Recibido: miércoles, 23 febrero 2005

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Música y matemáticas

 

Juan M.R. Parrondo

Departamento de Física Atómica, Molecular y Nuclear

Universidad Complutense de Madrid

e-mail: parr @ seneca.fis.ucm.es

página web: http://seneca.fis.ucm.es/parr

 

 

Las matemáticas se encuentran con la música en muchos flancos. Puesto que son la herramienta básica de la física, todo el tratamiento de las ondas sonoras es puramente matemático. Pero las matemáticas no sólo sirven para describir y entender las propiedades del sonido, que son puramente físicas, sino que también sirven para explicar fenómenos puramente musicales, como la percepción de la tonalidad o la consonancia, para generar nuevos sonidos o para diseñar escalas musicales y métodos de composición.

 

¿Qué diferencia la música del ruido? Un sonido es una onda de presión que se propaga a través del aire u otro medio. Si la onda es completamente periódica, es decir, un patrón que se repite en el tiempo, entonces percibimos el sonido correspondiente como musical y le asociamos un tono, una altura. La onda periódica más simple es el llamado tono puro, cuya forma se representa en la Figura 1.

 

 

La altura que asociamos a un sonido normalmente coincide con la frecuencia fundamental. Sin embargo, el proceso de identificación de la altura es muy complejo y da lugar a fenómenos curiosos y a auténticas paradojas o ilusiones auditivas. Una de las más famosas es la escala de Shepard  y el glissando de Risset, el equivalente acústico de las conocidas escaleras que siempre suben (o bajan) de Escher (Figura 2). En ambos casos oímos una escala o una nota que parece caer indefinidamente cuando en realidad se trata de un sonido que se repite. Pueden encontrar muchas versiones de las dos ilusiones musicales en Internet. Una de las mejores es precisamente una de las primeras grabaciones del glissando de Risset. En este enlace se explica la escala de Shepard, y pinchando en APPLET se puede escuchar y ver una demostración del fenómeno (aunque, en mi opinión, la parte acústica no está muy conseguida).

 

 

Figura 2. M.C. Escher: Escaleras arriba y escaleras abajo

(litografía, 1960).

 

Las matemáticas no sólo nos ayudan a entender cómo interpretamos la altura de un sonido, sino también cuestiones más subjetivas como cuán agradable o desagradable es una combinación de sonidos, algo conocido como la teoría de la consonancia. La teoría de la consonancia de Plomp y Levelt está basada en una idea muy simple: dos tonos puros producen una sensación desagradable al oído si sus frecuencias son cercanas.  Con algunas suposiciones adicionales, puede calcularse el grado de disonancia o de “desagrado” entre dos sonidos producidos, por ejemplo, por un piano o una guitarra. Recordemos que estos sonidos son sumas de tonos puros. Lo único que hay que hacer es sumar la disonancia de cada pareja de tonos puros. El resultado es sorprendente: la disonancia baja acusadamente en 6 frecuencias que forman, precisamente, las escalas mayor y menor más utilizadas en todas las civilizaciones: las llamadas escalas pentatónicas.

 

 

 

Figura 3. Curva de disonancia.

 

 

Si quieren ustedes mismos crear gráficas parecidas a la de la Figura 3, pueden hacerlo con el applet de Java dissonance curve.

 

Hablando de escalas, uno de los problemas matemáticos más complejos de la historia de la música ha sido su diseño. Es imposible crear una escala en donde todos los intervalos sean consonantes. Si utilizamos la gráfica de arriba empezando por el Do, podemos colocar Mi, Fa, Sol, La y Do de modo que formen intervalos completamente consonantes. Esta escala, debidamente completada con el Re y el Si, se llama escala justa de siete notas (Tabla 4):

 

 

 

Tabla 4. Escala justa de siete notas.

 

 

Entre el Re y el Sol hay un intervalo 3/2:9/8=4/3 que es consonante, pero el intervalo entre el Re y el La es: 5/3:9/8=40/271'480, ligeramente inferior al intervalo consonante 3/2.

 

Esta imposibilidad llevó a matemáticos y músicos a crear una infinidad de escalas. Galileo o Euler han dado nombre a alguna de ellas. El problema se resolvió de forma un tanto categórica con la escala temperada, en el que sólo la octava (el intervalo que va de Do a Do) es consonante.

 

Existe un software gratuito, desarrollado por el Huygens-Fokker Foundation, que permite analizar escalas (tiene almacenadas más de tres mil), diseñarlas y tocar con ellas. Se trata de Scala, una auténtica joya para los aficionados a la matemática musical.

 

Si quieren profundizar más en la teoría de la consonancia, en el diseño de escalas o en muchos otros problemas matemáticos de la música, les aconsejo fervientemente que bajen de Internet el libro de David Benson, Mathematics and Music. Es una obra muy completa y rigurosa y su autor la ofrece gratuitamente en su página web. Tardará en bajar si tienen una conexión lenta, pero la espera merece la pena.

 

 

Referencias

 

Acoustical Society of America: Some interesting sounds, http://asa.aip.org/sound.html

D. Benson: Mathematics and Music,

http://www.math.uga.edu/~djb/html/math-music.html

S. Flinn: Shephard's Tones, http://www.cs.ubc.ca/nest/imager/contributions/flinn/Illusions/ST/st.html

A.M. Higgins: What is timbre?, http://www.clubi.ie/amhiggins/start.html

J. Jenssen: Deriving the musical scale, http://home.austin.rr.com/jmjensen/musicTheory.html

W.A. Sethares: Relating tuning and timbre, http://eceserv0.ece.wisc.edu/~sethares/consemi.html

Huygens-Fokker Foundation, http://www.xs4all.nl/~huygensf/english/index.html

 

 

 

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