Recibido: lunes, 28 febrero 2005
Buscando
lo óptimo: de la reina Dido a la carrera espacial
David
Martín de Diego
Departamento
de Matemáticas
Instituto
de Matemáticas y Física Fundamental
Consejo
Superior de Investigaciones Científicas
e-mail:
Esta dirección de correo electrónico está protegida contra los robots de spam, necesita tener Javascript activado para poder verla
página web: http://www.imaff.csic.es/mat/david/index.htm
Introducción
En este artículo nos detendremos en uno de los más fascinantes
problemas de las matemáticas: la búsqueda
de lo óptimo. Observaremos que en los
procesos naturales, así como en los elementos fabricados usando la más moderna
tecnología, aparece un principio común: la optimalidad de su diseño.
La rama de las
matemáticas que estudia estas formas optimales es el cálculo
de variaciones. Nos centraremos en problemas fundamentales, llenos de
una rica historia, que dieron inicio a esta bella teoría matemática, desde el problema isoperimétrico
a la solución detallada del problema de la braquistócrona
(examinando, por ejemplo, en detalle la maravillosa demostración dada por
Johann Bernoulli), que posteriormente dio lugar a la formalización del cálculo
de variaciones de Euler y al maravilloso e intrincado mundo de las películas de
jabón o superficies
minimales.
Para terminar este
paseo nos situaremos en tiempos más recientes, en los que ya no nos bastará
con observar las leyes de la Naturaleza, sino que ahora pretenderemos
modificarlas. Aparecen así la teoría del
control y la teoría del control
óptimo. Nuestros vehículos,
tripulados o no, requieren un control si queremos que sigan un comportamiento
adecuado o una planificación prefijada. En el caso de un vehículo con ruedas
los controles nos permiten frenarlo, acelerarlo, llevarlo por la dirección
requerida... Estos controles se activan manualmente, por radio control o
automáticamente, o los diseña nuestro sistema (vía feedback). Pueden actuar
llevando nuestro sistema de un punto a otro o evitando desviaciones de la
trayectoria que queremos seguir. En muchos casos el sistema es inestable y
necesitamos introducir controles para evitar grandes perturbaciones del mismo.
La aplicación no se reduce a problemas de mecánica, sino que tiene un ámbito mayor: teorías del crecimiento económico,
ecología, planificación comercial, medicina, robótica...
La Naturaleza
ya optimizaba
|
|
Es frecuente observar
en la Naturaleza, tanto a su nivel macroscópico como microscópico,
maravillosas y bellas configuraciones y construcciones, la mayor parte de
ellas basadas en la simetría y/o en la optimalidad de su diseño. Estas
configuraciones aparecen, por ejemplo, en el movimiento de los cuerpos
celestes, en las agrupaciones de organismos microscópicos en maravillosas
colonias de simetría esférica (esta simetría se podría justificar en términos
de principios óptimos, pues la esfera es la superficie que a igual volumen
requiere menos área superficial...). Esta sorprendente simetría llegó a fascinar
a los antiguos griegos, hasta el extremo, como Jenófanes en el año 500
a.C., de proponer un dios esférico, eliminando así todos los antiguos dioses
de la mitología griega (ideas que posteriormente fueron recogidas por
Aristóteles).
|
|
Figura 1. Cuerpos celestes.
|
El problema
isoperimétrico
En la Eneida de Virgilio encontramos una
referencia a una interesante propiedad optimal de la circunferencia. La
historia, eliminando su belleza poética, es la siguiente:
En el siglo
IX antes de Cristo, huyendo la princesa fenicia Dido de su hermano Pigmalión,
que había asesinado a su marido, llega a las tierras del Norte de África
(Túnez) donde alcanza un acuerdo con sus habitantes. Al querer la princesa Dido
comprar tierra para establecerse con su pueblo, el rey de aquellas gentes solamente
le consiente comprar la parcela de tierra que pueda ser cubierta por la piel de
un toro. Dido cortó la piel en finas tiras formando una larga cuerda (de unos 1000
ó 2000 metros) y la dispuso de manera que cubriese la mayor parte de terreno
posible...
¡Éste es el problema que
nos interesa!
