Recibido: miércoles, 23 febrero 2005
Música y
matemáticas
Juan
M.R. Parrondo
Departamento
de Física Atómica, Molecular y Nuclear
Universidad
Complutense de Madrid
e-mail: parr @ seneca.fis.ucm.es
página web: http://seneca.fis.ucm.es/parr
Las matemáticas se encuentran con la
música en muchos flancos. Puesto que son la herramienta básica de la física,
todo el tratamiento de las ondas sonoras es puramente matemático. Pero las matemáticas
no sólo sirven para describir y entender las propiedades del sonido, que son
puramente físicas, sino que también sirven para explicar fenómenos puramente
musicales, como la percepción de la tonalidad o la consonancia, para generar
nuevos sonidos o para diseñar escalas musicales y métodos de composición.
¿Qué diferencia la música del ruido?
Un sonido es una onda de presión que se propaga a través del aire u otro medio.
Si la onda es completamente periódica, es decir, un patrón que se repite en el
tiempo, entonces percibimos el sonido correspondiente como musical y le asociamos
un tono, una altura. La onda periódica más simple es el llamado tono puro, cuya forma se representa en
la Figura 1.

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Lo que vemos en esta gráfica es cómo
cambia la presión en un punto, nuestro tímpano por ejemplo, en función del
tiempo. Pero un instrumento musical emite ondas más complejas, aunque siempre
periódicas. Estas ondas pueden considerarse como la suma de tonos puros de
distintas frecuencias, múltiplos de una dada que se llama frecuencia fundamental. Aquí
pueden escuchar tonos puros y ondas más complejas que pueden construir
ustedes mismos.
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Figura 1. Tono puro.
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La altura que asociamos a un sonido
normalmente coincide con la frecuencia fundamental. Sin embargo, el proceso de
identificación de la altura es muy complejo y da lugar a fenómenos curiosos y a
auténticas paradojas o ilusiones auditivas. Una de las más famosas es la escala de Shepard y el glissando
de Risset, el equivalente acústico de las conocidas escaleras que siempre
suben (o bajan) de Escher (Figura 2).
En ambos casos oímos una escala o una nota que parece caer indefinidamente
cuando en realidad se trata de un sonido que se repite. Pueden encontrar muchas
versiones de las dos ilusiones musicales en Internet. Una de las mejores es
precisamente una de las primeras grabaciones del glissando de
Risset. En este enlace se explica la escala de Shepard, y pinchando en
APPLET se puede escuchar y ver una demostración del fenómeno (aunque, en mi
opinión, la parte acústica no está muy conseguida).

Figura 2. M.C. Escher: Escaleras
arriba y escaleras abajo
(litografía, 1960).
Las matemáticas no sólo nos ayudan a
entender cómo interpretamos la altura de un sonido, sino también cuestiones más
subjetivas como cuán agradable o desagradable es una combinación de sonidos,
algo conocido como la teoría de la consonancia.
La teoría
de la consonancia de Plomp y Levelt está basada en una idea muy simple: dos
tonos puros producen una sensación desagradable al oído si sus frecuencias son
cercanas. Con algunas suposiciones
adicionales, puede calcularse el grado de disonancia o de “desagrado” entre dos
sonidos producidos, por ejemplo, por un piano o una guitarra. Recordemos que estos
sonidos son sumas de tonos puros. Lo único que hay que hacer es sumar la disonancia
de cada pareja de tonos puros. El resultado es sorprendente: la disonancia baja
acusadamente en 6 frecuencias que forman, precisamente, las escalas mayor y
menor más utilizadas en todas las civilizaciones: las llamadas escalas pentatónicas.

Figura 3. Curva de disonancia.
Si quieren ustedes mismos crear
gráficas parecidas a la de la Figura 3, pueden hacerlo con el applet de Java
dissonance
curve.
Hablando
de escalas, uno de los problemas matemáticos más complejos de la historia de la
música ha sido su diseño.
Es imposible crear una escala en donde todos los intervalos sean consonantes.
Si utilizamos la gráfica de arriba empezando por el Do, podemos colocar Mi, Fa,
Sol, La y Do de modo que formen intervalos completamente consonantes. Esta
escala, debidamente completada con el Re y el Si, se llama escala justa
de siete notas (Tabla 4):
Nota
|
Frecuencia
(con respecto al Do)
|
Do
|
1
|
Re
|
9/8=1'125
|
Mi
|
5/4=1'250
|
Fa
|
4/3=1'333
|
Sol
|
3/2=1'500
|
La
|
5/3=1'667
|
Si
|
15/8=1'875
|
Do
|
2
|
Tabla 4. Escala justa de siete notas.
Entre el Re y el Sol hay un
intervalo
3/2:9/8=4/3 que es consonante, pero
el intervalo entre el Re y el La es: 5/3:9/8=40/27
1'480, ligeramente inferior al intervalo
consonante
3/2.
Esta imposibilidad llevó a
matemáticos y músicos a crear una infinidad de escalas. Galileo o Euler han
dado nombre a alguna de ellas. El problema se resolvió de forma un tanto
categórica con la escala temperada,
en el que sólo la octava (el intervalo que va de Do a Do) es consonante.
Existe un software gratuito, desarrollado
por el Huygens-Fokker Foundation, que permite analizar escalas
(tiene almacenadas más de tres mil), diseñarlas y tocar con ellas. Se trata de Scala, una auténtica joya para
los aficionados a la matemática musical.
Si quieren profundizar más en la
teoría de la consonancia, en el diseño de escalas o en muchos otros problemas
matemáticos de la música, les aconsejo fervientemente que bajen de Internet el
libro de David Benson, Mathematics
and Music. Es una obra muy completa y rigurosa y su autor la ofrece
gratuitamente en su página web. Tardará en bajar si tienen una conexión lenta,
pero la espera merece la pena.
Referencias
Acoustical
Society of America: Some interesting
sounds, http://asa.aip.org/sound.html
D.
Benson: Mathematics and Music,
http://www.math.uga.edu/~djb/html/math-music.html
S.
Flinn: Shephard's Tones, http://www.cs.ubc.ca/nest/imager/contributions/flinn/Illusions/ST/st.html
A.M.
Higgins: What is timbre?, http://www.clubi.ie/amhiggins/start.html
J.
Jenssen: Deriving the musical scale, http://home.austin.rr.com/jmjensen/musicTheory.html
W.A.
Sethares: Relating tuning and timbre,
http://eceserv0.ece.wisc.edu/~sethares/consemi.html
Huygens-Fokker
Foundation, http://www.xs4all.nl/~huygensf/english/index.html

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Sobre el autor
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Juan M.R.
Parrondo
(Madrid, 1964) es profesor de Física de la Universidad Complutense de Madrid.
Investiga en el campo de la Física Estadística y la Física de los Sistemas
Complejos y es el creador de la llamada Paradoja
de Parrondo, que ha sido reseñada en numerosos medios de comunicación
como The New York Times, El País o Frankfurt Allgemeine. Ha publicado más de cuarenta artículos de
investigación en revistas internacionales y ha sido investigador invitado en
las universidades de California, Stanford, Rockefeller, Adelaida y Limburg.
Ha sido conferenciante invitado en universidades y en congresos
internacionales celebrados en Alemania, Holanda, Polonia, España, Francia,
Italia y Australia. Realiza también una intensa actividad como divulgador de
la ciencia, entre la que destaca la sección Juegos Matemáticos de la revista Investigación y Ciencia, de la que es responsable desde julio de
2001.
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