 J. Kepler |
PUBLICADA LA DEMOSTRACIÓN DE LA CONJETURA DE KEPLER. A finales del año pasado apareció finalmente publicada en Annals of Mathematics (volumen 162, número 3, noviembre de 2005) la demostración de la conjetura de Kepler lograda por el matemático americano Thomas Hales. Annals of Mathematics es, sin duda, una de las revistas matemáticas de mayor prestigio, y ha sometido la demostración de Hales a un largo proceso de revisión que se ha prolongado por más de seis años.
Tras una década de investigación, Hales concluyó su demostración de la conjetura en 1998, difundiéndola inmediatamente por correo electrónico entre diversos especialistas. En abril de 2004, el mismísimo New York Times informó de que la parte teórica de la prueba sería publicada en Annals of Mathematics, mientras que los numerosos algoritmos informáticos que requirió aparecerían en una segunda revista, Discrete and Computational Geometry. |
UN CLUB SELECTO
La conjetura de Kepler forma parte de ese grupo mítico de problemas cuya demostración ha resistido el ataque de los matemáticos más importantes de todos los tiempos. A dicho grupo pertenecen otros problemas insignes, como la hipótesis de Riemann, el teorema de Fermat o el teorema de los cuatro colores. Característica común a este selecto club es el hecho de que su enunciado es generalmente sencillo y puede ser comprendido incluso por aquellos que carecen de una formación matemática especializada. Sirva como muestra de ello el problema de los cuatro colores, planteado por el matemático inglés Francis Guthrie en 1852, que puede enunciarse del siguiente modo: Todo mapa puede ser coloreado con tan sólo cuatro colores de modo que países contiguos estén representados siempre con colores diferentes.
Esta aparente sencillez justifica la fascinación que tales resultados han despertado en matemáticos y estudiosos de todas las épocas. A esto se une el hecho de que la comunidad matemática los ha señalado desde siempre como desafíos o retos intelectuales pendientes para el conocimiento humano. A este respecto, cabe señalar que a principios del siglo XX el matemático alemán David Hilbert incluyó la conjetura de Kepler dentro de su famosa lista de los 23 grandes problemas matemáticos por resolver.
Salvo la hipótesis de Riemann, aún pendiente de solución, los problemas antes mencionados tienen en común el hecho de haber sido resueltos recientemente. Sin embargo, mientras la demostración del teorema de Fermat, obtenida por el matemático inglés Andrew Wiles en 1993, es la consecuencia de profundos desarrollos teóricos al más clásico estilo matemático, tanto el teorema de los cuatro colores (resuelto por los matemáticos Haken y Appel en 1976) como la conjetura de Kepler solamente han podido ser abordados con el concurso de herramientas informáticas, necesarias para procesar la ingente cantidad de cálculos que involucran los complejos algoritmos presentes en sus demostraciones.
LOS ORÍGENES
La conjetura de Kepler proviene del problema planteado hacia el año 1590 por el aventurero, pirata y escritor inglés Sir Walter Raleigh a su asistente, y posteriormente célebre matemático, Thomas Harriot. Raleigh propuso a Harriot el problema, en aquel momento de carácter presumiblemente práctico, de determinar el número máximo de balas de cañón que pueden ser apiladas de forma piramidal en la cubierta de un barco. Harriot fue capaz de calcular ese número y además logró interesar en el problema al gran astrónomo alemán Johannes Kepler, con quien mantenía correspondencia. Fruto de ello, en 1611 Kepler conjeturó que ese apilamiento piramidal, al que recurren, por ejemplo, los fruteros para disponer sus mercancías, constituye además el método óptimo que permite agrupar un mayor número de esferas en el menor espacio posible. Si bien la hipótesis de Kepler parece obedecer al más estricto sentido común, la demostración efectiva de su afirmación ha resistido hasta el pasado año todo intento de lograr una prueba matemática rigurosa: ni más ni menos que más de cuatro siglos.
UN LARGO CAMINO
El primero en lograr avances de importancia en la resolución de la conjetura de Kepler fue, a principios del siglo XIX, el matemático Carl Friedrich Gauss, quien consiguió probar que era cierta en el caso, más simple, de apilamientos de círculos en un plano y en el caso de apilamientos en forma de red regular. Sin embargo, hubo que esperar un siglo y medio para disponer de resultados que permitieran comenzar a vislumbrar la solución final. Ello fue posible gracias a los trabajos del matemático húngaro Laszlo Fejes Tóth, quien en 1953 fue capaz de reducir el problema a una serie finita de cálculos en los que intervenían un gran número de casos específicos, proponiendo al mismo tiempo un procedimiento para resolverlo mediante un algoritmo informático. Tomando como base los logros de Tóth, Hales formuló una ecuación de 150 variables que recogía los 5.000 posibles agrupamientos de esferas, solucionando cada caso por medio de sofisticadas técnicas informáticas diseñadas para resolver los más de 100.000 problemas de programación lineal que aparecen en el proceso, cada uno de ellos con entre 100 y 200 variables y de 1.000 a 2.000 restricciones. Todo este descomunal desarrollo quedó finalmente plasmado en un trabajo de 250 páginas al que hay que unir todo el software diseñado para abordar la cantidad abrumadora de cálculos, de los que las líneas anteriores pueden dar una idea.
UNA DEMOSTRACIÓN... Y UN DILEMA
La propia naturaleza de la demostración de Hales plantea un importante dilema dentro de la comunidad matemática, ya que nos encontramos ante un trabajo que tiene una importante componente teórica (la parte de la demostración publicada en Annals of Mathematics), pero que depende fuertemente de los resultados ofrecidos por una enjundiosa trama de algoritmos informáticos. Los doce científicos seleccionados por Annals para realizar la revisión del trabajo dedicaron sus principales esfuerzos a la tarea de verificar si los algoritmos propuestos por Hales funcionaban correctamente. La dificultad de esta tarea llegó al extremo de que los especialistas consideraran imposible revisar los 3 gigabytes de códigos, limitándose entonces a analizar su consistencia y los aspectos teóricos subyacentes. No en vano, el examen de la demostración requirió la celebración de varios seminarios con la extensión de cursos académicos. Después de todo este proceso, la comisión de expertos dio el visto bueno a la demostración al mismo tiempo que reconocía su incapacidad para garantizar que fuese totalmente correcta, contentándose con señalar que las comprobaciones realizadas permiten asegurar la corrección con un 99% de probabilidad. Sin duda alguna, esto último representa una situación peculiar que, en palabras del Dr. Robert D. McPherson, editor de Annals of Mathematics, “deja muy mal sabor de boca”. De hecho, la revista estudió la inclusión de un comentario editorial que pusiera de relieve estas circunstancias, posibilidad que finalmente fue desestimada. En todo caso, la prueba de Hales abre la controversia sobre el papel que desempeñarán los ordenadores en el trabajo matemático futuro ya que, cada vez más, el imparable crecimiento de su potencia de cálculo permitirá resolver problemas matemáticos complejos recurriendo a la “fuerza bruta”, lo cual, como en el caso de la demostración de la conjetura de Kepler, conducirá a pruebas difícilmente verificables.
MATEMÁTICOS ESPAÑOLES EN EL MISMO NÚMERO
Para terminar, nos gustaría poner de manifiesto el hecho, a nuestros ojos relevante, de que en el mismo número de Annals of Mathematics en que aparece la demostración de la conjetura de Kepler pueden encontrarse sendos artículos de matemáticos españoles. El autor del primero es Xavier Tolsa, mientras que el segundo es un trabajo conjunto de Antonio Córdoba, Diego Córdoba y Marco A. Fontelos.
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