Dido resolvió el
siguiente problema: "Encontrar,
entre todas las curvas cerradas de longitud fijada, aquella que delimita la
superficie más grande".
|
Su solución es obvia:
la circunferencia, pero la
demostración completa de esta propiedad necesitó siglos de esfuerzo
matemático.
Dejando un poco aparte
la leyenda, vamos a pasar a reflexionar algo sobre el problema isoperimétrico
y su rica y fructífera historia. Este problema está unido a otro, tan o más
antiguo que el problema isoperimétrico: ¿cuál es la curva de longitud mínima
uniendo dos puntos fijados del plano? La respuesta a ambos es obvia, pero no
tan fácil es dar una demostración rigurosa (siglo XIX para el isoperimétrico
y siglo XVIII para el geodésico).
La relación entre área
y perímetro causó algunas confusiones en tiempos de los griegos. Por ejemplo,
buscaban conocer el área de una isla por medio de la duración de un circuito
de barco a lo largo de la costa.
|
|
|
Figura 2. La reina Dido.
|
También Polibio (Megalópolis 208 a.C. - 126 a.C.)
relataba esta confusión en sus Historias,
donde contaba la sorpresa que producía a eminentes políticos y altos mandos del
ejército, que, por ejemplo, la ciudad de Megalópolis tuviese 50 estadios de
perímetro, mientras Esparta solamente 48 y, sin embargo, Esparta fuese dos
veces más grande que Megalópolis.
|
|
|
|
|
Figura 3. El ejemplo de Proclo.
|
Proclo ya observa
esta propiedad, y pone un ejemplo interesante de dos triángulos isósceles, uno
con lados 5, 5 y 6 y otro con lados 5, 5 y 8, que tienen igual área.
|
|
Yendo más allá, el
matemático sueco Helge von Koch (1870-1924)
encontró una curva, llamada curva
de Koch o copo de nieve de Koch,
que tiene longitud infinita pero área finita, al "vivir" en una región
acotada del plano. Se comienza con un triángulo equilátero, con lados de longitud
1, y en la primera iteración, dividiendo en tres cada lado, se reemplaza la
parte de en medio por los dos lados de un triángulo equilátero de lados ahora
1/3. Este proceso se itera hasta el infinito.
Para ver que el
perímetro es infinito basta observar que en la iteración  tenemos:
|
|
Figura 4. Curva de Koch.
|
y, por tanto, su perímetro será
Una de las
aproximaciones más interesantes a la solución del problema
isoperimétrico fue dada por Jacob Steiner en 1841, pero en su demostración
suponía que existía solución al problema (véase que esta suposición puede
llevar a errores, como, por ejemplo, en el problema de Kakeya).
No fue hasta que se emplearon herramientas analíticas cuando se encontró una
solución completa del problema.
La Helena de
la Geometría
|
Muchos hemos visto una película
de reciente estreno titulada Troya. Las motivaciones para verla
pueden ser diferentes: la belleza de los actores y actrices (muchos), el
brillante espectáculo (algunos), o conocer la historia de la guerra de Troya
(unos pocos). Los que ya habían leído la Ilíada
de Homero,
después de ver la película habrán llorado amargamente. Pero no hemos venido
aquí a hacer una crítica de cine; estamos interesados en Helena,
la bella mujer causante de la guerra de Troya. Destacamos estas dos facetas,
una maravillosa belleza y, también, la causa de muchos conflictos. La Helena
sobre la que queremos hablar no es una mujer, pero, al igual que su tocaya, es bella y causante de muchos líos.
|
|
|
Figura 5. Helena de Troya.
|
¿Pero, entonces, quién o qué es esta nueva Helena?
Nuestra Helena es una curva.
¿Cómo se construye la curva que hemos llamado la
Helena de la Geometría? La Helena
de la Geometría es
una curva que se llama la cicloide. Es muy fácil entender cómo se
construye. Imagina la cubierta de la rueda de una bicicleta y pinta sobre ella
un punto de color rojo de modo que la veas bien de lado. Este punto rojo
describirá una curva a medida que la bicicleta se mueve por una carretera
recta. La curva que va trazando es la que llamamos la cicloide.
|
|
|
Figura 6. Trazado de la cicloide.
|
La cicloide tiene un montón de propiedades
bellísimas que a muchos nos han sorprendido cuando las hemos descubierto y nos
han llevado a amar las matemáticas. Además, no es descabellado decir que la cicloide está detrás de desarrollos que
han dado lugar a descubrimientos científicos que nos han conducido a nuestra
actual sociedad tecnológica. ¿Por qué la
llamamos Helena? La belleza ya empezamos a descubrirla, pero, además,
provocó tremendas disputas entre matemáticos..., peleas de celos por la prioridad de tal o cual propiedad de la
cicloide, acusaciones de plagio...
|
|
|
Figura
7. El problema de Galileo.
|
Galileo
Galilei (1564-1642) fue uno de los primeros que se interesó en esta curva.
