir que es imprescindible matematizar el espacio musical para poder trabajar con estos objetos. La forma de codificación numérica del lenguaje simbólico musical puede hacerse de muchos modos; esto dependerá de nuestros conocimientos en la materia y del tipo de tareas que vayamos a realizar. Finalmente, cuando se hayan efectuado los cálculos, la codificación numérica se traducirá nuevamente en escritura musical tradicional.

 

 

Agradecimientos

 

No quisiera terminar este artículo sin dar las gracias a Carlos Frías por su entusiasmo en la aventura de búsqueda que compartimos desde hace ya mucho tiempo en la elaboración de programas de asistencia a la composición musical, y a Marta Macho por darme la oportunidad de poder contar algo de ello.

 

 

Referencias

 

Bibliográficas

 

J. Barrallo Calonge: Geometría fractal: algorítmica y representación. Ediciones Anaya Multimedia, 1993.

M. de Guzmán, M.A. Martín, M. Morán, M. Reyes: Estructuras fractales y sus aplicaciones. Labor Matemáticas, Editorial Labor, 1993.

E.N. Lorenz: The essence of chaos. Traducción al castellano de F. Paez de la Cadena: La esencia del caos. Editorial Debate, 1995.

B. Mandelbrot: The fractal geometry of nature. Traducción al castellano de J. Llosa: La geometría fractal de la naturaleza. Metatemas 49, Tusquets Editores, 1997.

P. Smith: Explaining Chaos. Traducción al castellano de A. Resines y H. Bevia: El caos: una explicación a la teoría. Cambridge University Press, 2001.

I. Xenakis: Musiques formelles. Nouvaux principes formels de composition musicale. Editions Richard-Masse, 1963.

I. Xenakis: Musique. Architecture. Traducción al catalán de A. Bofill: Música. Arquitectura. Antoni Bosch Editor, 1982.

 

 

Páginas web

 

Es abrumador el número de páginas que podemos encontrar en relación a los fractales simplemente tecleando “fractals” en el buscador. A pesar de ello, no me atrevo a recomendar ninguna página en relación a fractales y música, por disentir con los resultados estéticos obtenidos que éstas reflejan.

 

A continuación señalo algunas en las que asiduamente he consultado información:

 

• Geometría Fractal, http://coco.ccu.uniovi.es/geofractal

• Fractalus, http://www.fractalus.com

• Zona Fractal, http://www.quanta.net.py/zfractal/mainmenu.htm

• Wikipedia, http://es.wikipedia.org/wiki/Fractal

 

Quisiera remarcar especialmente la página del compositor Iannis Xenakis, http://www.iannis-xenakis.org. A pesar de no tocar el tema de los fractales en relación con la música, es el pionero en relación a las técnicas compositivas que utilizan modelos estocásticos, de estrategia musical, simbólicos y otros relacionados con técnicas derivadas del estudio del caos.

 

 

Programas

 

• OpenMusic, http://www.ircam.fr/logiciels_forum.html.

• Plataforma Cygnus X-1. Se trata de un conjunto de programas elaborados por Carlos Frías y Carlos Satué en el entorno de Future Basic (lenguaje de programación en Macintosh). Dichos programas han servido para elaborar algunas de las imágenes que hemos visto con anterioridad y han hecho posible la construcción de mis piezas musicales.

 

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^[1] Compositor español (1951-1997). Utilizó, entre otras cosas, modelos compositivos basados en el movimiento browniano en muchas de sus obras. Entre ellas podemos citar la serie escrita para cuerda titulada Zayin (compuesta por 8 números). Hay un CD editado cuyas referencias doy a continuación: DS-0127//Música de Andalucía//Almaviva//WDR. La interpretación corre a cargo del cuarteto de cuerda “Arditti String Quartet”. Se pueden encontrar otras referencias de Francisco Guerrero en http://Brahms.ircam.fr/textes/c00000939/index.html.