Recibido: jueves, 24 agosto 2006

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¿Qué pasaría si... (*)

 

...nos propusieran el siguiente acertijo? ¿Podríamos encontrar la respuesta?

 

Isabel tiene seis hermanos más que hermanas y su hermano Javier tiene cuatro hermanos más que hermanas. Si en total hay menos de diez hijos en la familia, ¿cuántos hermanos y cuántas hermanas hay?

 

[La solución, en el próximo número]

 

Pinche sobre una fórmula para ampliarla. Vuelva a pinchar sobre ella para reducirla, o pinche manteniendo pulsada la tecla [shift] para reducir todas las que permanezcan ampliadas.

 

Solución al problema anterior

 

 

...quisieras reproducir el diseño de la Figura 1:

 

 

Figura 1.

 

recortando y pegando trozos de papel? ¿Cuánto papel necesitarías de cada color, si el diseño está dentro de un cuadrado de un metro de lado?

 

 

Respuesta: Se necesitan metros cuadrados de papel gris claro y la misma cantidad de papel gris oscuro, o sea un poco menos de metros cuadrados de cada color. También se necesitan  metros cuadrados de papel marrón claro y otro tanto de papel marrón oscuro. En cuanto al papel malva, se necesitan  metros cuadrados de cada uno, malva claro y malva oscuro, o sea un poco menos de  metros cuadrados. Finalmente, también se necesitan   metros cuadrados de papel amarillo.

 

Veamos cómo hemos llegado a estos números. Los colores gris claro y gris oscuro ocupan cada uno un cuarto del círculo de radio metros, que tiene un área de   metros cuadrados.

 

Para calcular la cantidad de papel marrón, observamos que la diagonal del cuadrado ABCD de la Figura 2:

 

 

Figura 2.

 

es igual al radio del círculo circunscrito, o sea es igual a    metro. Por lo tanto, el lado del cuadrado ABCD debe ser igual a    metros. Es decir, que se necesitan    metros cuadrados de papel marrón claro y otro tanto de papel marrón oscuro.

 

La diferencia entre el área del cuadrado exterior y el área del círculo inscrito en él es    metros cuadrados. O sea que vamos a necesitar    metros cuadrados de papel malva claro y la misma cantidad de papel malva oscuro.

 

Del papel amarillo necesitaremos por un lado    metros cuadrados. Por otro lado, la diferencia entre las áreas del círculo de radio   metros y el cuadrado ABCD inscrito es    metros cuadrados, con lo cual también necesitamos   metros cuadrados del papel amarillo. En total vamos a necesitar    metros cuadrados del papel amarillo.

 

Una manera de comprobar que nuestras cuentas son correctas es ver que

 

 

 

En realidad lo que pasa es que todos los términos que contienen    suman cero:

 

 

 

y todos los otros términos suman uno:

 

 

 

Esta observación es un caso particular del siguiente resultado:

 

La identidad  ,  con    números racionales, sólo puede ser cierta cuando    y   .

 

En efecto, si    tendríamos   , lo cual no es posible porque  es un número irracional.

 

Sobre la autora

Josefina (Lolina) Álvarez es Professor of Mathematics en New Mexico State University (USA). Especialista en análisis armónico y funcional, se doctoró en Matemáticas por la Universidad de Buenos Aires (Argentina), bajo la dirección de A.P. Calderón. Ha ocupado diversos puestos y cargos académicos en la Universidad de Buenos Aires y en las estadounidenses de Princeton, Chicago, Florida Atlantic University y New Mexico. Ha sido investigadora del CONICET (Argentina). Miembro de la Unión Matemática Argentina, Mathematical Association of America y American Mathematical Society, formó parte del Committee on Committees de esta última entre 1999 y 2002. Ha dictado numerosas conferencias en congresos y sesiones especiales e impartido seminarios en Alemania, Argentina, Bélgica, Brasil, Canadá, Colombia, España, Estados Unidos, México, Perú, Polonia, Suecia y Venezuela. Ha pertenecido y en varias ocasiones presidido los comités organizadores de distintos congresos y minisimposia. Ha ejercido como evaluadora para prestigiosas revistas especializadas. Desde 2002 es Editora Asociada del Rocky Mountain Journal of Mathematics. Autora o coautora de numerosos artículos científicos y varias monografías en análisis armónico y funcional y directora de dos tesis doctorales, ha desarrollado asimismo una intensa actividad en el campo de la educación matemática, habiendo recibido diversos galardones a la excelencia docente.