Una de las preguntas que se planteó era relacionar el área o superficie
cubierta por un arco de cicloide con el área del círculo que está rodando.
Construyó figuras de madera y las cortó, después las pesó y obtuvo un valor
próximo a 3. Dado que de la circunferencia surge uno de los números más bellos
de las matemáticas, el número (este
número da la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro),
Galileo supuso que la relación entre el área de la cicloide y del círculo debía
ser . Pero se
equivocó: un poco más tarde, Roberval
y Torricelli demostraron que la relación es exactamente 3. Todo ello, por
supuesto, entre disputas entre Roberval y Torricelli sobre quién había
encontrado la demostración primero y mutuas acusaciones de plagio.
Otro matemático, Pascal,
durante un terrible dolor de muelas y desesperado al no poder aguantarlo más,
para no pensar en su dolencia se puso a meditar sobre nuestra Helena, la
cicloide. Como por arte de magia, el dolor remitió y Pascal lo tomó como una
señal y se dedicó con furia a estudiar las propiedades de la cicloide. Todo
ello le llevó a escribir un libro titulado Historia de la cicloide. Por
supuesto, que nadie tome esto como un alegato contra la higiene dental: ha
habido más matemáticos que han hecho descubrimientos sin dolor de muelas que
con dolor. Así que lavémonos los dientes tres veces al día, por lo menos.
Otra interesante propiedad,
que se debe a Huyghens
(Figura 8), es
la tautocronía de la
cicloide; es decir, si ponemos una cicloide vertical y colocamos dos canicas
con la misma masa en ella, a diferentes alturas, entonces las dos llegan al
punto más bajo al mismo tiempo. Esta propiedad le permitió a Huyghens mejorar
la construcción y diseño de relojes.
|
|
|
|
|
Figura 8. C. Huyghens.
|
|
Figura 9. Comprobación
experimental de la solución al problema de la braquistócrona.
|
La importancia de la cicloide y por lo que se ganó
con justa fama el nombre de Helena, radica en el estudio de la curva de más rápido
descenso o, como se conoce en el mundo científico, la búsqueda de la braquistócrona. Así de provocativamente se
dirigió uno de los más famosos matemáticos del mundo para ver quién era capaz
de resolver el problema siguiente: Dados dos puntos y en un plano vertical, hallar la curva trazada
por un punto bajo la única acción de la gravedad, que empieza en
y alcanza en el mínimo tiempo.
Yo, Johann Bernoulli, me dirijo a
los matemáticos más brillantes del mundo. Nada es más atractivo para las
personas inteligentes que un problema honesto y estimulante, cuya solución dará
fama y permanecerá como un monumento eterno para la posteridad. Siguiendo el
ejemplo dado por Pascal, Fermat, etc. espero ganar la gratitud de toda la
comunidad científica planteando a los más sagaces matemáticos de nuestro tiempo
un problema que pondrá a prueba sus métodos y la fortaleza de su intelecto. Si
alguno me comunica la solución del problema propuesto, le declararé
públicamente digno de fama...
El problema solamente pudo ser resuelto por algunos
de los principales científicos de la época, en particular, por Newton, Leibniz
y los hermanos Johann y Jacob Bernoulli; en definitiva, por aquellos que
disponían de una nueva herramienta matemática que surgió en aquella época: el Cálculo
Diferencial. Podemos decir sin exagerar que con la aparición del Cálculo
Diferencial se abrió el camino que nos ha llevado a nuestra actual sociedad
tecnológica. La autoría del Cálculo Diferencial se atribuye conjuntamente a
Newton y a Leibniz; pero claro, siendo uno inglés y otro alemán, hay quienes conceden
la autoría a uno u otro, aunque todos se acusan de plagio. También, en esta
enconada pelea, se encuentra nuestra Helena, pues la solución del problema de
la braquistócrona es la cicloide. En un artículo de Leibniz, éste señala que solamente los que conocían el nuevo
cálculo, que él había inventado, estaban capacitados para resolver el problema
de la braquistócrona. Obviamente, esta información hacía pasar a Newton como un
discípulo de Leibniz y, por supuesto, los ingleses no lo consintieron y
acusaron formalmente de plagio a Leibniz, formándose un tremendo lío que
todavía dura. Y nuestra Helena, en medio de todo...
Solución de
Johann Bernoulli
A continuación vamos a analizar, sin entrar en muchos detalles, la demostración dada por Johann
Bernoulli, al encontrarse en ella reunidas una maravillosa combinación de
belleza matemática y una magnífica
intuición física.
|
|
|
Figura 10. Ley de Snell.
|
Bernoulli conocía la ley de refracción de la luz (Ley de Snell),
que indicaba que durante el proceso de refracción de la luz entre diferentes
medios la razón entre los senos de los ángulos formados se mantiene constante.
Este principio, justificado por Fermat en su principio
del tiempo mínimo, señala que la razón entre los senos es equivalente a la
razón entre la velocidad de la luz en los diferentes medios; es decir,
También Bernoulli conocía que la velocidad de caída
de un cuerpo es proporcional a la raíz cuadrada de la distancia desde donde cae
(Ley de Galileo). Así, la velocidad tras metros de caída es .
Asumiendo
ahora que el plano vertical está compuesto por capas de grosor infinitesimal
con densidades variables, Bernoulli identifica el problema de la curva de
mínimo tiempo de descenso con el problema equivalente de encontrar la
trayectoria que seguiría un rayo de luz con dirección cambiante al pasar de una
capa a otra aplicando la ley de Snell (Figura 11). Infinitesimalmente, estamos
diciendo que la curva buscada verificará que, en todo punto, el seno del ángulo
entre la tangente a la curva y el eje vertical será proporcional a la
velocidad. Matemáticamente,
y así
lo que lleva finalmente a una ecuación diferencial: ,
cuya solución es la cicloide.
Basta de
observar. ¡También queremos optimizar nosotros!
En esta sección nos centraremos más
en detalle en técnicas matemáticas que nos permiten acercarnos a lo más
"beneficioso" para nosotros: aquello que nos permita llegar en mínimo tiempo,
nos resulte más barato, consuma menos combustible, más saludable... En este
caso elegiremos entre los controles disponibles admisibles (si éstos existen)
aquél o aquéllos que minimicen o maximicen una cierta función (o funcional) de
coste. En definitiva, debemos utilizar el control que consideremos más óptimo.
Aquí nos detendremos en algunos ejemplos sencillos de aplicación en ámbitos muy
diferentes: ecología, medicina, robótica, control de un vehículo lunar, economía...
para, de este modo, señalar la omnipresencia de la teoría del control en todos
los ámbitos de la ciencia.
Leibniz utilizó la palabra óptimo
basándose en la palabra latina "optimus", que significa "lo mejor". La palabra
latina deriva del nombre de la diosa romana Ops,
diosa de la abundancia agrícola (de su nombre se deriva la palabra opulencia, operaciones, operador...).
La teoría del control óptimo surgió ante la dificultad que se encontró para
aplicar el cálculo de variaciones tradicional cuando los controles están
restringidos a tomar valores en un cierto conjunto (incluso cerrado) y se les
permite ser funciones continuas a trozos. La culminación de la nueva teoría la
lograron Pontryaguin
y sus colaboradores a finales de los años cincuenta del siglo XX.
Los elementos que
intervienen en la descripción formal de un problema de control son:
Algunos ejemplos
Llegada
óptima a una posición fijada
En el proceso de fabricación de
microchips es frecuente encontrarse con el problema de llevar un objeto
diminuto de una posición a otra. Obviamente, esto no puede hacerse con las
manos ni con herramientas usuales; es necesario utilizar pequeños chorros de
aire, campos magnéticos, eléctricos...
Consideremos el problema de llevar
un objeto en una línea (eje de abscisas ,
por ejemplo). Como sabemos el estado del sistema está determinado por la
posición y la velocidad del objeto, por eso introducimos una nueva variable representando la velocidad; constituyen
las variables del sistema. La fuerza es la magnitud controlable y la designaremos
por la variable .
Como función de coste consideramos el problema de minimizar el tiempo (también
podríamos considerar el gasto energético). La formulación matemática de este problema
es la siguiente:
Las ecuaciones de estado ligando las
variables de estado con los controles son:
Para que el problema sea
realista supongamos que la variable de control está acotada entre y :
El tiempo inicial puede
ser 0 y el tiempo de llegada debe ser minimizado:
con El coste a minimizar es
Tratamiento
de la diabetes
De un modo simplificado, la cantidad
de glucosa en la sangre es controlada por la presencia de insulina producida
por el páncreas. La insulina hace que el exceso de glucosa se deposite en el
hígado. Tras la ingestión de glucosa en la comida, el paciente sano aumenta el nivel de insulina en la sangre. La
insulina degenera tras un proceso metabólico y, por tanto, es necesario
producir más cantidad. Una falta de respuesta adecuada del páncreas a las
necesidades de insulina en la sangre puede provocar consecuencias fatales. Si
el mecanismo natural falla es necesario inyectar ciertas cantidades de insulina
en el flujo sanguíneo. La formulación matemática del problema es la siguiente:
|
|
|
Figura 12. Metabolismo de la
glucosa en el paciente diabético.
|
Aterrizaje
en la Luna
La teoría de control y control
óptimo se usó extensivamente en la planificación del aterrizaje de un módulo espacial
en la superficie de la Luna en las misiones
realizadas en 1966. En este caso, en vez de minimizar el tiempo es más
importante encontrar la manera de minimizar el gasto de combustible. Por
supuesto, se quiere realizar un aterrizaje "suave" en la superficie del
satélite; es decir, se desea llegar a la superficie con velocidad cero.
|
|
|
Figura 13. Módulo lunar.
|
Conclusión
Con este breve paseo matemático por
el concepto de optimalidad se ha pretendido acercar al lector la belleza de
estos problemas y su importancia, tanto histórica como por sus aplicaciones, no
sólo en las matemáticas sino en todas las ciencias. Por supuesto, para una
aproximación con más rigor se recomienda un nuevo paseo por la bibliografía
reseñada.
Referencias
M. de
Guzmán: Construcciones geométricas con materiales diversos,
http://usuarios.bitmailer.com/edeguzman/GeometLab/indice.htm
S. Hildebrandt, A. Tromba: Mathématiques et formes optimales. Pour
la Science, Berlin, 1986.
L.M. Hocking: Optimal control: An introduction to the theory with
applications. Clarendon Press, Oxford, 2001.
D.G. Hull: Optimal control theory for applications. Mechanical
Engineering Series, Springer-Verlag, Berlin, 2003.
P. Kunkel: Whistler
Alley Mathematics, http://whistleralley.com/math.htm
P.J. Nahim: When least is best. Princeton University Press,
Princeton, 2004.
C.R. Nave:
HyperPhysics, http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hph.html
C. Sánchez
Fernández, C. Valdés Castro: De los Bernoulli a los Bourbaki, una historia
del arte y la ciencia del cálculo. Nivola, Madrid, 2004.
Differential
Geometry web site in memory of Professor Alfred Gray,
http://math.cl.uh.edu/~gray
La Gaceta
de la Real Sociedad Matemática Española,
http://www.rsme.es/gacetadigital
Interactive
Mathematics Miscellany and Puzzles, http://www.cut-the-knot.org
The
MacTutor History of Mathematics archive,
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history
Mathworld,
http://mathworld.wolfram.com
|
|
Sobre el autor
|
|
David Martín de Diego es autor de treinta y seis
artículos en revistas internacionales recogidas en el Journal Citation Reports del Science
Citation Index y de trece publicaciones en actas de congreso (con
evaluador). Ha sido conferenciante invitado en congresos internacionales en seis
ocasiones. Ha participado en cuatro proyectos de investigación nacionales y
tres internacionales. Es Codirector de La
Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española. Entre sus principales
líneas de investigación se encuentran las teorías de control óptimo y sus
aplicaciones a la economía.
|
